中美小學(xué)數(shù)學(xué)教材“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的比較研究

胡丹

【摘? ?要】“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是多位數(shù)乘法的關(guān)鍵課例。通過對中國人教版《數(shù)學(xué)》和美國My Math教材在這一內(nèi)容的編寫依據(jù)、內(nèi)容編排等方面的比較研究，教師能更深刻地挖掘教材內(nèi)涵，促進(jìn)教學(xué)。在此基礎(chǔ)上提出了三個(gè)可行性教學(xué)建議：實(shí)踐操作具體化、計(jì)算方法多樣化、幾何直觀可視化，以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考更深入、數(shù)學(xué)思維更開放、數(shù)學(xué)觀察更敏銳，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】兩位數(shù)乘兩位數(shù);人教版; My Math

教材對數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的開展有著深刻的指導(dǎo)意義，它是教學(xué)的主要資源，是教與學(xué)的重要憑借。教師只有認(rèn)真研讀教材，準(zhǔn)確理解教材的編寫意圖，尋找課程標(biāo)準(zhǔn)與教材的連接點(diǎn)，才能有效地開展教育教學(xué)活動(dòng)。“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的核心內(nèi)容，是后續(xù)學(xué)習(xí)多位數(shù)乘法的重要基礎(chǔ)。筆者基于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”這一內(nèi)容，選取中國的人教版《數(shù)學(xué)》（以下簡稱人教版）和美國的My? Math（以下簡稱MM版）進(jìn)行比較研究，以期為教材編者和小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者提供參考，從而促進(jìn)教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、兩版教材編寫依據(jù)的比較

人教版教材的編寫依據(jù)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱中國課標(biāo)）。中國課標(biāo)中關(guān)于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的內(nèi)容是這樣描述的：“能口算一位數(shù)乘兩位數(shù)，能計(jì)算一位數(shù)乘三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法。”MM版教材的編寫依據(jù)是Common Core State Standards For Mathematics（以下簡稱CCSS課標(biāo)）。CCSS課標(biāo)中關(guān)于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的內(nèi)容是這樣描述的：“用基于位值和運(yùn)算性質(zhì)的策略來計(jì)算最多四位數(shù)的整數(shù)乘一位數(shù)的整數(shù)、兩個(gè)兩位數(shù)相乘;使用方程式、矩形陣列或面積模型說明和解釋計(jì)算。”兩版課程標(biāo)準(zhǔn)對兩位數(shù)乘兩位數(shù)內(nèi)容的要求有異同。

相同之處是兩版課程標(biāo)準(zhǔn)對算法的要求基本相同。運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一，是發(fā)展其他數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要基石。兩版課程標(biāo)準(zhǔn)都要求學(xué)生能計(jì)算一位數(shù)乘多位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，只是中國課標(biāo)要求計(jì)算的是一位數(shù)乘三位數(shù)，而CCSS課標(biāo)要求的是一位數(shù)乘最多四位數(shù)的整數(shù)。一位數(shù)乘三位數(shù)和一位數(shù)乘四位數(shù)的計(jì)算方法是一樣的，所以兩版課程標(biāo)準(zhǔn)對這一算法的掌握程度基本是一致的。

不同之處是兩版課程標(biāo)準(zhǔn)對口算要求以及算理要求存在差異。能正確、合理、簡捷地進(jìn)行口算，體現(xiàn)了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。中國課標(biāo)中提到“能口算一位數(shù)乘兩位數(shù)”，表明中國數(shù)學(xué)教育界對學(xué)生口算能力的重視，而CCSS課標(biāo)中卻沒有類似的相關(guān)要求出現(xiàn)。另外，培養(yǎng)運(yùn)算能力，首先要讓學(xué)生明白為什么這樣算，即要讓學(xué)生理解算理。CCSS課標(biāo)中提到“用基于位值和運(yùn)算性質(zhì)的策略來計(jì)算”“使用方程式、矩形陣列或面積模型說明和解釋計(jì)算”，可見CCSS課標(biāo)明確要求通過多個(gè)途徑幫助學(xué)生理解算理，而中國課標(biāo)在這方面沒有詳細(xì)的陳述。

二、兩版教材在內(nèi)容編排上的比較

兩版教材都是以圖文并茂的形式呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，并以兒童的視角為切入點(diǎn)，配以常見的生活場景的。但在具體內(nèi)容的編排上兩版教材還是存在差異，具體從以下三方面進(jìn)行比較。

