使用費米問題來引入數(shù)學(xué)建模

【摘 要】 數(shù)學(xué)建模作為一種問題解決方式，建立起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間溝通的橋梁.目前學(xué)校教育中的數(shù)學(xué)建模經(jīng)過簡化無法使學(xué)生經(jīng)歷完整的建模過程，其建模能力不能得到有效提高.費米問題需要學(xué)生對涉及估算的現(xiàn)實生活進行簡化和數(shù)學(xué)化，且在通常情況下沒有特定的解決方案，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，并給數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供了新的思路.

【關(guān)鍵詞】 費米問題;數(shù)學(xué)建模教學(xué);估算

近年來，人們愈發(fā)關(guān)注在課堂上引入涉及數(shù)學(xué)建模的各種活動.盡管應(yīng)用和建模在大多數(shù)國家的課堂教學(xué)中比過去起著更重要的作用，但教育理念仍未統(tǒng)一，創(chuàng)新課程與日常教學(xué)實踐之間存在著很大間隙[1].數(shù)學(xué)建模作為溝通數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實世界之間的橋梁，而現(xiàn)實世界的變化多端也意味著學(xué)校的建模教學(xué)不能墨守成規(guī)，應(yīng)在尋求多角度引入的基礎(chǔ)上不斷推動建模的多樣化與創(chuàng)新化教學(xué).

我國于2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》[2]中就突出強調(diào)了對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的重要性，并且首次給出了數(shù)學(xué)建模過程的框架圖.最新頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下稱《課標(biāo)2017》）提出了數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)分別為：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析[3].其中，數(shù)學(xué)建模作為六大核心素養(yǎng)之一，并且同時與函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計作為四條主線貫穿高中數(shù)學(xué)課程.由此可見，數(shù)學(xué)建模在我國課程標(biāo)準(zhǔn)中的地位之高，其對學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的重要性也不言而喻.

《課標(biāo)2017》中明確指出要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的整個過程，即在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.但在目前的課堂教學(xué)中，學(xué)生往往根據(jù)教師已經(jīng)提供好的問題、數(shù)據(jù)進行計算求解，跳過了完整建模必須經(jīng)歷的環(huán)節(jié).這種情況一方面是由于學(xué)生目前的課業(yè)負擔(dān)較重沒有足夠的時間去體驗經(jīng)歷建模的完整過程，另一方面也由于教師缺乏足夠的建模教學(xué)經(jīng)驗，不能提供切合的現(xiàn)實情境問題去幫助學(xué)生真正地開展數(shù)學(xué)建?；顒?長此以往，學(xué)生也就無法感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實間的聯(lián)系，無法提升數(shù)學(xué)建模這一重要能力.

本文將從費米問題入手，研究費米問題的良好特性以及學(xué)生在解決費米問題中所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)建模過程，探討在目前的課堂中使用費米問題來引入數(shù)學(xué)建模的重要影響.同時，也可將使用費米問題來引入數(shù)學(xué)建?？醋魇菍Ξ?dāng)前數(shù)學(xué)建模常規(guī)化教學(xué)的一種推動與創(chuàng)新.

1數(shù)學(xué)建模

在數(shù)學(xué)教育中，有許多方法可以使用、研究或描述數(shù)學(xué)建模.建模過程通常始于實際問題.在對現(xiàn)實世界建模時，我們不斷在現(xiàn)實與數(shù)學(xué)之間進行切換.通過簡化，構(gòu)造和理想化此問題，可以獲得一個真實的模型[4].學(xué)者Lesh和Harel提出數(shù)學(xué)模型的定義[5]，他們認為模型是用于構(gòu)建、描述或解釋其他系統(tǒng)的概念系統(tǒng)，包括一個概念系統(tǒng)及其相應(yīng)的過程.學(xué)者Borromeo Ferri將數(shù)學(xué)建模表示為整個問題解決過程（迭代和/或循環(huán)），從六個階段（實際情境、情境的心理表征、實際模型、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)結(jié)果、實際結(jié)果）和轉(zhuǎn)換過程（理解任務(wù)、簡化/建構(gòu)任務(wù)、數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)工作、解釋和驗證）來描述建模過程，如圖1所展示[6].對于數(shù)學(xué)建模中的“迭代和循環(huán)”，我們可以理解為，建模的本質(zhì)事實上是循環(huán)的，創(chuàng)建一個以抽象方式描述或表示某種現(xiàn)象或現(xiàn)實的數(shù)學(xué)模型是一個復(fù)雜的過程，該過程在不同的迭代中重復(fù)，這些迭代改進了先前得到的模型和解法，從而成為適應(yīng)解決每個問題的需要.當(dāng)我們在更詳細地劃分有關(guān)復(fù)雜的問題解決過程時，可以使用由Maaβ提出的“能力”的概念[4]，將建模循環(huán)劃分為子過程或子活動.在本研究中，就將利用六個建模子活動來分析學(xué)生在建模過程中的表現(xiàn).

