基于懸鏈線的斜拉索垂度效應(yīng)等效彈性模量計(jì)算方法

趙海霞，張文明，蔣曉放，劉釗

(1.南京航空航天大學(xué) 金城學(xué)院，江蘇 南京 211156；2.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院)

1 前言

斜拉橋是一種受力合理、造型美觀的橋型，近60年來(lái)得到了迅猛發(fā)展。中國(guó)2008年建成的蘇通大橋(主跨1 088 m)將斜拉橋跨徑首次突破千米大關(guān)，同年中國(guó)香港建成了主跨1 018 m的昂船洲大橋，2012年俄羅斯建成了主跨1 104 m的俄羅斯島大橋。中國(guó)目前正在施工的滬通長(zhǎng)江大橋(主跨1 092 m)是目前世界最大跨度的公鐵兩用斜拉橋，也是世界首座跨度超過(guò)千米的公鐵兩用橋梁。

隨著斜拉橋跨度的增大，斜拉索的長(zhǎng)度及水平投影長(zhǎng)度也隨之增大。上述4座斜拉橋的最長(zhǎng)斜拉索長(zhǎng)度分別為581、540、580和576 m，最長(zhǎng)斜拉索的水平投影長(zhǎng)度分別為533、450、483和544 m。現(xiàn)代斜拉橋多采用密索體系，斜拉索的安全系數(shù)不小于2.5，因此成橋狀態(tài)斜拉索應(yīng)力水平不高，一般小于700 MPa。在施工期內(nèi)，新安裝的斜拉索應(yīng)力水平往往更低。斜拉索超長(zhǎng)的水平投影及低應(yīng)力水平導(dǎo)致其垂度效應(yīng)明顯。斜拉索垂度的大小與索力有關(guān)，垂度與索力呈非線性關(guān)系。斜拉索張拉時(shí)，索的伸長(zhǎng)量包括彈性伸長(zhǎng)以及克服垂度所帶來(lái)的伸長(zhǎng)，為了方便計(jì)算，可以用等效彈性模量的方法，在彈性伸長(zhǎng)公式中計(jì)入垂度的影響。1965年，Ernst基于斜拉索拋物線線形推導(dǎo)出等效割線模量公式，考慮了拉索初始應(yīng)力和拉索應(yīng)力剛化現(xiàn)象，得到了廣泛應(yīng)用；洪顯誠(chéng)和Hajdin分別于1992年和1998年推導(dǎo)出了既計(jì)入垂直于拉索的自重分量又考慮平行于拉索自重分量作用的等效彈性模量公式，對(duì)Ernst公式進(jìn)行了修正。為了解決使用Ernst公式時(shí)可能出現(xiàn)的索拉力與拉伸量之間關(guān)系的不閉合問(wèn)題，2000年李國(guó)平提出了斜拉索非線性分析的狀態(tài)修正法；之后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)始了基于拉索的懸鏈線線形研究垂度引起的幾何非線性問(wèn)題。2001年夏桂云等推導(dǎo)了斜拉索的等效剛度表達(dá)式，該公式把拉索水平分力作為輸入變量之一，這一點(diǎn)與Ernst公式不一致；2009年Vairo提出了一個(gè)改進(jìn)的精細(xì)割線等效彈性模量公式，2012年又計(jì)入了溫度效應(yīng)的影響。為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程，他們均使用了小垂度假定，認(rèn)為拉索水平分力與軸力之比為拉索兩端點(diǎn)連線傾角的余弦值。2015年王立彬等引入損傷程度、范圍和位置3個(gè)參數(shù)，以弧坐標(biāo)作為基本變量推導(dǎo)出損傷拉索靜力分析的基本模型，但沒(méi)有給出等效彈性模量的具體表達(dá)式。

該文基于懸鏈線線形，首先建立斜拉索等效彈性模量的數(shù)值算法；然后摒棄小垂度假定推導(dǎo)出等效彈性模量的簡(jiǎn)化公式，利用斜拉索上端點(diǎn)的軸向拉力作為輸入變量之一，與Ernst公式一致，方便使用。