（一）知識準(zhǔn)備的比較

在學(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”前，兩版教材在這一單元中的知識準(zhǔn)備內(nèi)容羅列如下表。

[ 知識準(zhǔn)備內(nèi)容 人教版（三年級下冊） 口算乘法[例1： 口算一位數(shù)乘法例2：口算整十?dāng)?shù)乘法練習(xí)] My Math（Grade 4） 1.整十?dāng)?shù)乘法[例1：筆算整十?dāng)?shù)乘法（一次進(jìn)位）例2：筆算整十?dāng)?shù)乘法（連續(xù)進(jìn)位）獨(dú)立練習(xí)回家作業(yè)]

2.乘法的估算[例1：乘法的估算（四舍）例2：乘法的估算（五入）獨(dú)立練習(xí)]

3.動(dòng)手操作[畫一畫、說一說、練一練、用一用和寫一寫家庭作業(yè)] ]

由上表可以發(fā)現(xiàn)，MM版教材在重點(diǎn)內(nèi)容“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”學(xué)習(xí)前，對知識的準(zhǔn)備要更充分些，主要體現(xiàn)在動(dòng)手操作這一內(nèi)容上。采用畫一畫、說一說、練一練、用一用、寫一寫的方式，學(xué)生能理解并掌握通過面積模型把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的一位數(shù)乘整十?dāng)?shù)和一位數(shù)乘兩位數(shù)的知識，為后續(xù)學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算做鋪墊。

畫一畫，是先讓學(xué)生在矩陣面積模型中找到12×15，接著通過把因數(shù)15分成10和5，并在矩陣面積模型中標(biāo)注每個(gè)部分，再在簡化后的面積模型中找到12×10和12×5，并計(jì)算出結(jié)果。而且在畫一畫之前，還讓學(xué)生回顧了如何利用乘法分配律求出兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘積并用面積模型表征，可見對于利用面積模型來表征乘法算式，學(xué)生是有基礎(chǔ)的。

說一說，是讓學(xué)生分別說說如何利用乘法分配律求12×18和14×17，也就是通過“一數(shù)拆和”的方法來求兩位數(shù)乘兩位數(shù)的積。

練一練，是讓學(xué)生畫一個(gè)面積模型，然后利用乘法分配律在面積模型中找到每個(gè)部分的乘積。在第一題36×24中，作了面積模型表征的示范，而且練習(xí)的乘法算式有涉及連續(xù)進(jìn)位的47×19，以及因數(shù)比較特殊的52×11，46×22。

用一用，是先出示需要解決的問題，然后讓學(xué)生根據(jù)面積模型寫出乘法算式并求出乘積。最后讓學(xué)生改錯(cuò)，改正錯(cuò)誤使用面積模型計(jì)算的情況。

寫一寫，是讓學(xué)生解釋為什么乘法分配律適用于兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

以上五個(gè)實(shí)踐活動(dòng)為兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算教學(xué)奠定了較為扎實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）算理理解的比較

兩版教材都通過數(shù)形結(jié)合的表征方法來幫助學(xué)生理解算理，但在呈現(xiàn)的形式上又各有不同。

人教版教材呈現(xiàn)的表征方式比較豐富，有實(shí)物圖、學(xué)具圖、點(diǎn)子圖，運(yùn)用這三類圖循序漸進(jìn)地幫助學(xué)生理解算理。具體樣例如下所示。

可見，人教版教材在幾何直觀的呈現(xiàn)上形式更多樣，而MM版教材則相對比較單一。

（三）算法掌握的比較

人教版教材在兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法上一共出示了三種算法，分別是：“一數(shù)拆積”轉(zhuǎn)換、“一數(shù)拆和”轉(zhuǎn)換和豎式計(jì)算。下面是三種算法的樣例。

豎式計(jì)算方法

MM版教材在算法上共呈現(xiàn)了四種算法，分別是：“一數(shù)拆積”轉(zhuǎn)換、“一數(shù)拆和”轉(zhuǎn)換、“兩數(shù)拆和”轉(zhuǎn)換和豎式計(jì)算。以下是四種算法的樣例。

