布魯姆教育目標(biāo)分類理論與初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)——以“平方差公式”一課的教學(xué)實(shí)踐與反思為例

中國(guó)科學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校 張 萍 北京市第十七中學(xué) 白雪峰

在數(shù)學(xué)教育中，一直困擾教育者的最常見(jiàn)也是存在最長(zhǎng)久的四大基本問(wèn)題：學(xué)生在寶貴的學(xué)習(xí)生活中，在有限的學(xué)習(xí)和課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)，哪些內(nèi)容是最值得學(xué)生學(xué)習(xí)的？這實(shí)際上就是學(xué)習(xí)內(nèi)容的問(wèn)題，也可以說(shuō)是學(xué)什么或教什么的問(wèn)題；如何計(jì)劃和進(jìn)行教學(xué)才能使大部分學(xué)生在高層次上進(jìn)行學(xué)習(xí)？這也就是教學(xué)問(wèn)題的問(wèn)題，或者說(shuō)是怎么學(xué)或怎么教的問(wèn)題；如何選擇或設(shè)計(jì)測(cè)評(píng)工具和測(cè)評(píng)程序才能提供學(xué)生學(xué)習(xí)情況的精準(zhǔn)信息？這實(shí)際上就是測(cè)評(píng)問(wèn)題，或者說(shuō)是怎么考的問(wèn)題；如何確保教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過(guò)程以及測(cè)評(píng)三者彼此的一致性？這也就是一致性問(wèn)題，或者說(shuō)是教學(xué)的有效性的問(wèn)題。應(yīng)該說(shuō)，布魯姆教育目標(biāo)分類理論至今依然是能較好回答上述問(wèn)題的成熟理論之一，因此，基于布魯姆教育目標(biāo)分類理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)是提高教學(xué)質(zhì)量、促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的有力工具。

一、布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)的理論基礎(chǔ)

教育目標(biāo)分類理論源自泰勒在美國(guó)“八年研究”中的評(píng)價(jià)工作，美國(guó)著名心理學(xué)家、教育家本杰明·布魯姆（Benjamin Bloom，1913—1999）發(fā)展其思想，形成了完備的教育目標(biāo)分類理論。布魯姆將教育目標(biāo)分為認(rèn)知、情感、動(dòng)作技能3 個(gè)領(lǐng)域，又將認(rèn)知領(lǐng)域分為知識(shí)、領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用、分析、綜合、評(píng)價(jià)6 個(gè)大類。2001 年，根據(jù)美國(guó)教育發(fā)展及評(píng)價(jià)需要，著名課程專家安德森與克拉思沃爾等聯(lián)合對(duì)布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)進(jìn)行修訂，提出新的目標(biāo)分類理論和體系。該體系根據(jù)與教育目標(biāo)相關(guān)性，將知識(shí)分為事實(shí)性知識(shí)、概念性知識(shí)、程序性知識(shí)和元認(rèn)知知識(shí)四大類型，并根據(jù)人的認(rèn)知過(guò)程和規(guī)律，將認(rèn)知過(guò)程分為記憶/回憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造六個(gè)維度。其中，分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造屬于發(fā)展學(xué)生高階思維的重要關(guān)注點(diǎn)?；诓剪斈贩诸惐磉M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，能夠更加有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)與測(cè)評(píng)，有助于教師回答上述四大基本教學(xué)問(wèn)題，同時(shí)，促進(jìn)教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、測(cè)評(píng)和教學(xué)活動(dòng)的一致性進(jìn)行教學(xué)自我診斷，以更加全面地理解教學(xué)目標(biāo)，有的放矢地培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

在已有研究中，大多關(guān)注學(xué)生新知習(xí)得水平的應(yīng)用。然而，任何知識(shí)在其形成與應(yīng)用過(guò)程中，都鮮有獨(dú)立發(fā)揮作用的情形，而總是與其他知識(shí)綜合在一起，有時(shí)，其他知識(shí)類型及其認(rèn)知水平會(huì)對(duì)新知學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要影響。本文擬以人教版八年級(jí)上冊(cè)第14章第2 節(jié)平方差公式第1 課時(shí)為例，基于布魯姆教育目標(biāo)分類理論的指導(dǎo)，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐反思，期待與同行進(jìn)一步探討和改進(jìn)。