2 Ernst公式

常用的Ernst公式可表達(dá)為：

(1)

式中：Eeq為斜拉索的等效彈性模量；Ee為鋼絲的彈性模量；γ為鋼絲重度；l0為水平投影長(zhǎng)度；σ為應(yīng)力，σ=T/A；T為上端點(diǎn)的軸向拉力；A為橫截面面積。

3 斜拉索懸鏈線線形和基本參數(shù)

圖1所示斜拉索，其懸鏈線線形的微分方程為：

(2)

式中：q為斜拉索單位長(zhǎng)度自重；H0為水平拉力。

圖1 斜拉索的線形和基本參數(shù)

求解微分方程(2)，并引入適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，可獲得懸鏈線方程為：

(3)

利用懸鏈線方程進(jìn)行積分，可獲得斜拉索的長(zhǎng)度S為：

(4)

斜拉索上端點(diǎn)的軸向拉力T可表示為：

(5)

跨中垂度f(wàn)可表示為：

(6)

4 斜拉索等效彈性模量計(jì)算方法

基于懸鏈線線形，首先建立斜拉索軸向拉力與克服垂度的伸長(zhǎng)量之間的關(guān)系，獲得垂度效應(yīng)的當(dāng)量彈性模量；然后與斜拉索鋼絲的彈性模量進(jìn)行合并，可獲得斜拉索的等效彈性模量,即：

(7)

式中：εe為斜拉索彈性應(yīng)變；εf為斜拉索克服垂度引起的伸長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的當(dāng)量應(yīng)變；Ef為垂度效應(yīng)的當(dāng)量彈性模量。

用彈性模量的概念表示斜拉索垂度的影響，則Ef可表示為：

(8)

其中：

Δl=S-l

(9)

式中：Δl為斜拉索垂度引起的索長(zhǎng)；l為斜拉索上下兩端點(diǎn)之間的距離。

關(guān)于垂度效應(yīng)的當(dāng)量彈性模量Ef的計(jì)算，該文提出兩種計(jì)算方法：數(shù)值算法和簡(jiǎn)化公式算法。

4.1 數(shù)值算法

(10)

將式(10)代入式(8)即可求出當(dāng)量彈性模量Ef，然后代入式(7)即可求出斜拉索等效彈性模量Eeq，具體計(jì)算流程如圖2所示。該方法用到的公式?jīng)]有經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化，只要計(jì)算時(shí)H0的增幅足夠小，其結(jié)果就趨近于精確解。

然而，對(duì)于已知拉索上端軸向拉力T或拉索應(yīng)力σ的情形，即類(lèi)似于Ernst公式的已知條件，該方法應(yīng)用起來(lái)不太方便，因此有必要提出簡(jiǎn)化公式算法。

4.2 簡(jiǎn)化公式算法

基本思路：將λ表示成T的函數(shù)，代入Δl的表達(dá)式，從而將Δl表示成T的函數(shù)，最后對(duì)T求導(dǎo)。

將coshλ表達(dá)為麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式，取前5項(xiàng)近似得：

圖2 基于非彈性懸鏈線理論的數(shù)值算法計(jì)算流程

(11)

代入式(4)，可得：

(12)

代入式(9)，可得：

(13)

在式(5)中，可令：

(14)

其中：

(15)

代入式(14)，可得：

(16)

又有：

(17)

將式(16)、(17)代入式(5)，可得：

(18)

由式(18)可得：

a1λ2+(a0-T)λ+a-1=0

(19)

解之，得：

(20)

代入式(13)，得：

(21)

對(duì)T求導(dǎo)，可得：

(22)

(23)

5 線密度變化的影響

上述計(jì)算是基于“無(wú)彈性懸鏈線理論”，即索變形前后的單位長(zhǎng)度重量不變。然而，當(dāng)索力很大時(shí)，索變形前后的單位長(zhǎng)度重量變化較明顯。為了研究線密度變化對(duì)等效彈性模量的影響，該節(jié)基于“彈性懸鏈線理論”建立等效彈性模量的求解算法。

