矩陣體積的特性及其應用

陳榮群

(莆田學院 基礎教育學院，福建 莆田 351200)

0 前言

矩陣體積的定義是Adi Ben-Israel于1992年在Linear Algebra and Its Application上發(fā)表了一篇名為《A volume associated with m×n matrices》的文章中首次提出。該文章中給出了矩陣體積不僅是矩陣行列式絕對值的推廣，也是向量長度的推廣，而且對任意的矩陣都有相應的體積；并且他在文[2]-[3]中給出了利用矩陣體積計算曲線與曲面積分、推廣勾股定理、計算維球面的面積以及n維球體的體積；利用變量替換公式又給出了矩陣體積在概率論方面的應用。

目前對矩陣體積的研究主要是在矩陣體積的應用、矩陣體積與初等變換的關系、矩陣體積與矩陣標準形的關系方面，文[4]中又給出上三角矩陣、伴隨矩陣的體積，但對矩陣體積的性質研究還不是很多。因此本文在理解矩陣體積的概念的基礎上，對矩陣體積的有關性質作進一步研究，分別探討兩個矩陣和、差、積的體積與兩個矩陣體積的和、差、積大小關系，以及探討矩陣張量積的體積、循環(huán)矩陣的體積，最后探討應用矩陣的體積來判斷正交矩陣，從而使矩陣體積的性質、應用能得到進一步的完善。

1 預備知識

先介紹矩陣體積及其相關的一些概念與符號。

Qr,m={I={i1,i2,…,ir}r|i1≤i2≤…≤ir≤m}表示{1,2,…,m}中依次增大的r個數(shù)的集合。

I(A)={I∈Qr,m|rank(AI*)=r,AI*表示矩陣A的最大的行線性無關向量組}表示A中最大的行線性無關集合的指標集。

J(A)={J∈Qr,n|rank(AJ*)=r,AJ*表示矩陣A的最大的列線性無關向量組}表示A中最大的列線性無關集合的指標集。

N(A)={(I,j)∈Qr,m×Qr,n|rank(AIJ)=r}表示A中最大的非退化子矩陣集合的指標集。

引理1[1]N=I×J

引理1表明：任意r個線性無關的行和任意r個線性無關的列的交所得到子矩陣是非退化的。

定義3[6]n階實矩陣A，若滿足AAT=I，則稱A為正交矩陣。

引理2[5](1)設A∈Rk×m,B∈Rp×s,C∈Rm×n,D∈Rs×q,則有(A?B)(C?D)=(AC)?(BD). (2)如果A,B都是正交矩陣,則A?B也是正交矩陣。

2 主要的結果及其證明

性質2.1 設A∈Rm×n，B∈Rm×n，rank(A+B)=rank(A)=rank(B)=1

則volA+volB≥vol(A+B).

因為rank(A+B)=rank(A)=rank(B)=1，由矩陣體積的定義得

所以(volA+volB)2≥vol2(A+B)，從而得到volA+volB≥vol(A+B) 證畢。

推論1 設A∈Rm×n,B∈Rm×n,rank(A-B)=rank(A)=rank(B)=1,則volA-volB≤vol(A-B)

證明 由引理3得 設C=AB，則乘積C的子式

由引理4得

所以(volA×volB)2≥vol2(A×B)，從而得到volA×volB≥vol(A×B) 證畢。

對于A?B的行列式和A，B的行列式有下列的關系：det(A?B)=(detA)n(detB)m,其中A∈Rm×m,B∈Rn×n．對于A?B的體積和A，B的體積也有類似的關系，即有如下的性質：

解 ∵rank(A)=2,

=6.

由性質2.3得vol(A?B)=vol2A×vol2B=36×30=1080.

其中f(x)=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1,

由于a0,a1,a2,…,an-1為互不相等實數(shù)，且a0+a1+a2+…+an-1≠0,xn-1與f(x)=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1互素。

所以f(1)≠0,f(wi)≠0(i=1,2,…,n-1)從而得到A可逆，rank(A)=n，

性質2.5 設循環(huán)矩陣

n為正奇數(shù)，ai=a0+id1(a0>0,d1>0,i=1,2,…,n-1),bi=b0+id2(b0>0,d2>0,i=1,2,…,n-1)，則vol(A+B)>volA+volB.

設f(x)=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1,g(x)=b0+b1x+b2x2+…+bn-1xn-1,f(x)+g(x)=

(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+…+(an-1+bn-1)xn-1,

因為ai=a0+id1(a0>0,d1>0,i=1,2,…,n-1)，對單位根u=wk≠1總有

f(u)=a0+a1u+a2u2+…+an-2un-2+an-1un-1,

f(u)-uf(u)=a0+d1(u+u2+…+un-1)-an-1=a0-d1-[a0+(n-1)d1]=-nd1

|A+B|=[f(1)+g(1)][f(w)+g(w)]…[f(wn-1)+g(wn-1)]

=(-1)n-1[f(1)+g(1)]nn-2(d1+d2)n-1

∵ai>0,bi>0(i=0,1,2,…,n-1),n為正奇數(shù)，

∴|A+B|>|A|+|B| 由性質2.4得vol(A+B)>volA+volB證畢。

同理可得:

由于rank(ATEijA)≤min{rank(A),rank(Eij)}≤1,且

所以A是一個正交矩陣. 又由引理5、引理6知正交矩陣不改變矩陣體積，所以結論成立。