二重積分一題多解的方法總結(jié)

【摘 要】二重積分一般是利用直角坐標(biāo)或者極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。本文中，筆者通過(guò)一道二重積分的例題，發(fā)散思維，給出四種解法，總結(jié)四種方法的使用條件和需要注意的地方。

【關(guān)鍵詞】二重積分;極坐標(biāo);坐標(biāo)變換

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2020）34-0014-02

二重積分是高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)積分學(xué)的重要組成部分。學(xué)習(xí)二重積分，需要具備扎實(shí)的空間解析幾何基礎(chǔ)和良好的定積分運(yùn)算能力。在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師一般是利用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分進(jìn)行計(jì)算，導(dǎo)致學(xué)生思維固化，題目稍微變化就無(wú)從下手。尤其是在研究生入學(xué)考試中，題目的靈活性使得學(xué)生無(wú)從應(yīng)對(duì)。本文中，筆者通過(guò)一道例題的四種解法，總結(jié)二重積分的解題技巧，并且給出每種方法的使用條件和需要注意的地方。

例題：計(jì)算積分，其中由不等式所確定。

1? ?利用極坐標(biāo)系

在二重積分計(jì)算中，將直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的公式為

。

解法1：積分區(qū)域如圖1，是一個(gè)圓心在處，半徑為的圓，積分區(qū)域的極坐標(biāo)方程為。

于是

解法1用的是常規(guī)的極坐標(biāo)變換，但是計(jì)算量比較大，同時(shí)需要有扎實(shí)的定積分計(jì)算功底。該解法涉及定積分的周期公式、三角函數(shù)的和差化積公式和降冪公

式等。

解法2：由可得，令，則積分區(qū)域D的范圍是，故

。

解法2利用的依然是極坐標(biāo)的變換，只不過(guò)出發(fā)點(diǎn)變了，相當(dāng)于觀察者站在圓心處去觀察積分區(qū)域D，解法1是觀察者站在原點(diǎn)處觀察。所以在解法2中相當(dāng)于把坐標(biāo)系平移了，平移以后會(huì)發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域中兩個(gè)積分變量和的上下限都變成了常數(shù)，這樣便大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。但是和解法1一樣，這里也利用了三角函數(shù)的定積分公式，。解法2適用于積分區(qū)域是個(gè)圓，且圓心不在原點(diǎn)處，轉(zhuǎn)化后積分上下限可變?yōu)槌?shù)的情況。

2? ?二重積分的換元法

考研大綱中并沒(méi)有要求學(xué)生掌握二重積分的換元

法[1]，但是在某些情況下，利用換元法能夠很好地進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。

解法3：由可得，令，根據(jù)雅可比行列式

，

故利用公式有

。

解法3應(yīng)用的是二重積分換元法，從計(jì)算量上來(lái)看，比解法1和解法2要少很多。這里用到了積分區(qū)域的對(duì)稱性，換元后，積分區(qū)域D'關(guān)于u軸和v軸對(duì)稱，所以被積函數(shù)關(guān)于v和u是奇函數(shù)的二重積分等于零。實(shí)際上，極坐標(biāo)變換也屬于二重積分的換元法，利用雅可比行列式計(jì)算完以后等于。本題中x，y是有關(guān)u，v的線性函數(shù)，也稱之為線性變換。

3? ?利用形心公式

設(shè)有一平面薄片，在平面上占有區(qū)域，其上

每一點(diǎn)的面密度為。若在上連續(xù)，

且平面上點(diǎn)處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，則該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為：

。

當(dāng)面密度時(shí)，質(zhì)心坐標(biāo)變?yōu)樾涡淖鴺?biāo)。

解法4：由于積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱，所以有，其中

，，因此

。

解法4巧妙地將二重積分的區(qū)域轉(zhuǎn)換對(duì)稱性和形心公式相結(jié)合，大大簡(jiǎn)化了二重積分的計(jì)算[2-5]。這種做法的條件是題目中恰好出現(xiàn)形心公式的一部分，但對(duì)公式的掌握要求較高。

二重積分的計(jì)算方法有很多種，本文通過(guò)一道題的四種解法介紹了極坐標(biāo)變換，從兩種角度進(jìn)行變換的技巧，還有換元法中的線性變換以及利用形心公式解題的技巧。當(dāng)然計(jì)算二重積分還有其他方法，如兩個(gè)定積分的乘積、分部積分等。每種方法都有各自的特點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)要發(fā)散思維，靈活運(yùn)用方法化簡(jiǎn)二重積分。

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【作者簡(jiǎn)介】

楊德彬（1982～），女，黑龍江齊齊哈爾人，碩士，副教授。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。