二、平方差公式的課時(shí)目標(biāo)及其分析

教學(xué)目標(biāo)的科學(xué)制定和清晰表述是教師的重要的教學(xué)基本功之一，其內(nèi)容主要反映學(xué)生學(xué)習(xí)后的變化情況，并且要觀察和測(cè)量這種變化。因此，教學(xué)目標(biāo)必須明確而具體。同時(shí)，教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)要先于教學(xué)設(shè)計(jì)，為每一條教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)相應(yīng)的評(píng)價(jià)試題，以確保教學(xué)目標(biāo)的制定達(dá)到導(dǎo)教、導(dǎo)學(xué)和導(dǎo)測(cè)評(píng)的作用。

(一)平方差公式的課時(shí)目標(biāo)

《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011版）》指出：“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！蓖瑫r(shí)，《課標(biāo)(2011 版)》提出了包括符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想等在內(nèi)的十個(gè)“核心詞”，要求“把數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容之中”，這些內(nèi)容對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要作用。

“平方差公式”是初中數(shù)學(xué)“整式與分式”部分的核心內(nèi)容，作為學(xué)生初中階段最先接觸的重要的乘法公式之一，它既是特殊的多項(xiàng)式乘法，又是反映從特殊到一般認(rèn)知規(guī)律的典型范例，更是對(duì)一般多項(xiàng)式乘法的應(yīng)用、拓展和再創(chuàng)造?！墩n標(biāo)(2011 版)》中明確規(guī)定：能推導(dǎo)乘法公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2，了解公式的幾何背景，并能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。

一方面，從乘法公式的歷史溯源可以看出：平方差公式的產(chǎn)生動(dòng)因是源于一類二元問(wèn)題、直角三角形問(wèn)題和等周長(zhǎng)方形問(wèn)題的求解以及平方運(yùn)算。在16 世紀(jì)符號(hào)代數(shù)誕生之前，古人是運(yùn)用幾何形式來(lái)表征公式的。另一方面，從教材編寫的邏輯來(lái)看，本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的加、減、乘、除運(yùn)算，掌握了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式等整式計(jì)算之后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)本節(jié)課的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)因式分解、分式運(yùn)算以及其他代數(shù)式的變形也具有非常重要的作用。

綜上所述，本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是對(duì)具有“特殊結(jié)構(gòu)特征”的算式的歸納總結(jié)、概括提煉和應(yīng)用理解，滲透并強(qiáng)化整體思想，建立數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)意識(shí)?；诮虒W(xué)實(shí)踐可以發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生已有多項(xiàng)式乘法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，所以僅從知識(shí)層面來(lái)講，本部分內(nèi)容的難度并不大。學(xué)習(xí)“平方差公式”的重要意義主要體現(xiàn)在“特殊與一般”之間的歸納與演繹的推理思維方法的認(rèn)識(shí)、理解和內(nèi)化，是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)遷移以及構(gòu)建高階思維的重要載體。

基于以上分析，我確定本節(jié)課的總體教學(xué)目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)乘法公式的遷移能力的提高，具體課時(shí)目標(biāo)制定如下：

第一，能夠用自己的語(yǔ)言說(shuō)出平方差公式的幾何背景和文化背景，能夠基于歷史上的等周問(wèn)題認(rèn)識(shí)到平方差公式的必要性、簡(jiǎn)潔性和便捷性；能夠闡釋平方差公式的結(jié)構(gòu)特征及各個(gè)字母的意義，強(qiáng)化符號(hào)意識(shí)；

第二，能夠探索證明平方差公式的方法，并能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行直接計(jì)算，初步進(jìn)行平方差公式與加法、乘法的混合運(yùn)算，提高數(shù)學(xué)計(jì)算和推理能力；

第三，體會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的探索問(wèn)題的基本思維方法，感受數(shù)形結(jié)合的思想方法以及知識(shí)之間的聯(lián)系和公式實(shí)際價(jià)值。

（二）平方差公式的知識(shí)目標(biāo)分析

下面，我依據(jù)布魯姆教育目標(biāo)分類理論提出的4 種知識(shí)類型和6 個(gè)認(rèn)知層次水平將上述目標(biāo)進(jìn)行編碼，可以形成以下分類表達(dá)：

