初中數(shù)學(xué)面積問題蘊含的數(shù)學(xué)思想方法及教學(xué)分析

汪強

【摘要】雖然經(jīng)歷多年的學(xué)習(xí)，但還是有相當(dāng)一部分學(xué)生對于面積問題掌握得不太理想，究其原因，學(xué)生對于面積問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法挖掘不深，導(dǎo)致做一題會一題，學(xué)習(xí)效率較為低下。本文旨在通過對北師大版《數(shù)學(xué)》課本中面積問題的呈現(xiàn)方式和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法進行分析，使教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注背后的數(shù)學(xué)思想方法這條暗線，使得面積問題的學(xué)習(xí)有的放矢、事半功倍。

【關(guān)鍵詞】面積;數(shù)學(xué)思想方法;轉(zhuǎn)換與化歸

一、問題提出

面積問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點內(nèi)容，在一系列知識的發(fā)生、發(fā)展過程中起到相當(dāng)重要的作用，同時也是各年級期末考試和中考的考察熱點和考察難點。另一方面，雖然已有7年的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，面積問題對于大部分學(xué)生仍然是難點。為什么會造成這種現(xiàn)象？教師對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識站位太低，只關(guān)注具體的知識、具體的題目，未能洞察其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，似乎給了我們一條解決問題的鑰匙：找到這些數(shù)學(xué)思想方法，并讓它們指導(dǎo)理解知識、指導(dǎo)解題。那么在初中數(shù)學(xué)面積問題有哪幾種類型的呈現(xiàn)？其中又蘊含了哪些重要的數(shù)學(xué)思想和方法？本文嘗試回答上述問題。

二、初中數(shù)學(xué)面積問題呈現(xiàn)方式及蘊含數(shù)學(xué)思想方法

以北師大版《數(shù)學(xué)》為例，問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決。好的數(shù)學(xué)問題應(yīng)當(dāng)具有較強的探索性，具有現(xiàn)實意義或與學(xué)生的實際生活有著直接的聯(lián)系，具有趣味性和知識性。面積問題是數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)中的重要“連結(jié)點”，常結(jié)合整式、方程、函數(shù)、三角形全等和相似、四邊形、圓等初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容展開學(xué)習(xí)與考察。

1.直接求某個圖形面積以使新知識可視化

由于小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了矩形、正方形、平行四邊形、三角形、圓的面積公式，并對轉(zhuǎn)化、等積變換、割補等方法有了一定的了解，初中階段為了使得一些抽象的知識可視化，在整式的相關(guān)原理、方程與函數(shù)等概念的引入時大量采取了面積問題，通過考察三角形、矩形、梯形、圓或以上圖形的組合圖形的面積，探索新的概念、原理，也通過面積問題進一步鞏固新知。

例1：圖中長方形由兩個小長方形組成，求這個長方形的面積。

教學(xué)分析：本例是北師大版《數(shù)學(xué)》七年級上冊P90《3.4整式的加減》的引例，旨在引發(fā)學(xué)生思考圖形面積的不同表示方式，從而通過概念同化得出合并同類項法則，這里充分體現(xiàn)了可視化的教學(xué)原則，將“合并同類項”這個抽象的代數(shù)原理通過矩形的面積呈現(xiàn)，接下來的幾節(jié)課也很好地體現(xiàn)了這些思想方法。

解決這個問題本身不是難點，關(guān)鍵是認(rèn)識到此類問題的意義，并在教學(xué)中通過問題串引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

（1）這個圖形面積有哪兩種不同的表示方式？你能得到怎樣的等式？

（2）你能從中總結(jié)出合并同類項法則嗎？

（3）你能通過圖形來解釋合并同類項法則嗎？

其中體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)模型思想方法、類比思想方法、特殊與一般思想方法，這對于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)整式乘除、方程、函數(shù)等概念、原理頗有裨益。

