布魯姆教育目標分類理論與初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計——以“平方差公式”一課的教學(xué)實踐與反思為例

中國科學(xué)院附屬實驗學(xué)校 張 萍 北京市第十七中學(xué) 白雪峰

在數(shù)學(xué)教育中，一直困擾教育者的最常見也是存在最長久的四大基本問題：學(xué)生在寶貴的學(xué)習(xí)生活中，在有限的學(xué)習(xí)和課堂教學(xué)時間內(nèi)，哪些內(nèi)容是最值得學(xué)生學(xué)習(xí)的？這實際上就是學(xué)習(xí)內(nèi)容的問題，也可以說是學(xué)什么或教什么的問題；如何計劃和進行教學(xué)才能使大部分學(xué)生在高層次上進行學(xué)習(xí)？這也就是教學(xué)問題的問題，或者說是怎么學(xué)或怎么教的問題；如何選擇或設(shè)計測評工具和測評程序才能提供學(xué)生學(xué)習(xí)情況的精準信息？這實際上就是測評問題，或者說是怎么考的問題；如何確保教學(xué)目標、教學(xué)過程以及測評三者彼此的一致性？這也就是一致性問題，或者說是教學(xué)的有效性的問題。應(yīng)該說，布魯姆教育目標分類理論至今依然是能較好回答上述問題的成熟理論之一，因此，基于布魯姆教育目標分類理論進行教學(xué)設(shè)計是提高教學(xué)質(zhì)量、促進教師專業(yè)發(fā)展的有力工具。

一、布魯姆教育目標分類學(xué)的理論基礎(chǔ)

教育目標分類理論源自泰勒在美國“八年研究”中的評價工作，美國著名心理學(xué)家、教育家本杰明·布魯姆（Benjamin Bloom，1913—1999）發(fā)展其思想，形成了完備的教育目標分類理論。布魯姆將教育目標分為認知、情感、動作技能3 個領(lǐng)域，又將認知領(lǐng)域分為知識、領(lǐng)會、運用、分析、綜合、評價6 個大類。2001 年，根據(jù)美國教育發(fā)展及評價需要，著名課程專家安德森與克拉思沃爾等聯(lián)合對布魯姆教育目標分類學(xué)進行修訂，提出新的目標分類理論和體系。該體系根據(jù)與教育目標相關(guān)性，將知識分為事實性知識、概念性知識、程序性知識和元認知知識四大類型，并根據(jù)人的認知過程和規(guī)律，將認知過程分為記憶/回憶、理解、應(yīng)用、分析、評價和創(chuàng)造六個維度。其中，分析、評價和創(chuàng)造屬于發(fā)展學(xué)生高階思維的重要關(guān)注點?；诓剪斈贩诸惐磉M行教學(xué)設(shè)計，能夠更加有針對性地進行教學(xué)與測評，有助于教師回答上述四大基本教學(xué)問題，同時，促進教師根據(jù)教學(xué)目標、測評和教學(xué)活動的一致性進行教學(xué)自我診斷，以更加全面地理解教學(xué)目標，有的放矢地培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

在已有研究中，大多關(guān)注學(xué)生新知習(xí)得水平的應(yīng)用。然而，任何知識在其形成與應(yīng)用過程中，都鮮有獨立發(fā)揮作用的情形，而總是與其他知識綜合在一起，有時，其他知識類型及其認知水平會對新知學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要影響。本文擬以人教版八年級上冊第14章第2 節(jié)平方差公式第1 課時為例，基于布魯姆教育目標分類理論的指導(dǎo)，進行教學(xué)設(shè)計與實踐反思，期待與同行進一步探討和改進。

二、平方差公式的課時目標及其分析

教學(xué)目標的科學(xué)制定和清晰表述是教師的重要的教學(xué)基本功之一，其內(nèi)容主要反映學(xué)生學(xué)習(xí)后的變化情況，并且要觀察和測量這種變化。因此，教學(xué)目標必須明確而具體。同時，教學(xué)評價設(shè)計要先于教學(xué)設(shè)計，為每一條教學(xué)目標設(shè)計相應(yīng)的評價試題，以確保教學(xué)目標的制定達到導(dǎo)教、導(dǎo)學(xué)和導(dǎo)測評的作用。

(一)平方差公式的課時目標

《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標準(2011 年版)》(以下簡稱《課標（2011版）》指出：“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗?！蓖瑫r，《課標(2011 版)》提出了包括符號意識、幾何直觀、運算能力、推理能力和模型思想等在內(nèi)的十個“核心詞”，要求“把數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容之中”，這些內(nèi)容對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要作用。

“平方差公式”是初中數(shù)學(xué)“整式與分式”部分的核心內(nèi)容，作為學(xué)生初中階段最先接觸的重要的乘法公式之一，它既是特殊的多項式乘法，又是反映從特殊到一般認知規(guī)律的典型范例，更是對一般多項式乘法的應(yīng)用、拓展和再創(chuàng)造。《課標(2011 版)》中明確規(guī)定：能推導(dǎo)乘法公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2，了解公式的幾何背景，并能利用公式進行簡單計算。