目標(biāo)1——理解事實(shí)性知識(shí)目標(biāo)：理解平方差公式幾何背景和文化背景、公式命名的合理性、平方差公式和公式結(jié)構(gòu)特征之間的關(guān)系（1—0），評(píng)價(jià)公式的簡(jiǎn)潔性和便捷性（1—1）；

目標(biāo)2——分析概念性知識(shí)目標(biāo)：經(jīng)歷平方差公式探索和推導(dǎo)過(guò)程，分析代數(shù)與幾何之間的關(guān)系，進(jìn)而得出公式的幾何解釋（2—0）；

目標(biāo)3——應(yīng)用程序性知識(shí)目標(biāo)：根據(jù)題目特點(diǎn)，應(yīng)用、選擇、評(píng)價(jià)和構(gòu)造平方差公式進(jìn)行直接計(jì)算、混合運(yùn)算等（3—0/1/2/3）；

目標(biāo)4——分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造元認(rèn)知知識(shí)目標(biāo)：經(jīng)歷平方差公式的得出與應(yīng)用，體會(huì)從一般到特殊、從具體到抽象的探索問(wèn)題的方法和數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展符號(hào)意識(shí)和推理能力，感受知識(shí)之間的聯(lián)系和公式實(shí)際價(jià)值，獲得成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心（4—0/1/2）。

上述各目標(biāo)在分類表中對(duì)應(yīng)位置如表1 所示。

表1 《平方差公式》一課教學(xué)目標(biāo)在分類表中的位置

（三）平方差公式一課的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal，1905—1990）曾說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有哪一種數(shù)學(xué)思想是以被發(fā)現(xiàn)的方式發(fā)表的。如果一個(gè)問(wèn)題得到了解決，人們就會(huì)開(kāi)發(fā)和運(yùn)用技術(shù)，將解法顛倒過(guò)來(lái)……從而將火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗?！苯處熜枰獜膶W(xué)習(xí)者的角度去看公式教學(xué)，從知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、生長(zhǎng)的角度去看公式教學(xué)，通過(guò)恰當(dāng)?shù)囊雽⒒馃岬陌l(fā)現(xiàn)在課堂上還原、再現(xiàn)?！捌椒讲罟健币徽n屬于典型的公式教學(xué)，公式教學(xué)一般可以分為三部分：即公式發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證、應(yīng)用。

基于以上分析，本節(jié)課共設(shè)計(jì)了6 個(gè)教學(xué)活動(dòng)，分別是：提出問(wèn)題，確定對(duì)象；數(shù)形結(jié)合，突破難點(diǎn)；公式辨析，提升認(rèn)知；應(yīng)用強(qiáng)化，突出重點(diǎn)；拓展延伸，發(fā)展思維；總結(jié)提升，深化理解。

活動(dòng)1 和活動(dòng)2 主要聚焦公式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。我借助教材上的練習(xí)，讓學(xué)生對(duì)一般二項(xiàng)多項(xiàng)式乘法逐步特殊化，猜想得到平方差公式和完全平方公式；在公式驗(yàn)證中，引導(dǎo)學(xué)生遷移之前的方法，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度對(duì)其中一個(gè)公式進(jìn)行證明和驗(yàn)證。該環(huán)節(jié)既是對(duì)多項(xiàng)式乘法的進(jìn)一步鞏固應(yīng)用，又是對(duì)利用幾何驗(yàn)證公式的再發(fā)展，實(shí)現(xiàn)對(duì)舊知的從低階思維到高階思維水平的發(fā)展。

公式的幾何解釋既是本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)，也是發(fā)展學(xué)生高階思維的重要載體。到底是直接給出圖形讓學(xué)生由“圖形解釋公式”，還是讓學(xué)生直接構(gòu)造幾何圖形證明公式？提出問(wèn)題的目標(biāo)定位不同，需要學(xué)生思考完成的任務(wù)體驗(yàn)當(dāng)然也不同，學(xué)生因此所獲得的思維發(fā)展完全是不同的兩個(gè)層級(jí)。為了發(fā)展學(xué)生的高階認(rèn)知思維，我選擇了后者，也就是請(qǐng)學(xué)生基于對(duì)平方差公式結(jié)構(gòu)特征的全面認(rèn)識(shí)和深度分析，親歷通過(guò)幾何圖形構(gòu)造進(jìn)行公式證明（或解釋）的全過(guò)程。