2 費米問題

費米問題一詞最早源于1938年諾貝爾物理學(xué)獎得主Enrico Fermi.他提出了關(guān)于費米問題的經(jīng)典例子，即芝加哥有多少個鋼琴調(diào)音器？費米問題的定義如下：“開放的、非標(biāo)準(zhǔn)的問題，要求學(xué)生對問題情境做出假設(shè)，并在解題之前估算相關(guān)數(shù)值，這通常是一些簡單的計算[7].” Efthimiou和Llewellyn從其特殊的表述中描述了費米問題[8]，因為它總是看似分散的，且其能提供的具體信息不多，并且很少有相關(guān)特點來指引如何得到解決方案.從這些對費米問題的表述中可以看到，所謂的費米問題是一種特定類型的活動，沒有對所需解決的問題提供完整的信息，需要對涉及估算的現(xiàn)實生活進行簡化以及做出相應(yīng)的數(shù)學(xué)化，且在通常情況下沒有特定的解決方案.為了對所呈現(xiàn)的情形進行詳細分析，我們需要將費米問題分解為能得出原始問題答案的更簡單的問題.

rlebck指出[9]，研究費米問題可能有助于將建模引入課堂的原因如下：（1）現(xiàn)實的費米問題易于被不同教育水平的學(xué)生們所接受，并且學(xué)生不需要先前學(xué)習(xí)一些特殊的數(shù)學(xué)知識;（2）促使學(xué)生構(gòu)建與問題相關(guān)的信息;（3）現(xiàn)實的費米問題要求學(xué)生制定針對具體情境的解決策略;（4）由于現(xiàn)實中的費米問題不提供數(shù)字數(shù)據(jù)，所以學(xué)生必須自己估算幾個數(shù)據(jù);（5）促進學(xué)生互相討論.

正是根據(jù)上述這些原因，以及費米問題在我國目前數(shù)學(xué)建模教學(xué)中涉及較少，本文將介紹學(xué)生在解決費米問題的過程來說明使用費米問題引入數(shù)學(xué)建模的有效性.

3 研究過程——“帝國大廈問題”[10]

學(xué)者Sriraman和Lesh曾就有關(guān)估算和費米問題中指出[11]“估算活動可以作為引發(fā)數(shù)學(xué)建模的一種方式”.學(xué)生在解決與現(xiàn)實相關(guān)的費米問題時，通常需要根據(jù)現(xiàn)實情境做出估算判斷，不同的學(xué)生可能會產(chǎn)生不同的解決方案，這是極富有個人特色的，而通常情況下這樣的解決過程是與前文提及的建模循環(huán)過程相吻合.也正由于解決費米問題并不需要學(xué)生具有豐富的先前建模經(jīng)驗，不同水平的學(xué)生可以在不同的抽象層面上建立數(shù)學(xué)模型來解釋費米問題的實際情境，這為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力提供了良好的機會.因此，這促使我們考慮將費米問題引入數(shù)學(xué)建模教學(xué)，利用費米問題來分析學(xué)生建模過程.下面將通過一個費米問題，來展現(xiàn)和分析學(xué)生的解決過程.

C：嗯，有人坐過FREE FALL（是瑞典斯德哥爾摩游樂園格隆納隆德的一個景點）嗎？

A：（與B異口同聲）沒有.

C：我在想.嗯，它高90米的話，需要花費多長時間到達那？我認為需要15，20-25秒，那是90米的情況.

B：是的.

C：它（帝國大廈）一定高于200米.

研究分析 從上述過程可以看到，費米問題是在學(xué)校教育中引入數(shù)學(xué)建模的一種很好方式.所有建模子活動都在解決費米問題的過程中得到了豐富的展現(xiàn)，與此同時也辯證地推進了任務(wù)解決方案的發(fā)展.在解決問題的過程中，小組動態(tài)對于不同子活動的發(fā)展和激活至關(guān)重要.當(dāng)面對不同的信念和觀點時，是小組中的討論和互動驅(qū)動并形成了建模過程.

使用現(xiàn)實的費米問題的關(guān)鍵原因之一是它可以促進小組就問題的設(shè)定和解決方案進行討論.這些期望都在研究中得到了證實，但是研究也表明了，這類問題在一定程度上會使學(xué)生的注意力不再集中在數(shù)學(xué)本身，并且學(xué)生在討論如何估計、構(gòu)造問題時走向了錯誤的解題方向.由此看來，問題的現(xiàn)實特征就成為了關(guān)鍵.盡管在此過程中，對數(shù)學(xué)的要求只是處于非?；A(chǔ)的水平，但是可以通過明確要求一個公式來增強對數(shù)學(xué)的要求，這個公式可以是與大樓高度和使用電梯或樓梯上下耗費時間相關(guān).4 總結(jié)與反思