“兩數(shù)拆和”轉(zhuǎn)換方法

[另一種方法是使用紙和鉛筆

豎式計(jì)算方法

MM版教材在算法種類的呈現(xiàn)上多了一種“兩數(shù)拆和”的方法。這種方法對于四年級學(xué)生來說是比較難理解的，所以教材只是借助面積模型呈現(xiàn)，最后200+40+70+14這一步驟，省略了中間27×12轉(zhuǎn)換為（20+7）×（10+2）=20×10+20×2+7×10+7×2的過程?？梢?，這一方法呈現(xiàn)的目的是引出與之對應(yīng)的面積模型，讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用這個(gè)模型來計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)。所以在算法種類的呈現(xiàn)上，MM版教材借助面積模型呈現(xiàn)得更多更深。

但在學(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”時(shí)，人教版教材第一課時(shí)的算法呈現(xiàn)更多樣，把三種算法都加以呈現(xiàn)。而MM版教材只有“兩數(shù)拆和”和豎式計(jì)算兩種方法。

三、思考與建議

通過兩版教材的對比，我們可以發(fā)現(xiàn)有很多地方值得思考。

（一）實(shí)踐操作具體化，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考更深入

兩版教材最大的區(qū)別就是實(shí)踐操作環(huán)節(jié)。人教版教材把實(shí)踐操作滲透在每個(gè)課時(shí)中，相對比較隱晦。而MM版教材則是獨(dú)立成一個(gè)課時(shí)，給出了更充足的時(shí)間和空間，讓學(xué)生來實(shí)踐操作。

在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”前，筆者曾對本校三年級兩個(gè)班的學(xué)生做過前測，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)普遍較高，近90%的學(xué)生能正確計(jì)算12×14，12×24兩道題，有50%的學(xué)生會(huì)用兩種及以上的方法來計(jì)算，但能借助點(diǎn)子圖來表示計(jì)算過程的學(xué)生比例卻不到20%?？梢?，很多學(xué)生會(huì)算，但不能很好地表示出為什么可以這么算。

因此，筆者建議教材編寫者在編寫“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”這一單元時(shí)，可在教材中留出具體實(shí)踐操作的課時(shí)，讓學(xué)生有足夠的機(jī)會(huì)和時(shí)間來探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)算法的“數(shù)學(xué)化”過程，從而生發(fā)自己的數(shù)學(xué)體會(huì)，讓數(shù)學(xué)思考力通過實(shí)踐操作不斷生長，最終能更深入地進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。同時(shí)也讓教師在教學(xué)時(shí)能明確實(shí)踐操作的重要性，并在教學(xué)中更好地加以體現(xiàn)和實(shí)施。

（二）計(jì)算方法多樣化，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更開放

在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”這一單元中，兩版教材都體現(xiàn)了算法的多樣化。特別是人教版教材，在筆算乘法中同時(shí)出示了三種算法，這三種算法之間又都有聯(lián)系。這不僅激發(fā)了學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)，更讓學(xué)生在探索和展示自己算法的過程中，體會(huì)到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂。

因此，教師在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)要體現(xiàn)算法的多樣化，讓學(xué)生不斷地去思考“能不能算”“怎樣算更好”。這樣不僅能讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，更能讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，最終讓數(shù)學(xué)能力得到更好的發(fā)展。

（三）幾何直觀可視化，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察更敏銳

在幫助學(xué)生理解算理時(shí)，兩版教材都借助了數(shù)形結(jié)合的方法。人教版教材的實(shí)物圖、學(xué)具圖、點(diǎn)子圖，MM版教材的矩形陣列、面積模型，都用直觀的形式描述了乘法運(yùn)算的抽象過程，在形象思維和抽象思維之間構(gòu)架橋梁，讓思考過程可視化，讓學(xué)生形成敏銳的觀察力。

因此，筆者建議教師在教學(xué)時(shí)可利用實(shí)物圖、點(diǎn)子圖、面積模型等手段，讓計(jì)算過程和思考過程更直觀，讓學(xué)生能在形象與抽象之間觀察到共性，最終理解算法。

綜上所述，通過對中美教材的比較，梳理異同，能讓教師更深刻地挖掘教材的內(nèi)涵，為更有效地開展教育教學(xué)活動(dòng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定實(shí)踐基礎(chǔ)。

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（浙江省杭州市江南實(shí)驗(yàn)學(xué)校? ?310052）