在本環(huán)節(jié)中，根據(jù)課堂上學(xué)生學(xué)習(xí)情況的反饋，可以看到：學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)確實(shí)是如何構(gòu)造一個(gè)幾何圖形來(lái)解釋公式的等號(hào)左右兩邊是相等的。因此，在本環(huán)節(jié)具體實(shí)施過(guò)程中，我結(jié)合不同班級(jí)的學(xué)情，將問(wèn)題進(jìn)行了解構(gòu)，以此來(lái)突破教學(xué)難點(diǎn)：

問(wèn)題1：請(qǐng)你分別構(gòu)造兩個(gè)幾何圖形，并用幾何圖形的面積表達(dá)平方差公式中等號(hào)左右兩邊的代數(shù)式；

問(wèn)題2：請(qǐng)你進(jìn)一步觀察所構(gòu)造的兩個(gè)幾何圖形及其面積表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋公式等號(hào)左右兩邊的代數(shù)式是相等的。

事實(shí)上，平方差公式的幾何背景（幾何解釋）屬于概念性知識(shí)，教師借助恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行深度思考和操作感知，以使學(xué)生的認(rèn)知水平達(dá)到分析和創(chuàng)造的層級(jí)。在這一學(xué)習(xí)過(guò)程中，雖然利用的是代數(shù)式的幾何圖形解釋這一舊知，但卻是新知學(xué)習(xí)過(guò)程中舊知在認(rèn)知水平的新發(fā)展，充分體現(xiàn)了知識(shí)之間的相互聯(lián)系以及學(xué)生認(rèn)知水平的螺旋上升過(guò)程。

在活動(dòng)3 中，我設(shè)計(jì)了區(qū)別于以往教學(xué)中直接給出公式名稱，明晰公式結(jié)構(gòu)特征的一般教學(xué)活動(dòng)，而是讓學(xué)生嘗試著給公式命名，同時(shí)，請(qǐng)學(xué)生相互評(píng)價(jià)公式命名的合理性，通過(guò)構(gòu)造有深度的對(duì)話性問(wèn)題使事實(shí)性知識(shí)達(dá)到分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造的高階認(rèn)知水平。

活動(dòng)4 主要聚焦公式的應(yīng)用，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)平方差公式的認(rèn)識(shí)。我設(shè)計(jì)了4 組練習(xí)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由可用到不可用、由正用到逆用、由一般應(yīng)用到巧妙應(yīng)用，以使程序性知識(shí)最終達(dá)到分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造的水平。

本節(jié)課中活動(dòng)5 的拓展延伸，通過(guò)呈現(xiàn)貼近學(xué)生的情境引入，借助歷史上的等周問(wèn)題激活學(xué)生已有探究經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合發(fā)展學(xué)生高階思維。而在活動(dòng)6 的課堂小結(jié)活動(dòng)中，我給出了一系列對(duì)話式和反思性的問(wèn)題，以達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，梳理平方差公式學(xué)習(xí)研究的一般路徑，提煉基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)目標(biāo)。同時(shí)，通過(guò)明確下一階段的研究課題和思路，強(qiáng)調(diào)方法梳理遷移和知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，以此引領(lǐng)學(xué)生將公式納入整式乘法的知識(shí)體系，體悟知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，達(dá)到整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的深層教學(xué)目標(biāo)，旨在促進(jìn)學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)條理化和系統(tǒng)化，在共享集體思維成果的基礎(chǔ)上達(dá)到對(duì)當(dāng)前所學(xué)知識(shí)形成比較全面和系統(tǒng)的理解，最終完成對(duì)所學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)以及研究方法、研究思路的再繼承，實(shí)現(xiàn)元認(rèn)知知識(shí)高階水平的發(fā)展。

三、教育目標(biāo)分類理論對(duì)于知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程的意義

