多星中天時(shí)角法精密測(cè)定天文方位角?

劉新江 鄭 勇 李崇輝

(1 戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院鄭州450001)

(2 61365部隊(duì)天津300140)

(3 地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室西安710054)

(4 西安測(cè)繪研究所西安710054)

1 引言

天文方位角測(cè)量以大地水準(zhǔn)面和鉛垂線為參考基準(zhǔn), 目前在可直接作為方位基準(zhǔn)應(yīng)用于工程測(cè)量的地面絕對(duì)定向方法中精度最高[1–2]. 在已知坐標(biāo)的測(cè)站上, 觀測(cè)任意一顆識(shí)別天體的水平角和天頂距(天頂距法), 或者觀測(cè)水平角的同時(shí)記錄測(cè)瞬時(shí)刻(時(shí)角法), 都可以進(jìn)行天文定向[3–5]. 天頂距法受大氣垂直折光影響大, 精度偏低, 高等級(jí)天文方位角測(cè)量采用時(shí)角法. 北極星亮度高, 赤緯接近90?, 視運(yùn)動(dòng)幅度很小, 因此, 北半球中緯度地區(qū)多采用北極星任意時(shí)角法測(cè)量天文方位角[6–9]. 但由于北極星并不正好位于北天極, 測(cè)量天文方位角之前必須已知測(cè)站的精確天文經(jīng)緯度. 此外, 低緯度和南半球地區(qū)根本無(wú)法觀測(cè)北極星. 有學(xué)者提出在低緯度地區(qū)采用子午星對(duì)法測(cè)量天文方位角, 每個(gè)星對(duì)為子午圈上南、北兩顆赤緯余弦與天頂距正弦之比相等或相近的恒星. 此方法測(cè)量精度較高, 但由于受配對(duì)條件限制, 在中、高緯度地區(qū)可觀測(cè)星對(duì)少, 等星時(shí)間較長(zhǎng)[10]. 本文在分析中天星測(cè)定方位角的主要誤差后提出多星中天時(shí)角法, 只需已知測(cè)站的概略坐標(biāo)即可, 省卻了復(fù)雜而精密的天文定位觀測(cè); 不需要選星配對(duì), 視域內(nèi)的全部中天天體均可用于觀測(cè); 針對(duì)測(cè)站經(jīng)度誤差和計(jì)時(shí)誤差的影響, 建立回歸模型精密確定出測(cè)站至某一地面目標(biāo)的天文方位角.

2 時(shí)角法測(cè)定天文方位角

在地平坐標(biāo)系中, 地平經(jīng)度也稱(chēng)方位角, 指測(cè)站子午面與天體垂直面之間的夾角. 在大地天文學(xué)中, 天文方位角特指測(cè)站所在子午面與通過(guò)地面上另一點(diǎn)(目標(biāo))的垂直面之間的夾角, 自正北方向起順時(shí)針量算, 值域范圍[0?, 360?). 因此, 天文方位角可以分解為某一天體與測(cè)站子午面間的夾角(即天體方位角)和天體與地面目標(biāo)間的水平夾角, 概略定位定向后重復(fù)觀測(cè)地面目標(biāo)和選定天體. 天體為運(yùn)動(dòng)目標(biāo), 其測(cè)量精度決定了天文方位角的精度水平.

2.1 時(shí)角法測(cè)定天體方位角誤差分析

時(shí)角法測(cè)定天體方位角A的基本公式:

式中,δ為天體赤緯,t為天體時(shí)角,φ為測(cè)站緯度.

不考慮恒星星表誤差, 僅考慮本地緯度誤差和時(shí)角測(cè)量誤差, 誤差方程為:

用q表示星位角,z表示天頂距, ?λ和?φ分別表示測(cè)站經(jīng)度誤差和緯度誤差, ?T表示計(jì)時(shí)誤差, 時(shí)角誤差?t=?T+?λ, 上式簡(jiǎn)化后得

當(dāng)A=0?或180?時(shí), 測(cè)站緯度誤差對(duì)定向沒(méi)有影響; 當(dāng)δ=90?或q=90?時(shí), 測(cè)站經(jīng)度誤差和計(jì)時(shí)誤差對(duì)定向沒(méi)有影響.

