領悟教材中之法 破解教材外之題
——以一道2019年全國高考真題多視角解析為例

杜海洋

(四川省成都經濟技術開發(fā)區(qū)實驗中學校 610000)

很多時候我們與學生交流時，學生最愛說的一句：“課堂上我聽得懂，就是課后做不來題.”這應該是讓我們老師極其尷尬的，說得直白點，就是學不會，你也沒策嘛！筆者發(fā)現導致其主要原因是一部分老師重結果輕過程，另就是學不致用，導致講與練脫節(jié)，未將學生就近學習區(qū)思維激活起來.下面筆者就以在講完解三角形這章內容進行復習時，選了一道高考試題進行多視角解答，淺議結合教材知識學以致用，以饗讀者.

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

選題理由(1)本題考查三角形的正弦定理和余弦定理、面積公式的運用，考查三角函數的恒等變換，以及化簡運算能力，最后考查△ABC是銳角三角形這個條件的利用.由于題目所求是范圍問題，又涉及到銳角三角形，所以在解答中突出解法的靈活性、開放性及細微性，考查很全面，又涉及本章主干知識，是一道經典的代表題.

(2)一道高考試題具有權威性，一方面體現本章知識在高考中的地位程度，另一方面容易讓學生在課堂學習認真度極大提高.

(3)對于第(1)問求角，這應是正弦定理或余弦定理的邊角互化的直接體現，由于等式各項的邊為一次型，即本問首選采用正弦定理邊化角的處理策略.對于第(2)問，我們首先會感悟函數求最值或值域常用的方法有:函數單調性法、不等式法、圖象法、坐標法等等，尤其是三角函數的特殊性有沒有破解這類問題“自身”的“獨門絕技”？高中三角函數的定義可是單位圓引入的哦，三角函數圖象用到圓，正弦定理的推導也用到三角形的外接圓，其實余弦定理推導也可用到圓等等，可見三角形與圓形影不離，那么這類題可以借用圓解不？下面筆者就從這幾個不同的方面對此題進行探究.

探究一研讀題意同學們發(fā)現第(1)問難度不大，運用三角函數的誘導公式和二倍角公式，以及正弦定理，計算可得所求角.

視角一、目標函數法

方法一以邊為目標函數

評注建立不等式求最值或值域是常見的一種處理策略，尤其是均值不等式的運用.本法通過將面積轉化為某一邊的函數，利用了銳角三角形這一條件，通過余弦定理建立不等式組來確定a的范圍，從而求得結果.由于此法涉及只有一邊，并且邊的次數為1，發(fā)現均值不等式不能奏效況且為銳角三角形，均值不等式直接控制不了“最大值”或“最小值”.本法體現了余弦定理典型的靈活運用.

方法二以角為目標函數

反思三角形涉及邊和角兩大核心要素，由以上兩種解法我們體會到：題設尤其前提已知三角形是銳角、鈍角三角形時，知道一邊和一角求面積、周長或兩邊和與比等最值或值域，則隱含地告訴學生可以建立以角(邊)為變量的函數，但建立以角為目標函數成為解決這類問題的通法.體現了屬于典型的轉化化歸的數學思想

探究二我們深知一個定理或公式的得來，其推導方法及思想更重要，可以說重要的程度遠遠超過這些定理或公式.尤其在推導正弦定理時的平面幾何法，以及外接圓法思想應該記憶猶新，自然會想到這兩種方式都能推出正弦定理，可以大膽運用此思路試做！

視角二、幾何法

解法三平面幾何作圖法(秒殺1).

評注數學來源于生活，我們深知數學很多的結論可以通過數學實驗來驗證或完成.尤其三角形三內角和定理，三邊關系，圓錐曲線等定義或結論,通過實驗讓學生身臨其境感受數學魅力.本法可以說是一次“實踐出真知”.

解法四外接圓法(秒殺2)

類比法三，因為由已知條件知道角B和邊c，又因為所求的是銳角三角形即聯想直角三角形是其臨界點，則構造以AB為直徑的圓，同理易得當AC與圓弧AD相交或AC成為圓的切線時，此時點C為其臨界點，以下解法同法三.

評注單位圓或三角形的外接圓是解決涉及三角形已知一角和邊(不管角與邊是否相對)求有關邊、角、周長或面積的最值(值域)的快速解法，尤其是三角形給出銳角或鈍角三角形的約束條件，利用此法可快速破解!

反思通過方法三、四我們真正體會到領悟教材定理、例題的解題方法及思路是解答問題的根本之源.這也是我們常常倡導不要“重結果，輕過程”的緣由吧！

探究三數形結合法是我們研究高中數學不可缺少的一種有效手段，坐標法是數形結合的真正體現，坐標法的優(yōu)越性可將復雜的線段或角的關系轉化為純數據處理，從而避免了圖形思維的難度.當然恰當的建系可為運算帶來簡便，提高解題速度.

視角三、數形結合法

解法五坐標法

評注坐標法是高中數學中典型的數形結合方法體現，坐標法主要功能是將復雜的幾何關系轉化為“數”建立方程或不等式進行計算.解三角形用坐標法其中如何建系尤為重要，一般將已知角的頂點作為坐標原點為關鍵步驟，當然盡可能將其中一邊放在坐標軸上，本法將a邊與x軸重合的目的是點A的坐標易求.

探究四在證明余弦定理、兩角差的余弦公式時再次體現了平面向量工具性的強大作用，那么就應該活學活用，現學現用.讓學生真正體會教材定理、例題蘊含的知識寶庫！

視角四、向量法

解法六(向量法1)

同法五要使△ABC為銳角三角形，即cosA>0，cosC>0.由向量

解法七(向量法2)

評注向量與三角密不可分，正弦定理、余弦定理的證明，兩角差的余弦公式推導等都把向量的工具性體現得淋漓盡致，尤其要注意a·b>0時，兩向量的夾角可為0°等一些特殊情況.

反思由本例的幾種角度探究我們體會到方法來源于教材，其中解法不只是教材的定理、性質等直接運用，還包括推導這些定理、性質的方法與思路的再現.這就是典型的活學活用，現學現用！真正讓學生重視課本、領悟課本精髓而又不拘泥課本.

細心的讀者發(fā)現這是典型的“子母題”.(請讀者根據以上提供的幾種思維方法進行解答，筆者發(fā)現此題利用三角形外接圓可以“秒殺此題”)

總之，教學要重視教材，提煉教材的精華，要將教材的思維方法付諸實施，才能讓學生感受解題有本之根！解三角形問題離不開邊和角，涉及一邊和一角、一角和兩邊關系等、因為邊角的互化關系，最終可將問題化歸為邊或角達到歸一，這就是我們常說類型題解法的“大格局”. “多想少算”是當今高考命題一大亮點，尤其在解答一些小題時可結合運動觀點進行最值或值域的妙解，如采用的單位圓法，外接圓法，隱形圓法等可以“秒殺”此類問題.一題一世界，選擇高質量的試題進行探究，知一題懂一類.“刷”高質量的代表題，真正讓學生擺脫“題?！保圆蛔儜f變，決勝高考！總之：解三角形是高考考查的重點和熱點，尤其面積與正余弦定理的結合每年必考，所以我們平時不但要對基本公式熟練掌握，還有對通性通法進行靈活運用.以上介紹的解法僅是涉及能轉化為求邊或角的值或值域的一些基本方法與教材同源，同學們需要平時學習中從教材探索總結才能不斷地變通及提高學習效率.