圓弧曲線的二次有理Bézier表示方法

楊 艷，黃家珩

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 離石 033001)

0 引言

圓弧曲線在CAGD中地位比較重要，一方面因?yàn)閳A不能由Bézier曲線和B樣條曲線精確表示，另一方面在旋轉(zhuǎn)體的表示中，圓弧起到至關(guān)重要的作用，同時(shí)在圓弧的表示中，可以類似得到橢圓弧或橢球面的表示.

而自由曲線一般討論Bézier曲線、B樣條曲線、有理Bézier曲線和NURBS曲線.前兩者的實(shí)質(zhì)是多項(xiàng)式，可以簡單得到圓的逼近，在[1]中詳細(xì)敘述了3次Bézier曲線逼近圓的方法.B樣條曲線逼近圓一般選用正8邊形的控制頂點(diǎn)，選其中相鄰4段輪換得到8條B樣條曲線進(jìn)行拼接.而有理Bézier曲線是NURBS曲線的特例，故研究用有理Bézier曲線精確表示圓.

以點(diǎn)pi(xi，yi)(i=0，1，…，n)為控制頂點(diǎn)，wi(i=0，1，…，n)為權(quán)重的一條n次有理Bézier曲線的表達(dá)式為：

(1)

有理Bézier曲線有如下端點(diǎn)性質(zhì)[2]：

P(0)=P0，P(1)=Pn，

即有理Bézier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)過第一個(gè)和最后一個(gè)控制頂點(diǎn)，且在起點(diǎn)和終點(diǎn)的切線分別平行于最前兩個(gè)和最后兩個(gè)控制頂點(diǎn)的連線.這一性質(zhì)用于判斷二次有理Bézier曲線控制頂點(diǎn)的位置.

1 參數(shù)方程法

(2)

即圓的參數(shù)方程為二次有理多項(xiàng)式，故用二次有理Bézier曲線表示圓弧.特別地，當(dāng)t∈[0，1]時(shí)，上述表達(dá)式表示的是第一象限的四分之一圓.

另一方面，由(1)式得，以P0(x0，y0)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)為控制頂點(diǎn)，w0，w1，w2為權(quán)重的一條2次有理Bézier曲線的參數(shù)形式為：

(3)

對比(2)式和(3)式，令分母相同，有

w0(1-t)2+2w1(1-t)t+w2t2=1+t2，

整理為，

(w0-2w1+w2)t2+(-2w0+2w1)t+w0=1+t2，

令左右兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，可得下列方程組

解之得權(quán)重分別為：w0=1，w1=1，w2=2.

對比(2)式和(3)式，由分量x的分子相同，有

w0(1-t)2x0+2w1(1-t)tx1+w2t2x2=r(1-t2)

整理后，令左右兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，可得下列方程組

解得x0=r，x1=r，x2=0.

同理，對比(2)式和(3)式，由分量y的分子相同，有

w0(1-t)2y0+2w1(1-t)ty1+w2t2y2=r·2t

整理后，令左右兩邊對應(yīng)系數(shù)相等，列方程組，解得y0=0，y1=r，y2=r.

綜合以上三個(gè)解，可得圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的第一象限四分之一圓的控制頂點(diǎn)坐標(biāo)為p0(r，0)，p1(r，r)，p2(0，r)，對應(yīng)權(quán)重分別為w0=1，w1=1，w2=2，如圖1.根據(jù)Bézier曲線與B樣條曲線的關(guān)系，可以將其表示為節(jié)點(diǎn)集為{0，0，0，1，1，1}的二次NURBS曲線.

對第一象限的四分之一圓進(jìn)行對稱，可得整圓，如圖2，此處用四段有理二次Bézier曲線拼接生成整圓.由Bézier曲線與B樣條曲線的關(guān)系，一方面可以將其理解為四條NURBS曲線拼接生成的結(jié)果.另一方面，應(yīng)用B樣條曲線的節(jié)點(diǎn)插值性，可以將整圓理解為節(jié)點(diǎn)集為

控制頂點(diǎn)為p0(r，0)，p1(r，r)，p2(0，r)，p3(-r，r)，p4(-r，0)，p5(-r，-r)，p6(0，-r)，p7(r，-r)和p8(r，0)，對應(yīng)權(quán)重分別為w0=1，w1=1，w2=2，w3=1，w4=1，w5=1，w6=2，w7=1和w8=1的一條二次NURBS曲線.

圖1 2次有理Bézier表示的四分之一圓圖2 2次有理Bézier表示的整圓

2 幾何方法

2.1 數(shù)學(xué)推導(dǎo)

如圖3為圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r，圓心角為θ的圓弧曲線P0*P2*，其中P0*位于x軸.為了寫出曲線的2次有理Bézier表達(dá)式，需找出3個(gè)控制頂點(diǎn)P0，P1，P2和3個(gè)權(quán)重w0，w1，w2.根據(jù)其端點(diǎn)性質(zhì)知，P0=P0*，P2=P2*，且P1為過P0，P2切線的交點(diǎn)，因此圖中P0P1垂直于x軸.

圖3 2次有理Bézier曲線表示任意大小圓心角的圓弧曲線

綜上所述，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r，圓心角為θ的圓弧曲線P0*P2*，用2次有理Bézier曲線表示時(shí)，控制頂點(diǎn)為

P2(rcosθ，rsinθ)，權(quán)重為

w2=1.因此該圓弧2次有理Bézier表達(dá)式為

(4)

2.2 實(shí)踐方法

圖4 拼接2次有理Bézier表示的任意大小圓心角的圓弧曲線

圖4(b)、(c)與圖3(b)、(c)對比，經(jīng)分割后生成的圓弧曲線參數(shù)性和凸包性均較好.

3 小結(jié)

圓弧曲線的2次有理Bézier曲線和2次NURBS曲線是CAGD中常用的方法，研究比較透徹，但是用圓的參數(shù)方程直接有理化的結(jié)果比較容易理解.同時(shí)一般的做法都是經(jīng)過分割成銳角進(jìn)行的，但是在實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)不分割的結(jié)果也是精確的，為了弄清楚這個(gè)問題，做了詳細(xì)的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)確如文獻(xiàn)[5]所述，分割后能夠克服凸包性和參數(shù)化差的缺陷.文中重點(diǎn)從圖形角度直觀凸包性和參數(shù)化.