如何上好數(shù)學(xué)概念課
——以“平方根”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例

■張曉蔚

數(shù)學(xué)概念課是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)技能教學(xué)的核心，任何一部分內(nèi)容的教學(xué)，都離不開(kāi)概念教學(xué)。如何高效實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué)，值得我們思考。下文筆者以“平方根”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，對(duì)概念課教學(xué)進(jìn)行闡述。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.學(xué)習(xí)目標(biāo)。

知識(shí)與技能：

（1）了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示正數(shù)的平方根；

（2）了解開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根。

過(guò)程與方法：

（1）通過(guò)學(xué)習(xí)平方根，進(jìn)一步建立數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維；

（2）通過(guò)對(duì)正數(shù)平方根特點(diǎn)的探究，了解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系，體驗(yàn)類(lèi)比、化歸等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，提高對(duì)問(wèn)題的遷移能力。

2.教學(xué)流程。

（1）問(wèn)題與情境。

師：我們學(xué)過(guò)了有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法、乘方這五種運(yùn)算，在這五種運(yùn)算中哪些是互為逆運(yùn)算的呢？

師：正方形面積為25 平方厘米，那么它的邊長(zhǎng)是多少呢？

生：5厘米。

師：如果把面積改為2 呢？那么它的邊長(zhǎng)是多少呢？我們?cè)谝褜W(xué)過(guò)的數(shù)的范圍內(nèi)找不到這個(gè)數(shù)，那么今天便來(lái)學(xué)習(xí)“平方根”。

設(shè)計(jì)意圖：回顧幾種運(yùn)算，一方面為引進(jìn)平方根的概念起到借鑒作用，另一方面為弄清楚開(kāi)平方運(yùn)算做鋪墊。通過(guò)引入，學(xué)生感受到今天是一節(jié)概念課，同時(shí)也是一種運(yùn)算的呈現(xiàn)。

（2）探索規(guī)律，揭示新知。

師：在已知正方形面積25，求正方形的邊長(zhǎng)的問(wèn)題上，我們實(shí)際上在思考哪個(gè)正數(shù)的平方是25。大家易想到5。那如果老師寫(xiě)出以下式子，括號(hào)里應(yīng)該填什么數(shù)呢？（ ）2=25；（ ）2=4。

生：5和-5；2和-2。

師：很好，我們知道 25 是正負(fù) 5 的平方，4 是正負(fù)2 的平方，那么反過(guò)來(lái)，正負(fù)5 是25 的什么呢？正負(fù)2是4的什么呢？

生：平方根。

師：很好，大家能感受到平方和平方根的聯(lián)系與區(qū)別嗎？你能舉出類(lèi)似的式子嗎？互相問(wèn)答并分小組討論平方根的定義。

小結(jié):一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫作a的平方根（或二次方根）。就是說(shuō)，如果x2=a，那么x叫a的平方根，記作

師：知道了平方根的概念和表示方法，請(qǐng)問(wèn)（ ）2=2？

設(shè)計(jì)意圖：情境問(wèn)題的延續(xù)，對(duì)平方根的本質(zhì)進(jìn)行探討，學(xué)生能夠較快地接受平方根的概念。學(xué)生在活動(dòng)中初步體會(huì)一個(gè)數(shù)的平方根的個(gè)數(shù)與這個(gè)數(shù)的性質(zhì)有關(guān)。

師：你能編幾個(gè)求平方根的題目，考考你周?chē)耐瑢W(xué)嗎？

接著教師提問(wèn)：（ ）2=9（ ）2=5；（ ）2=0；（ ）2=-4。

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)。 因?yàn)橹挥? 的平方得0，所以0 只有一個(gè)平方根，是本身。因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都不可能是負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)對(duì)具體的數(shù)的平方根進(jìn)行討論交流，總結(jié)出正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的平方根的情況。學(xué)生親自探索規(guī)律過(guò)程，加深對(duì)規(guī)律的理解。

師：我們通過(guò)探討得到了正數(shù)a有兩個(gè)平方根，其中正的平方根叫作a的算術(shù)平方根，記作而求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫作開(kāi)平方（a≥0）。

師：請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)說(shuō)平方根和算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別。

生1：平方根有兩個(gè)；算術(shù)平方根有一個(gè)，是正的那個(gè)。

生2：不對(duì)。應(yīng)該說(shuō)正數(shù)的平方根有兩個(gè)；正數(shù)的算術(shù)平方根有一個(gè)，是兩個(gè)平方根里正的平方根。

師：很好，也就是說(shuō)我們求某個(gè)正數(shù)的平方根，應(yīng)該寫(xiě)出兩個(gè)，而求某個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只能寫(xiě)出一個(gè)。那么0有沒(méi)有算術(shù)平方根呢？

生：是0。

師：對(duì)，0 的平方根只有 1 個(gè)，規(guī)定 0 的算術(shù)平方根也是0。

設(shè)計(jì)意圖：指明概念，給出相應(yīng)問(wèn)題，層層辨析，再轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和符號(hào)感，讓學(xué)生弄清楚平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系。提問(wèn)中再現(xiàn)概念，思考本質(zhì)，鞏固深化。

（3）學(xué)以致用。

例1判斷下列各數(shù)有沒(méi)有平方根，如果有平方根，試求出它的平方根；如果沒(méi)有平方根，說(shuō)明理由。

（1）81；（2）-81；（3）0 ；（4）（-7）2；（5）-72。

例2求下列各數(shù)的平方根。

請(qǐng)你說(shuō)出上述各數(shù)的算術(shù)平方根。

例3（1）若有意義，則a的取值范圍是__________。

設(shè)計(jì)意圖：圍繞教學(xué)目標(biāo)，明晰概念。學(xué)生通過(guò)例1判斷有沒(méi)有平方根，關(guān)鍵看所求的數(shù)是不是非負(fù)數(shù)；學(xué)生通過(guò)例2再次感受到非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的唯一性。而例3用字母代替數(shù)字，讓本節(jié)課提升到一定的高度。根據(jù)算術(shù)平方根的意義，有隱含條件，根號(hào)下的式子必須大于等于0，學(xué)生能更深刻地理解被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性，也為以后二次根式的學(xué)習(xí)做鋪墊。

二、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)概念都有其本質(zhì)特征，教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重概念的分析，一步步揭示概念的本質(zhì)。在平方根的教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)了恰當(dāng)?shù)谋尘耙敫拍?，通過(guò)問(wèn)題再現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析并嘗試概括平方根的真正內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)。教師在教學(xué)中主要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，在探索中逐步理解概念的本質(zhì)，同時(shí)有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)不是以讓學(xué)生學(xué)會(huì)概念為終極目標(biāo)，而是讓學(xué)生在參與活動(dòng)中生成和構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，更要讓學(xué)生體悟概念蘊(yùn)含的豐富的實(shí)際意義，理解它的生活價(jià)值，獲得對(duì)知識(shí)的整體認(rèn)知。