2.借助圖形面積不變性揭示數(shù)學(xué)原理

通過圖形進行公式驗證一直以來是數(shù)學(xué)中的令人著迷的篇章。它以其直觀、洞察的魅力讓眾多數(shù)學(xué)家趨之若鶩，如勾股定理的證明方法就有500多種，是數(shù)學(xué)中證明方法最多的定理之一，而初中階段課本中也充分展現(xiàn)了前人對于這一問題的研究成果，并試圖利用它進一步鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)、增強學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例2：你能用右圖解釋公式（a+b）2=

a2+2ab+b2嗎？

教學(xué)分析：本例是北師大版《數(shù)學(xué)》七年級下冊P23《1.6完全平方公式》的“想一想”，是在學(xué)生已經(jīng)通過代數(shù)方式得到完全平方公式的一個有效補充，其中充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法中“以形助數(shù)”的直觀性，通過圖形學(xué)生得出第一個直觀印象：（a+b）2≠a2+b2，通過面積不變性不難讀出公式（a+b）2=a2+2ab+b2。

2.3 以面積為載體考察綜合運用知識能力

作為初中階段數(shù)學(xué)知識的“萬金油”，面積問題幾乎出現(xiàn)在初中階段所有章節(jié)，如以面積為背景的方程、函數(shù)問題，又如，為了求面積必須求高或底的幾何綜合題。

例3：如圖，在一塊長35米，寬26米的地面上，修建同樣寬的兩條垂直的路，剩余部分種花，要使剩余面積為850立方米，道路的寬應(yīng)為多少？

教學(xué)分析：本例是北師大版《數(shù)學(xué)》九年級上冊P38 “問題解決”第2題，在此之前學(xué)過空白部分的十字圖形面積求法，也學(xué)習(xí)過圖形的平移，因此本題的關(guān)鍵在于將求四塊圖形面積和轉(zhuǎn)化為求空白面積或轉(zhuǎn)化為求四塊拼成的一個大長方形的面積，因此，這里的關(guān)鍵就是轉(zhuǎn)換與化歸思想方法的落實。

例4：如圖，陰影長方形的面積是多少？

教學(xué)分析：本例是北師大版《數(shù)學(xué)》八年級上冊

P14 “知識技能”第1題，在此之前學(xué)過矩形的面積，

因此本題的關(guān)鍵在于將求矩形面積轉(zhuǎn)化為求矩形的長，

即用勾股定理求解直角三角形斜邊長，因此，這里的關(guān)鍵也是轉(zhuǎn)換與化歸思想方法的落實。

通過以上兩個例子不難看出以面積為載體考察綜合運用知識能力重點考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)換與化歸能力，只要能把面積問題轉(zhuǎn)化為已解決數(shù)學(xué)模型或已學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，一切皆可迎刃而解。

通過對教材中呈現(xiàn)的面積問題的分析，不難發(fā)現(xiàn)，其中將知識點串成“項鏈”的線就是數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感覺面積問題的困難或多或少與數(shù)學(xué)思想方法這根暗線難以把握準(zhǔn)確有一定關(guān)系，正如“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”，當(dāng)解題時數(shù)學(xué)思想方法這根暗線浮現(xiàn)，解題就變得得心應(yīng)手。

三、初中數(shù)學(xué)面積問題數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)分析

數(shù)學(xué)思想方法包括全域性數(shù)學(xué)思想、局域性數(shù)學(xué)思想、一般性數(shù)學(xué)方法、特殊性數(shù)學(xué)方法。面積問題為學(xué)生提供了一個觀察、分析、猜想并進行說理驗證的探究模型，以圖形的運動變化為策略，讓學(xué)生能在一個動態(tài)的數(shù)學(xué)情景中感悟知識的發(fā)生、發(fā)展過程，探索問題的結(jié)論和規(guī)律的變與不變，真正理解圖形的性質(zhì)。與此同時發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生探索、猜想能力和創(chuàng)新思維能力。以下從初中階段考察較多的三種數(shù)學(xué)思想方法開展分析。

