動(dòng)中寓靜，尋求突破

王寧

中考數(shù)學(xué)試卷中的壓軸題一直備受關(guān)注，壓軸題在中考試卷中凸顯選拔功能，位于試卷的最后部分，屬于跨領(lǐng)域問(wèn)題，思維層次較高，區(qū)分度大，綜合運(yùn)用多方面知識(shí)解決，對(duì)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高的要求，需要考生抓住變化中的不變量，注重對(duì)考生動(dòng)手能力和自主探索能力的考查。而考生要想達(dá)到此能力狀態(tài)，不僅需要平時(shí)的積累，更需要能看透出題人設(shè)置的啟發(fā)引導(dǎo)、逐層遞進(jìn)的問(wèn)題串，極大地考查了考生的考場(chǎng)學(xué)習(xí)力。壓軸題一般由三問(wèn)組成，第一問(wèn)容易上手，得分率在0.8以上，第二問(wèn)稍難，得分率在0.6～0.7之間，第三問(wèn)難度較大，得分率在0.3～0.4之間。要想多得分，必須要有科學(xué)的分析問(wèn)題的方法，善于總結(jié)壓軸題中蘊(yùn)含的思想方法，比如數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等等，尋求解題思路時(shí)切忌套用機(jī)械的模式，而應(yīng)從不同的角度識(shí)別題目中的條件和隱含信息、圖形的幾何特征，發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，計(jì)算時(shí)要有耐心，不能急于求成，調(diào)整好心態(tài)去爭(zhēng)取更多的得分。常見(jiàn)的壓軸題類(lèi)型很多，有動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題、多種函數(shù)交叉問(wèn)題、幾何圖形歸納猜想問(wèn)題、閱讀理解問(wèn)題、最值問(wèn)題、定值問(wèn)題、存在性問(wèn)題等等。下面筆者選取了一道求面積最值的壓軸題，結(jié)合教學(xué)中學(xué)生的多種思路進(jìn)行分析，希望可以給學(xué)生在解這類(lèi)題型時(shí)提供一些幫助。

【題目】如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線(xiàn)AD移動(dòng)。以CE為直徑作⊙O，點(diǎn)F為⊙O與射線(xiàn)BD的公共點(diǎn)，連接EF、CF，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF，EG與⊙O相交于點(diǎn)G，連接CG。

（1）試說(shuō)明四邊形EFCG是矩形。

（2）①當(dāng)⊙O與射線(xiàn)BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)。在點(diǎn)E的移動(dòng)過(guò)程中，矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值;若不存在，說(shuō)明理由。

② 求點(diǎn)G 移動(dòng)路線(xiàn)的長(zhǎng)。

【分析】這道壓軸題考查了矩形背景下動(dòng)圓的運(yùn)動(dòng)變化，需要運(yùn)用函數(shù)思想解決面積的最值問(wèn)題。本題有效考查了學(xué)生對(duì)圓的有關(guān)性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)的概念、勾股定理、垂線(xiàn)段最短等知識(shí)的掌握情況，同時(shí)也關(guān)注到了初高中知識(shí)的有效銜接。

【分析】第二問(wèn)難度較大，分為兩個(gè)小問(wèn)。第一小問(wèn)是在變化的過(guò)程中求面積的最值問(wèn)題。題目設(shè)置了由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E引起了線(xiàn)段CE的變化，導(dǎo)致以CE為直徑的圓的面積變化，從而帶動(dòng)了圓的內(nèi)接矩形面積的變化。問(wèn)題的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生探究隱藏在“伸縮的圓”和“變化的矩形”中“不變”的數(shù)學(xué)結(jié)論和“變化”的數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生在探究的過(guò)程中充分感受數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)。因此，解決這個(gè)問(wèn)題要運(yùn)用函數(shù)的思想，先設(shè)置一個(gè)自變量，然后用這個(gè)自變量表示矩形的面積，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式觀察有沒(méi)有最值，這里要先求出自變量的取值范圍，再求出最值。而實(shí)際上，許多學(xué)生都能判斷出矩形面積的最大值和最小值在什么位置，并求出最值，但是他們沒(méi)有說(shuō)明出現(xiàn)最值的理由，只屬于合情推理的范疇，沒(méi)有上升到用函數(shù)來(lái)分析解決問(wèn)題的層面，因此失分較多。由于題目沒(méi)有像常規(guī)的動(dòng)點(diǎn)題那樣給出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和速度，導(dǎo)致學(xué)生不知道如何設(shè)置自變量，不過(guò)這也是命題者高明的地方，給學(xué)生自由發(fā)揮的空間，讓他們自己去發(fā)現(xiàn)、去探索。

基于以上分析，第一步可設(shè)置的自變量有許多種，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解法較多，整理下來(lái)可分為以下幾類(lèi)：①設(shè)AE=x或DE= x;②設(shè)EF=x，或CF= x;③設(shè)CE=x;④設(shè)BF= x。第二步用自變量表示矩形的面積，S矩形EFCG=EF·CF，這里需要用含x的式子表示EF和CF，而發(fā)現(xiàn)EF和CF的關(guān)系是關(guān)鍵，也是突破口，需要用到△ABD∽△FEC或運(yùn)用等角的三角函數(shù)比值相等，找到EF∶CF∶CE=3∶4∶5，然后用一個(gè)變量來(lái)表示矩形面積，S矩形EFCG=EF·CF=CF2=EF2=CE2。

最后，根據(jù)所設(shè)自變量x的不同，得到不同的函數(shù)關(guān)系式。例如設(shè)AE=x，則CE2=（4-x）2+9，S矩形EFCG=CE2=（4-x）2+;如設(shè)BF=x，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC，則CM=4-x，F(xiàn)M=x，CF2=（4-x）2 +（x）2，S矩形EFCG=CF2=（x-）2+。

第三步探索發(fā)現(xiàn)自變量x的取值范圍，這一步也是這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)，需要對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程非常明確。如下圖所示，明確了動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，自變量x的取值范圍也就找到了。如設(shè)AE=x，則0≤x≤;如設(shè)CF=x，則≤x≤4;如設(shè)EF=x，則≤x≤3;如設(shè)BF=x，則0≤x≤5。最后一步，根據(jù)自變量x的取值范圍即可求出S矩形EFCG的最大值和最小值。

第二小問(wèn)是求點(diǎn)G 移動(dòng)路線(xiàn)的長(zhǎng)，只要知道點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡就可以了，由于∠CDG=∠CEG，而∠CEG是不變的，所以∠CDG也是固定的，當(dāng)⊙O與射線(xiàn)BD相切時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，此時(shí)∠DCG=90°，而此時(shí)的DG就是點(diǎn)G 移動(dòng)路線(xiàn)的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出。

【教學(xué)反思】本題以“矩形EFCG的變化”為核心問(wèn)題，以問(wèn)題串的形式圍繞核心問(wèn)題進(jìn)行設(shè)問(wèn)，層次遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，在學(xué)生對(duì)核心問(wèn)題步步深入的過(guò)程中，較好地體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，同時(shí)滲透了分類(lèi)、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、轉(zhuǎn)化和特殊化等數(shù)學(xué)思想和方法，在學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證的過(guò)程中，突出考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力。另外，本題解決方法的多樣性充分尊重了學(xué)生思維的個(gè)性差異，這樣的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了課標(biāo)倡導(dǎo)的“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一基本理念，使得本題具有了良好的效度和區(qū)分度，毫無(wú)疑問(wèn)，這道求面積最值的壓軸題極具代表性，分析透徹這道題可以幫助學(xué)生掌握這一類(lèi)題型的解法。