例談數(shù)形結(jié)合法巧求三角形面積的范圍

劉海珍　劉秀萍

三角形的面積問(wèn)題是高考中的一類重點(diǎn)問(wèn)題，屬于解三角形問(wèn)題中比較難的題型，運(yùn)用常規(guī)解法有時(shí)運(yùn)算量大，耗時(shí)長(zhǎng).下面舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合法巧解三角形面積的范圍問(wèn)題.

1 知一角及其對(duì)邊型

例1 （2014年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ理16）已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為.

分析 首先把2替換為a，等式的兩邊角化邊，得到（a+b）（a-b）=（c-b）c，整理得c2+b2-a2=bc，從而根據(jù)余弦定理求得A=π3.

常規(guī)解法 根據(jù)余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，得4=b2+c2-bc，再利用重要不等式

b2+c2≥2bc，得bc≤4（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立）.所以S△ABC=12bcsinA≤3.數(shù)形結(jié)合 已知一邊及其對(duì)角則三角形的外接圓確定，直徑為433，如圖1.

由圖可知在保持a=2，A=π3的情況下，A點(diǎn)可在優(yōu)弧BC上任意移動(dòng)（點(diǎn)B、C除外），當(dāng)點(diǎn)A與圓心的連線與BC垂直時(shí)，三角形的高最長(zhǎng)，面積最大，此時(shí)三角形恰好是等邊三角形，所以三角形的面積最大為3.

變式 把三角形變?yōu)闉殇J角三角形，其它條件不變，求△ABC面積的范圍.

由圖2可知△ABC面積的最大值不變，當(dāng)∠ACB或∠ABC等于90度時(shí)，面積取到臨界值1，所以△ABC面積的范圍是

（1，3].

總結(jié) 知一邊及對(duì)角的三角形，其外接圓確定，這個(gè)三角形唯一的動(dòng)頂點(diǎn)在其外接圓的相應(yīng)的優(yōu)弧或劣弧上運(yùn)動(dòng)，由此引起的很多三角形中的最值范圍問(wèn)題，都可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合法解決.

2 知一角及其鄰邊型

例2 （2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

asinA+C2=bsinA.

（1）求B;

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

分析 常規(guī)解法：（1）略.

（2）由題設(shè)及（1）知B=60°，△ABC的面積S△ABC=34a.

由正弦定理得a=csinAsinC=sin（120°-C）sinC=

32cosC+12sinCsinC=

32tanC+12.

由于△ABC為銳角三角形，故0°33，故12

因此，△ABC面積的取值范圍是

38，32.

數(shù)形結(jié)合

如圖3，由題意知點(diǎn)C在射線BM（B點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng).保持∠B=π3，c=1不變，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，先考慮臨界的情況（即△ABC為直角三角形時(shí)）.當(dāng)AC⊥BM時(shí)，△ABC的面積取到最小值的臨界值為38，當(dāng)AC⊥AB時(shí)，△ABC的面積取到最大值的臨界值為32.所以△ABC面積的取值范圍是38，32.

總結(jié) 知一角及鄰邊的三角形，其唯一的動(dòng)頂點(diǎn)在角的另一條邊上運(yùn)動(dòng)引起三角形中一些量如面積、周長(zhǎng)等范圍的改變，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法這些范圍問(wèn)題都可以輕松的解決.

3 三角形中的綜合問(wèn)題

例3 在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在線段BC上，且BC=3BD，AD=2，求△ABC面積的最大值.

分析 常規(guī)解法：記角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則BD=a3，

DC=2a3.

在△ABC中，利用余弦定理，可得a2=b2+c2-bc.①

再利用cos∠ADB+cos∠ADC=0，可得a2=b22+2c2-18.②

由①②可得18=b22+2c2+bc≥3bc，即bc≤6，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)b22=2c2即b=2c時(shí)成立，此時(shí)△ABC的面積取得最大值332.

數(shù)形結(jié)合 如圖4，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交AD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

則△BDE相似于△CDA.所以DEDA=BDCD=12.又

因?yàn)锳D=2，所以DE=1，AE=3，因?yàn)椤螧AC=60°，所以∠ABE=120°.

在△ABE中，知一邊AE及對(duì)角∠ABE，同例1其外接圓確定，直徑為23，

所以當(dāng)BA=BE時(shí)，△ABE的面積最大為334.

又S△ABC=32S△ADC=6S△BDE=2S△ABE，所以

△ABC的面積的最大值為332.

變式 此題若改為求△ABC面積的范圍，則常規(guī)解法難以描述清楚，若采用數(shù)形結(jié)合法，則容易看出當(dāng)點(diǎn)B接近于點(diǎn)E或點(diǎn)A時(shí)，△ABC的面積接近于0，所以△ABC的面積的范圍是0，332.

總結(jié) 有些三角形中的綜合問(wèn)題，可以創(chuàng)造條件轉(zhuǎn)化為前兩種基本題型.

總之，直觀想象能力是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題既是解決問(wèn)題的需要也是培養(yǎng)直觀想象能力的一個(gè)重要途徑，需要我們從平時(shí)的教學(xué)中深入挖掘素材，不斷地探索研究.