2.2 北極星任意時(shí)角法

北極星任意時(shí)角法只觀測(cè)北極星, 忽略時(shí)角差異, 取各測(cè)回測(cè)量值的均值作為最終成果. 由于北極星并不恰好在北天極上, 其赤緯約為89?16′, 如果測(cè)站位置誤差和計(jì)時(shí)誤差較大, 仍會(huì)給定向帶來(lái)較大的影響. 圖1給出了北緯20?、45?和70?的測(cè)站上定向誤差隨時(shí)角的變化(令測(cè)站經(jīng)度誤差和計(jì)時(shí)誤差之和為5′′, 測(cè)站緯度誤差為5′′). 可以看出: (1)緯度越高, 定向誤差越大. 在低、中、高緯度測(cè)站上, 定向誤差從±0.1′′以內(nèi)到接近±0.2′′, 最大可達(dá)±0.6′′; (2)測(cè)站位置誤差和計(jì)時(shí)誤差對(duì)定向精度的影響隨時(shí)角變化,為了避免各測(cè)回都在同一時(shí)角觀測(cè), 造成所有結(jié)果均偏大或偏小一定數(shù)值成為系統(tǒng)誤差, 規(guī)范中要求在不同時(shí)間段(傍晚和夜晚)觀測(cè)[11].

天文測(cè)量目前多采用電子經(jīng)緯儀加導(dǎo)航衛(wèi)星授時(shí)技術(shù)[8–9,12–13], 可以很方便地獲得較為精確的測(cè)站大地經(jīng)緯度. 如果沒(méi)有精確的本地垂線偏差模型, 測(cè)站位置誤差會(huì)達(dá)數(shù)角秒至十幾角秒, 必然引起較大的定向誤差. 因此, 該方法測(cè)量天文方位角之前需精密測(cè)定測(cè)站的天文經(jīng)緯度.

圖1 測(cè)站位置誤差和計(jì)時(shí)誤差對(duì)北極星定向的影響Fig.1 Influence of station position error and timing error on the orientation by Polaris

2.3 單星中天時(shí)角法

天體經(jīng)過(guò)測(cè)站所在子午圈稱(chēng)作中天. 每個(gè)天體1 d中兩次經(jīng)過(guò)子午圈, 離天頂較近的一點(diǎn)稱(chēng)作上中天, 離天頂較遠(yuǎn)的一點(diǎn)稱(chēng)作下中天. 若天體在天頂以北過(guò)中天, 稱(chēng)為北星;反之, 稱(chēng)為南星. 顯然, 南北星的赤緯和天頂距與本地緯度滿足簡(jiǎn)單的線性關(guān)系, 以南點(diǎn)為起始方向, 南星的方位角AS和北星的方位角AN分別近似為0?和180?. 實(shí)際測(cè)量中很難保證恰在中天時(shí)刻觀測(cè), 只能做到t ≈0. (1)式簡(jiǎn)化為[14]:

本方法計(jì)算簡(jiǎn)單, 但測(cè)站經(jīng)度誤差和計(jì)時(shí)誤差全部包含在時(shí)角誤差內(nèi), 天體赤緯越大, 天頂距越大, cosδ/sinz的數(shù)值越小, 時(shí)角誤差引起的天體方位角誤差就越小. 因此,應(yīng)盡可能觀測(cè)靠近天極的中天天體.

2.4 子午星對(duì)法

采用中天時(shí)角法定向, sinA ≈0, cosq=±1, (3)式簡(jiǎn)化為

如果在同一測(cè)站上連續(xù)觀測(cè)南、北兩顆中天天體, 組成一個(gè)子午星對(duì)[10], 方位角誤差取均值得

式中, 下標(biāo)N和S分別表示北星和南星.

顯然, 最佳配對(duì)條件為:

此時(shí), (?T+?λ)對(duì)天體方位角沒(méi)有影響.

圖2為在北半球不同緯度測(cè)站上, 南北星天頂距在[20?, 70?]區(qū)間內(nèi)的cosδ/sinz值.為了方便對(duì)比, 南星的天頂距用負(fù)值表示. 南半球同理. 可以看出, 在20?N測(cè)站上, 南北兩星的cosδ/sinz值重合區(qū)間較大; 在45?N測(cè)站上, 南北兩星的cosδ/sinz值重合區(qū)間很小, 但上中天北星和下中天北星有一段重合區(qū)間; 在70?N測(cè)站上, 不再有重合區(qū)間. 因此, 子午星對(duì)法主要適用于低緯度地區(qū).