1.數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合思想方法分為三種類型：以形助數(shù)，以數(shù)解形，數(shù)形互助。[1]在初中面積問題中，以“以數(shù)解形”呈現(xiàn)方式為主，對于學(xué)生來講也較為容易接受，而“以形助數(shù)”顯然需要具備更高的數(shù)學(xué)洞察力和更強的直覺思維。

例6：計算12+12+22+32+52+82+132+212+342+552

教學(xué)分析：從式子上來看這是一個斐波那契數(shù)列的平方求和問題，如果單純從式子上考慮，會想到從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法進行研究：先計算12+12=2=1×2，12+12+22=6=2×3，12+12+22+32=15=3×5……

從而觀察出這個數(shù)列求和的規(guī)律（由于斐波那契數(shù)列的通項是難點，故不考慮從一般到特殊的方法）。

在教學(xué)中，能夠觀察出式子右邊特點的個案并不多。如果采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，理解起來就容易的多，通過畫圖不難發(fā)現(xiàn)，每個平方式對應(yīng)一個正方形的面積，將前5個正方形拼在一起就得到如圖所示的長方形。通過觀察發(fā)現(xiàn)它的長為8（第6個斐波那契數(shù)），寬為5（第5個斐波那契數(shù)），因此，可以猜測上式也可以表示一個長方形的面積，它的寬為55，長為55+34=89。

解：如圖，可知12+12+22+32+52+82+132+212+342+552表示寬為55，長為89的長方形面積，因此：12+12+22+32+52+82+132+212+342+552=55×89=4895

2.轉(zhuǎn)換與化歸思想方法

初中階段面積問題延續(xù)小學(xué)階段的多彩斑斕，在轉(zhuǎn)換與化歸的思想方法上呈現(xiàn)出多種姿態(tài)：不規(guī)則多個規(guī)則（或易求），不規(guī)則規(guī)則，不規(guī)則規(guī)則，線段比面積比。

例7：如圖，△ABC中，點E、P在邊AB上，且AE=BP，過點E、P作BC的平行線，分別交AC于點F、Q，記△AEF的面積為S1，四邊形EFQP的面積為S2，四邊形PQCB的面積為S3。

（1）求證：EF+PQ=BC;

（2）若S1+S3=S2，求的值;

（3）若S3-S1=S2，直接寫出的值

教學(xué)分析：通過審題不難發(fā)現(xiàn)第一問關(guān)鍵在將等式轉(zhuǎn)化為證明=1，進一步轉(zhuǎn)化為證明=1，由于AE+AP=BP+AP=AB，因而得證。此題的難點在于第2問及第3問，通過分析發(fā)現(xiàn)可類比第1問將等式變形并轉(zhuǎn)化面積比為線段比從而得以解決。

解：（2）∵S1+S3=S2

問題（3）解答與問題（2）類似，在此不再贅述。

3.3 分類討論思想方法

例8? 如圖，由點P（14，1），A（a，0），B（0， a ）（a >0）確定的△PAB的面積為18，求a的值

分析：本題的關(guān)鍵在于給出的圖形是示意圖，線段AB與點P的位置關(guān)系是否如圖所示為未可知，因此需要就點P與線段AB的位置進行討論。

列方程得，解得a3，a4

綜上可知a的值為3或12或

四、結(jié)語

“能使學(xué)生獲得受用終生的東西的那種教育，才是最高尚最好的教育”。而面積問題正是數(shù)學(xué)思想方法極佳的載體，通過面積問題教學(xué)這樣一件富有意義的工作，為人師者可以幫助學(xué)生鞏固四基，啟迪他們的思維。將來不管學(xué)生從事什么工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，能隨時隨地會發(fā)生作用，受益終生。

參考文獻：

[1]董磊.初中數(shù)學(xué)主要思想方法的內(nèi)涵及其層次結(jié)構(gòu)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2018（9）：67—70.

[2]顧泠沅，邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2016.