基于布魯姆教育目標(biāo)分類理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，能夠幫助教師從學(xué)生學(xué)習(xí)的視角審視教學(xué)目標(biāo)制定、表達(dá)和實(shí)現(xiàn)，促進(jìn)教師更加透徹地理解學(xué)生的學(xué)習(xí)，認(rèn)清知識(shí)與認(rèn)知過(guò)程之間的內(nèi)在關(guān)系。布魯姆教育目標(biāo)分類理論指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計(jì)更加關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系：知識(shí)不是割裂的，不管是同一課時(shí)的知識(shí)還是整個(gè)單元整個(gè)學(xué)科的知識(shí)。任何知識(shí)在其形成與應(yīng)用過(guò)程中，都鮮有獨(dú)立發(fā)揮作用的情形，而總是與其他知識(shí)綜合在一起，而且已有知識(shí)類型及其認(rèn)知水平會(huì)對(duì)新知學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要影響。同一知識(shí)在不同階段所要求達(dá)到的認(rèn)知層級(jí)是有差異的，是逐漸由低級(jí)走向高級(jí)，呈現(xiàn)螺旋上升的態(tài)勢(shì)，而學(xué)生思維的發(fā)展亦是螺旋型向上的，從低層次向高層次不斷發(fā)展。因此，學(xué)生高階思維的形成和發(fā)展應(yīng)以低階思維為基礎(chǔ)，同時(shí)，高階思維反過(guò)來(lái)又促進(jìn)和帶動(dòng)低階思維由低水平向高水平發(fā)展。

基于布魯姆教育目標(biāo)分類理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，能夠幫助教師正確判斷知識(shí)類型，準(zhǔn)確把握教學(xué)過(guò)程對(duì)于知識(shí)的認(rèn)知要求。從而，更加有針對(duì)性地對(duì)目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)和效果評(píng)測(cè)；為學(xué)生高階思維的培養(yǎng)搭設(shè)階梯，通過(guò)問(wèn)題設(shè)計(jì)，教師引導(dǎo)學(xué)生走向認(rèn)知的高階，由被動(dòng)地接受轉(zhuǎn)化為主動(dòng)的猜想、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造；同時(shí)為課堂教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變提供更多可能。教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)突出元認(rèn)知類知識(shí)，重在發(fā)展學(xué)生高階思維。在“平方差公式”第一課課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，各環(huán)節(jié)突出發(fā)展學(xué)生高階思維的問(wèn)題舉例 如下：

問(wèn)題1：請(qǐng)你試著給這個(gè)公式取一個(gè)名字。你認(rèn)為公式命名為“平方差公式”合理嗎？為什么？——事實(shí)性知識(shí)達(dá)到分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造水平。

問(wèn)題2：你能從哪些角度驗(yàn)證這個(gè)式子？請(qǐng)你完成驗(yàn)證?！拍钚灾R(shí)（舊知）在新情境達(dá)到分析、創(chuàng)造水平。

問(wèn) 題3：計(jì) 算102×98 和101× 97。——程序性知識(shí)達(dá)到分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造水平。

問(wèn)題4：請(qǐng)回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，給你留下印象最深的內(nèi)容或環(huán)節(jié)是什么？為什么？針對(duì)課前尚未探究的猜想，你打算如何探究？談?wù)勀愕南敕ê徒?jīng)驗(yàn)?！J(rèn)知知識(shí)達(dá)到分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造水平。

上述問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖就是希望在后續(xù)學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)，可以讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)研究方案，開(kāi)展自主學(xué)習(xí)探究，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法的遷移，達(dá)到思維的高階發(fā)展。

當(dāng)然，基于布魯姆教育目標(biāo)分類理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，也存在著一些問(wèn)題，如教材內(nèi)容按知識(shí)類型分類時(shí)，有些知識(shí)與知識(shí)之間并未有嚴(yán)格而清晰的界限。然而，教學(xué)有法，而教無(wú)定法，因材施教，貴在得法。教師不能完全受限于分類表，而應(yīng)該靈活變通，結(jié)合教與學(xué)的實(shí)際情況，基于新時(shí)代中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)變革與改進(jìn)的新形勢(shì)和新要求，更好地發(fā)揮布魯姆教育目標(biāo)分類理論實(shí)踐指導(dǎo)價(jià)值。