圖2 南北星cos δ/sin z在北半球不同緯度測(cè)站上隨天頂距的變化Fig.2 cos δ/sin z variation of south and north stars according to the zenith distance at different latitudes in the northern hemisphere

由于自然天體在天球上的分布不均勻, 即使在低緯度地區(qū)也很難在短時(shí)間內(nèi)連續(xù)觀測(cè)到嚴(yán)格符合最佳配對(duì)條件的兩顆子午星. 為了觀測(cè)到足夠數(shù)量的星對(duì), 只能放寬限制條件, 將(7)式左側(cè)數(shù)值限制在設(shè)定閾值m以內(nèi), 一個(gè)子午星對(duì)測(cè)站經(jīng)度誤差和計(jì)時(shí)誤差對(duì)計(jì)算方位角引起的最大誤差為(?T+?λ)m/2.

3 多星中天時(shí)角法

若已知測(cè)站經(jīng)度誤差和計(jì)時(shí)誤差之和(?T+?λ), 則觀測(cè)任意一顆中天天體的方位角及其與地面目標(biāo)之間的水平夾角, 都可以獲得準(zhǔn)確的測(cè)站至地面目標(biāo)的天文方位角.本文提出的多星中天時(shí)角法, 就是觀測(cè)多顆中天天體和地面目標(biāo)后通過(guò)回歸模型估計(jì)出(?T+?λ)的方法.

3.1 分析變量關(guān)系

通過(guò)觀測(cè)某顆中天天體及其與地面目標(biāo)的水平夾角, 獲得的測(cè)站至地面目標(biāo)的天文方位角Ai中(下標(biāo)i代表第i次觀測(cè), 下同), 包含由于測(cè)站經(jīng)度誤差和計(jì)時(shí)誤差給天體方位角帶來(lái)的系統(tǒng)誤差?Ai和水平夾角觀測(cè)中的偶然偶差εi,

其中A?表示天文方位角的最佳擬合值,εi為零均值隨機(jī)誤差.

在觀測(cè)時(shí)段內(nèi), ?λ為常數(shù), ?T與時(shí)鐘的精度相關(guān), 假設(shè)初始比時(shí)誤差為a, 初始頻率偏差為b, 頻率漂移率為c, 則?T與觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)l之間的關(guān)系為

?λ、a、bl、cl2的單位均轉(zhuǎn)換為角秒, 代入(8)式, 令±(cosδi/sinzi)=pi, 得

假設(shè)獨(dú)立觀測(cè)了n組數(shù)據(jù),令回歸變量為x=(x1,x2,x3)T=[(p1,...,pn),(p1l1,...,pnln),(p1l21,...,pnl2n)]T, 響應(yīng)變量為y=(A1,A2,...,An)T, 回歸參數(shù)β=(β0,β1,β2,β3)T=[A?,(?λ+a),b,c]T顯著, 則可以建立n個(gè)回歸方程:

3.2 確定回歸模型

精密天文測(cè)量中采用的時(shí)鐘精度和穩(wěn)定性都很高, (10)式中的a、b、c數(shù)值很小, 采用大地經(jīng)度作為近似天文經(jīng)度時(shí)?λ在幾角秒到十幾角秒量級(jí), 通過(guò)仿真數(shù)據(jù)對(duì)?λ+a、b、c進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).

假設(shè)在4 h內(nèi)等間隔觀測(cè)200組數(shù)據(jù),l為等差數(shù)列,p值在[?2,2]區(qū)間內(nèi)均勻分布,?λ+a=5,b=0.001,c=0.001, 隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布ε～N(0,32)[16],A?= 0. 變量p、pl、pl2、A之間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)矩陣為[17]

