分類探究數(shù)列中的存在性問題

姜 磊

(江蘇省南京市板橋中學(xué) 210039)

數(shù)列中的存在性問題所給的條件不完備且結(jié)論不唯一，而這些會(huì)給學(xué)生在解決問題的過程帶來不確定性.該類問題學(xué)生在解決時(shí)往往涉及到較為廣泛的知識(shí)面，同時(shí)解決問題的方法靈活，對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能要求較高，但同時(shí)如果學(xué)生找對(duì)了方法，找準(zhǔn)了思路，推理論證的過程也就變得迎刃而解了.

一、某項(xiàng)的存在性問題

數(shù)列的存在性問題的問法有很多種，其中首當(dāng)其沖的是針對(duì)某一項(xiàng)的存在性問題做出的提問.對(duì)于該類問題學(xué)生應(yīng)直接從問題入手，存在性問題的關(guān)鍵是證明存在，或反證不存在，而無論是哪一種方法從問題入手無疑是最快找出解題目標(biāo)的依據(jù).

反思上述例題就是一道從問題入手驗(yàn)證數(shù)列存在性問題的典型.首先根據(jù)所設(shè)情景，所求問題推斷出字母m,n,p間的大小關(guān)系并根據(jù)am,an,ap是等差數(shù)列這一所需驗(yàn)證的結(jié)論可得2an=am+ap，從而通過化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化從正負(fù)的角度得出結(jié)論的矛盾點(diǎn)，從而驗(yàn)證出原結(jié)論的不存在性.

二、前n項(xiàng)和的存在性問題

對(duì)于該類問題考察的方式有許多種，如可能考察前n項(xiàng)求和后與某個(gè)常數(shù)間的大小關(guān)系的存在性問題，或者利用前n項(xiàng)和構(gòu)造新數(shù)列再考察新數(shù)列的存在性問題等.而針對(duì)這一類問題學(xué)生首先依然應(yīng)該從問題入手.

例2已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn，并滿足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

解析(1)因?yàn)閚an+1=Sn+n(n+1)，故當(dāng)n=1時(shí)a2=4，則a2-a1=2.當(dāng)n≥2時(shí)可得，nan+1=Sn+n(n+1)，(n-1)an=Sn-1+n(n-1)，兩式相減可得nan+1=nan+2n，即an+1-an=2.綜上可得數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，公差d=2，故an=2n.

反思上述例題就是一道利用前n項(xiàng)和構(gòu)造新數(shù)列并驗(yàn)證存在性問題.根據(jù)解析不難看出在解題時(shí)首先還是應(yīng)當(dāng)從存在性的結(jié)論入手，確定隱含條件，并通過驗(yàn)證隱含條件的方式間接驗(yàn)證存在性命題的真?zhèn)?

三、其他形式的存在性問題

在數(shù)列問題中除了上述形式的存在性命題的驗(yàn)證外還有其他形式，有和函數(shù)知識(shí)相結(jié)合的存在性問題，有和解析幾何問題相結(jié)合的存在性問題，形式復(fù)雜在此統(tǒng)稱為其他類.

例3已知數(shù)列{an}中a1=5，且an=2an-1+2n-1(n≥2n∈N+).

(1)求a2,a3的值；

解析(1)由題可得a2=2a1+22-1=13，a3=2a2+23-1=33.

反思本題重在考查學(xué)生對(duì)于等差數(shù)列定義的理解與靈活運(yùn)用能力.從問題入手找出解題突破口，明確從等差數(shù)列的定義入手，從而構(gòu)造出條件所給的數(shù)列形式真正做到未解“通項(xiàng)公式”而求解的妙解.

綜上，數(shù)列中的存在性問題對(duì)于學(xué)生的綜合能力要求較高，但學(xué)生從問題入手，尋找突破口，找出隱含條件，再運(yùn)用假設(shè)法假設(shè)命題存在，或運(yùn)用反證法證明原命題的結(jié)論與條件之間存在矛盾，那么一切問題就很變得清晰，解題思路也變得明朗.