回顧學(xué)生解決“帝國大廈”高度的過程，我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生參與解決現(xiàn)實的費米問題時，他們可以完整地經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的整個過程，并且這對于學(xué)生是否具有充足的建模經(jīng)驗并無太高要求，換言之，費米問題很適合作為一種數(shù)學(xué)建模教學(xué)的引入方式.現(xiàn)實的費米問題來源于生活，貼近生活實際，學(xué)生在解決時需要主動對問題進行背景化并適當(dāng)?shù)囊虢Ｔ?此外，費米問題所提供的條件和所需數(shù)據(jù)都是不充分、不完整的，而其解決方案更不是特定的、常規(guī)的，這一切問題都有待于學(xué)生親自去進行情境分析和數(shù)據(jù)挖掘.這種開放式的建模任務(wù)在一定程度上給予了學(xué)生在平時課堂中無法得到的建模能力訓(xùn)練，并由此也推動了學(xué)生積極活躍地參與數(shù)學(xué)建?；顒?，從而產(chǎn)生廣泛的解決策略，促進學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展.當(dāng)學(xué)生處理涉及現(xiàn)實生活情境或現(xiàn)象的情景化問題時，所有的建模能力都在建模過程中被激活了.

數(shù)學(xué)建模教育需要分階段、有系統(tǒng)并持之以恒地開展，同時也要形式靈活，密切聯(lián)系生產(chǎn)生活和社會發(fā)展的實際，用發(fā)展的眼光和熱情來調(diào)動學(xué)生的興趣[12].也正因此，結(jié)合我國目前中小學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)特點，提出了以下建議：

首先，選擇并設(shè)計與生活實際相關(guān)的問題作為建模任務(wù)，減少刻意改編和人為加工.目前中小學(xué)生所能接觸到的與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的問題基本是源自課本中或試卷的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，這一方面局限了學(xué)生對于數(shù)學(xué)建模的認知，另一方面也限制了學(xué)生的建模能力的發(fā)展.因為數(shù)學(xué)建模更強調(diào)的是運用所學(xué)知識來解決生活實際問題，此過程中的知識輸入和策略輸出都是動態(tài)發(fā)展的，并不同于一般的求解應(yīng)用題得到明確答案的過程.學(xué)校中所提供的數(shù)學(xué)建模問題大多是具有明確條件和充足數(shù)據(jù)，符合常規(guī)的解決思路與方法，而費米問題則打破了這樣的規(guī)則，它需要學(xué)生根據(jù)個人經(jīng)驗與實際情境收集數(shù)據(jù)，建立模型，通常情況下還需要經(jīng)過學(xué)生之間的協(xié)作與交流才能完成最終的任務(wù).由此，教師應(yīng)該在教學(xué)過程中，減少對所謂建模性質(zhì)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的使用，增加一些可以促使學(xué)生主動收集資料，自主選擇建模方案的實際問題.

其次，教師應(yīng)多鼓勵學(xué)生進行自主性探究學(xué)習(xí)、小組合作交流，減少傳統(tǒng)講授環(huán)節(jié).中小學(xué)生由于課程壓力較大，時間緊迫，無法有充足的課余時間來進行自主的建模探究學(xué)習(xí)，取而代之的是教師在課堂上直接講解問題，滿足于求得最終答案即可，極大地忽略了對學(xué)生建模能力的培養(yǎng).有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的方法就是讓學(xué)生經(jīng)歷建模的整個過程，讓學(xué)生有豐富的建模體驗和感悟，而不是追求對特定問題的解答即可.當(dāng)學(xué)生能夠自己對現(xiàn)實問題進行分析和數(shù)學(xué)化，將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為解決策略，其能力才可以得到提升.費米問題的解決過程，不僅是學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的一種體現(xiàn)，也是小組成員合作交流的展示.學(xué)生自己對問題的信息作出假設(shè)補充，是利用了自己的知識與經(jīng)驗，而成員間對所設(shè)定的數(shù)據(jù)相互質(zhì)疑、交流想法，也促進了學(xué)生學(xué)會尋找間接證據(jù)支撐自己的想法、學(xué)會多角度看待問題.這些都是數(shù)學(xué)建模所期望學(xué)生最終可以具備的能力，教師的傳統(tǒng)講授則剝奪了這樣一種能力的形成環(huán)節(jié).

數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的一個重要組成部分，考慮數(shù)學(xué)建模教學(xué)的未來發(fā)展，我們應(yīng)不斷借鑒國際上的優(yōu)秀做法，推動我國數(shù)學(xué)建模教學(xué)的進一步創(chuàng)新.

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作者簡介

朱雨姝（1996—），女，江蘇淮安人，碩士研究生，研究方向為數(shù)學(xué)教育（指導(dǎo)教師：周超）.于2018年榮獲蘇州大學(xué)“校二等獎學(xué)金”，2019年榮獲蘇州大學(xué)“校三等獎學(xué)金”.