進(jìn)一步計(jì)算變量p、pl、pl2、A之間的偏相關(guān)系數(shù)(固定其余變量的影響)矩陣為

從簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)來(lái)看, 回歸變量p、pl、pl2與響應(yīng)變量A的相關(guān)性均較強(qiáng), 但回歸變量之間也存在著很強(qiáng)的相關(guān)性. 偏相關(guān)系數(shù)矩陣中則只有p與A的相關(guān)性較強(qiáng),pl和pl2對(duì)回歸的貢獻(xiàn)很小. 令b、c分別取相同值0.001、0.01和0.1, 進(jìn)行多元回歸和一元回歸分析, 每種情況模擬100次. 表1列出了擬合參數(shù)的均值(括號(hào)內(nèi)為參數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)差), 可以看出, 由于多元回歸變量間存在較強(qiáng)的復(fù)共線性, 擬合得到的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差較大. 一元回歸與多元回歸擬合得到的A?幾乎沒(méi)有差別,b、c的數(shù)值一般遠(yuǎn)小于0.01 (目前的天文大地測(cè)量系統(tǒng)多使用計(jì)算機(jī)守時(shí), 鐘速中誤差小于0.1 mas·h?1, 幾天內(nèi)鐘速變化小于5 mas·h?1[8]), 此時(shí)?λ+a的差異也很小. 因此, 一元回歸模型更為適用.

表1 多元回歸和一元回歸參數(shù)比較Table 1 Parameter comparison of multivariate and univariate regressions

3.3 確定樣本數(shù)量

從b、c取值0.001的仿真數(shù)據(jù)中, 分別隨機(jī)選取不同數(shù)量的樣本, 進(jìn)行一元線性回歸.當(dāng)樣本數(shù)達(dá)到30以上時(shí), 回歸參數(shù)?λ+a與設(shè)定值的差值均小于0.05′′. 圖3中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)表示不同樣本數(shù)量計(jì)算得到的擬合方位角A?的標(biāo)準(zhǔn)差, 可以看出隨著樣本數(shù)量的增大標(biāo)準(zhǔn)差逐漸減小. 設(shè)σA?為擬合方位角標(biāo)準(zhǔn)差,k為樣本數(shù)量, 由散點(diǎn)圖得到擬合曲線:

如果所需的成果精度為σA?, 觀測(cè)樣本數(shù)量k的參考值為:

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在20?N附近某地區(qū)選取相距2–3 km的5個(gè)地面點(diǎn), 進(jìn)行了7個(gè)方向的方位角測(cè)定. 采用Y/JGT-01型天文測(cè)量系統(tǒng), 其中觀測(cè)儀器為T(mén)S30全站儀, GPS導(dǎo)航衛(wèi)星授時(shí), 筆記本電腦守時(shí), 星表系統(tǒng)采用依巴谷星表.

圖3 擬合方位角標(biāo)準(zhǔn)差隨樣本數(shù)量的變化Fig.3 The standard deviation of fitting azimuth varies with the number of samples

首先采用北極星任意時(shí)角法按照一等觀測(cè)綱要施測(cè)[11], 獲取7個(gè)方向的一等天文方位角成果, 作為中天時(shí)角法測(cè)量結(jié)果的評(píng)定基準(zhǔn). 然后在各測(cè)站上一南一北交替觀測(cè)中天星, 為了獲得±0.3′′精度水平的成果, 按照(13)式計(jì)算得出應(yīng)觀測(cè)160組以上的數(shù)據(jù)(由于天氣原因, 5–2方向未能觀測(cè)到足夠的數(shù)據(jù)). 表2列出了每個(gè)方向觀測(cè)的中天星總數(shù)和匹配得到的子午星對(duì)數(shù), 每顆星連續(xù)觀測(cè)6次, 子午星對(duì)法的星對(duì)匹配閾值設(shè)定為±0.3((7)式左側(cè)計(jì)算值). 分別采用單星中天時(shí)角法、子午星對(duì)法和多星中天時(shí)角法, 選擇相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.

表2 各方向測(cè)星數(shù)統(tǒng)計(jì)Table 2 Statistics of stars in each direction

表3為多星中天時(shí)角法回歸變量和響應(yīng)變量的相關(guān)系數(shù)R及在0.01顯著性水平下的檢驗(yàn)臨界值R0.99(n ?2)=表示0.01顯著性水平下自由度為(1,n?2)的F檢驗(yàn)臨界值. 可以看出,所有方向上的R均遠(yuǎn)大于R0.99(n?2),表明線性回歸效果極顯著.