索受力伸長(zhǎng)之后單位長(zhǎng)度重量變化為：

(24)

(25)

重新計(jì)算與q1有關(guān)的下列參數(shù)：

(26)

(27)

(28)

(29)

基于彈性懸鏈線理論的斜拉索長(zhǎng)度和上端點(diǎn)的軸向拉力可分別表示為：

(30)

(31)

6 工程算例

滬通長(zhǎng)江大橋斜拉索單位長(zhǎng)度重度q=7 644 N/m，橫截面面積A=0.078 m2，水平投影長(zhǎng)度l0=544 m，鋼絲彈性模量Ee=205 GPa，兩個(gè)端點(diǎn)連線的傾角α=19.29°。 利用該文提出的數(shù)值算法和簡(jiǎn)化公式算法計(jì)算等效彈性模量，如表1所示。在數(shù)值算法中，水平力H0的增幅為50 kN，不足H0的0.5%。從表1可以看出：兩種理論算出的結(jié)果很接近，說(shuō)明索線密度變化對(duì)等效彈性模量的影響非常小。

將該文算法的結(jié)果(無(wú)彈性懸鏈線理論)與Ernst公式計(jì)算結(jié)果在表2中進(jìn)行比較。

表1 該文方法、簡(jiǎn)化公式計(jì)算的等效彈性模量(Eeq/Ee)

注：理論1、2分別為無(wú)彈性懸鏈線理論、彈性懸鏈線理論。

表2 斜拉索等效彈性模量計(jì)算結(jié)果

如果把斜拉索水平投影長(zhǎng)度l0也作為變量，可計(jì)算獲得等效彈性模量Eeq隨l0的變化曲線，如圖3所示。

圖3 Eeq與l0的關(guān)系

從圖3可以看出：① 在變化趨勢(shì)方面，該文公式與Ernst公式基本一致，再次證明了該文方法的正確性；② 等效彈性模量Eeq隨l0的增大而減小，因此對(duì)于大跨度斜拉橋的超長(zhǎng)索，垂度效應(yīng)導(dǎo)致剛度顯著折減。

7 結(jié)論

該文基于斜拉索的真實(shí)線形建立了考慮垂度效應(yīng)的等效彈性模量的數(shù)值算法和簡(jiǎn)化公式，并采用滬通長(zhǎng)江大橋最長(zhǎng)斜拉索作為算例，對(duì)比分析了該文方法與傳統(tǒng)Ernst公式的計(jì)算精度，得到以下結(jié)論：

(1) 在高應(yīng)力水平下，該文方法與Ernst公式計(jì)算結(jié)果非常接近；在等效彈性模量Eeq隨水平投影長(zhǎng)度l0變化的趨勢(shì)上，該文方法與Ernst公式基本一致。證明了該文方法的正確性。

(2) Ernst公式對(duì)于低應(yīng)力水平的斜拉索精度不高，如應(yīng)力為200 MPa時(shí)，誤差高達(dá)17.29%；隨著應(yīng)力的增大，誤差逐漸減小到1%以?xún)?nèi)。

(3) 該文的簡(jiǎn)化公式算法誤差不超過(guò)0.3%，精度高于Ernst公式，適合推廣應(yīng)用。

(4) Ernst公式計(jì)算結(jié)果高于數(shù)值解，而該文的簡(jiǎn)化公式計(jì)算結(jié)果略低于數(shù)值解。

(5) 由于垂度效應(yīng)的影響，等效彈性模量Eeq小于鋼絲彈性模量Ee，Eeq/Ee的值隨斜拉索應(yīng)力水平的增大而增大。

(6) 等效彈性模量Eeq隨水平投影長(zhǎng)度l0的增大而減小，因此對(duì)于大跨度斜拉橋的超長(zhǎng)索，垂度效應(yīng)導(dǎo)致剛度顯著折減。

(7) 索受力前后線密度的變化對(duì)等效彈性模量的影響很小，可忽略不計(jì)。