表3 多星中天時(shí)角法相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)Table 3 Correlation coefficient test of multi-star meridian hour angle method

3種方法計(jì)算天文方位角的標(biāo)準(zhǔn)差見(jiàn)圖4. 可以看出, 多星中天時(shí)角法的精度最高,標(biāo)準(zhǔn)差均小于0.4′′. 子午星對(duì)法次之, 單星中天時(shí)角法的精度最差. 5–2方向由于觀測(cè)數(shù)據(jù)量小, 精度明顯低于其他方向.

圖4 3種方法計(jì)算結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差比較Fig.4 Standard deviation comparison of three methods

圖5為3種方法計(jì)算結(jié)果與北極星任意時(shí)角法獲得的一等成果的差值. 可以看出, 單星中天時(shí)角法的計(jì)算結(jié)果明顯大于基準(zhǔn)值, 這是由于觀測(cè)中天星的cosqcosδ/sinz值正負(fù)不對(duì)稱(chēng)造成的. 子午星對(duì)法的計(jì)算結(jié)果在觀測(cè)數(shù)據(jù)量較少時(shí)(5–2方向)出現(xiàn)了較大的偏差. 多星中天時(shí)角法的計(jì)算結(jié)果最為穩(wěn)定, 與基準(zhǔn)值的差值均小于0.5′′, 但全部為正值, 可能是由于自變量區(qū)間正負(fù)不對(duì)稱(chēng)造成的. 由圖2可以看出, 測(cè)站位于20?N時(shí), 南北兩顆等高星的cosδ/sinz不等, 導(dǎo)致自變量正值區(qū)間的數(shù)值大于負(fù)值區(qū)間的數(shù)值. 但在沒(méi)有粗差的情況下, 對(duì)回歸參數(shù)的影響應(yīng)該很小, 這一點(diǎn)還有待通過(guò)更多的不同緯度測(cè)站上的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)回歸方法作進(jìn)一步研究.

圖5 3種方法計(jì)算結(jié)果與一等成果的差值Fig.5 The results of three methods comparing with the first-order results

《大地天文測(cè)量規(guī)范》中規(guī)定: 一等天文方位角采用北極星任意時(shí)角法觀測(cè)18個(gè)測(cè)回, 每個(gè)測(cè)回照準(zhǔn)北極星24次, 成果中誤差限差為±0.5′′. 本實(shí)驗(yàn)中前6個(gè)方向的觀測(cè)量?jī)H為規(guī)范要求的一半左右(5–2方向僅為1/4), 從成果標(biāo)準(zhǔn)差和與一等成果的差值兩項(xiàng)指標(biāo)來(lái)看, 多星中天時(shí)角法計(jì)算結(jié)果已經(jīng)達(dá)到一等天文方位角精度要求.

5 結(jié)論

多星中天時(shí)角法通過(guò)回歸模型解算測(cè)站至地面目標(biāo)的天文方位角, 理論上可以完全消除測(cè)站經(jīng)度誤差和計(jì)時(shí)誤差的影響, 觀測(cè)前不需再對(duì)測(cè)站進(jìn)行精密天文定位, 可直接將通過(guò)導(dǎo)航衛(wèi)星測(cè)量得到的大地經(jīng)緯度作為概略天文經(jīng)緯度使用. 與北極星任意時(shí)角法測(cè)定一等天文方位角相比, 不需在多個(gè)時(shí)間段內(nèi)觀測(cè), 即使減少一半觀測(cè)量, 仍能獲得精度相當(dāng)?shù)某晒? 與子午星對(duì)法相比, 觀測(cè)星的中天位置沒(méi)有限制, 增加了可觀測(cè)星數(shù)量,并且不需要制作專(zhuān)用星表. 回歸分析具有探測(cè)粗差的功能, 因此多星中天時(shí)角法具有較強(qiáng)的魯棒性. 北極星任意時(shí)角法只能應(yīng)用于北半球中緯度地區(qū), 子午星對(duì)法主要適用于低緯度地區(qū), 多星中天時(shí)角法將精密天文定向測(cè)量的工作范圍擴(kuò)展至全球任意地區(qū).

致謝感謝信息工程大學(xué)杜蘭教授仔細(xì)審閱了論文初稿. 感謝審稿人提出的寶貴建議.