一方面，從乘法公式的歷史溯源可以看出：平方差公式的產(chǎn)生動因是源于一類二元問題、直角三角形問題和等周長方形問題的求解以及平方運算。在16 世紀符號代數(shù)誕生之前，古人是運用幾何形式來表征公式的。另一方面，從教材編寫的邏輯來看，本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的加、減、乘、除運算，掌握了單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式等整式計算之后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時本節(jié)課的學(xué)習(xí)對學(xué)生學(xué)習(xí)因式分解、分式運算以及其他代數(shù)式的變形也具有非常重要的作用。

綜上所述，本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點是對具有“特殊結(jié)構(gòu)特征”的算式的歸納總結(jié)、概括提煉和應(yīng)用理解，滲透并強化整體思想，建立數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)意識?；诮虒W(xué)實踐可以發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生已有多項式乘法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，所以僅從知識層面來講，本部分內(nèi)容的難度并不大。學(xué)習(xí)“平方差公式”的重要意義主要體現(xiàn)在“特殊與一般”之間的歸納與演繹的推理思維方法的認識、理解和內(nèi)化，是學(xué)生進行學(xué)習(xí)遷移以及構(gòu)建高階思維的重要載體。

基于以上分析，我確定本節(jié)課的總體教學(xué)目標是促進學(xué)生學(xué)習(xí)乘法公式的遷移能力的提高，具體課時目標制定如下：

第一，能夠用自己的語言說出平方差公式的幾何背景和文化背景，能夠基于歷史上的等周問題認識到平方差公式的必要性、簡潔性和便捷性；能夠闡釋平方差公式的結(jié)構(gòu)特征及各個字母的意義，強化符號意識；

第二，能夠探索證明平方差公式的方法，并能運用平方差公式進行直接計算，初步進行平方差公式與加法、乘法的混合運算，提高數(shù)學(xué)計算和推理能力；

第三，體會從特殊到一般、從具體到抽象的探索問題的基本思維方法，感受數(shù)形結(jié)合的思想方法以及知識之間的聯(lián)系和公式實際價值。

（二）平方差公式的知識目標分析

下面，我依據(jù)布魯姆教育目標分類理論提出的4 種知識類型和6 個認知層次水平將上述目標進行編碼，可以形成以下分類表達：

目標1——理解事實性知識目標：理解平方差公式幾何背景和文化背景、公式命名的合理性、平方差公式和公式結(jié)構(gòu)特征之間的關(guān)系（1—0），評價公式的簡潔性和便捷性（1—1）；

目標2——分析概念性知識目標：經(jīng)歷平方差公式探索和推導(dǎo)過程，分析代數(shù)與幾何之間的關(guān)系，進而得出公式的幾何解釋（2—0）；

目標3——應(yīng)用程序性知識目標：根據(jù)題目特點，應(yīng)用、選擇、評價和構(gòu)造平方差公式進行直接計算、混合運算等（3—0/1/2/3）；

目標4——分析、評價、創(chuàng)造元認知知識目標：經(jīng)歷平方差公式的得出與應(yīng)用，體會從一般到特殊、從具體到抽象的探索問題的方法和數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展符號意識和推理能力，感受知識之間的聯(lián)系和公式實際價值，獲得成功的喜悅，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心（4—0/1/2）。

上述各目標在分類表中對應(yīng)位置如表1 所示。

表1 《平方差公式》一課教學(xué)目標在分類表中的位置

（三）平方差公式一課的教學(xué)過程設(shè)計

荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal，1905—1990）曾說過：“沒有哪一種數(shù)學(xué)思想是以被發(fā)現(xiàn)的方式發(fā)表的。如果一個問題得到了解決，人們就會開發(fā)和運用技術(shù)，將解法顛倒過來……從而將火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗?！苯處熜枰獜膶W(xué)習(xí)者的角度去看公式教學(xué)，從知識發(fā)生、發(fā)展、生長的角度去看公式教學(xué)，通過恰當?shù)囊雽⒒馃岬陌l(fā)現(xiàn)在課堂上還原、再現(xiàn)?！捌椒讲罟健币徽n屬于典型的公式教學(xué)，公式教學(xué)一般可以分為三部分：即公式發(fā)現(xiàn)、驗證、應(yīng)用。

基于以上分析，本節(jié)課共設(shè)計了6 個教學(xué)活動，分別是：提出問題，確定對象；數(shù)形結(jié)合，突破難點；公式辨析，提升認知；應(yīng)用強化，突出重點；拓展延伸，發(fā)展思維；總結(jié)提升，深化理解。

活動1 和活動2 主要聚焦公式的發(fā)現(xiàn)過程。我借助教材上的練習(xí)，讓學(xué)生對一般二項多項式乘法逐步特殊化，猜想得到平方差公式和完全平方公式；在公式驗證中，引導(dǎo)學(xué)生遷移之前的方法，從“數(shù)”和“形”兩個角度對其中一個公式進行證明和驗證。該環(huán)節(jié)既是對多項式乘法的進一步鞏固應(yīng)用，又是對利用幾何驗證公式的再發(fā)展，實現(xiàn)對舊知的從低階思維到高階思維水平的發(fā)展。

公式的幾何解釋既是本節(jié)教學(xué)難點，也是發(fā)展學(xué)生高階思維的重要載體。到底是直接給出圖形讓學(xué)生由“圖形解釋公式”，還是讓學(xué)生直接構(gòu)造幾何圖形證明公式？提出問題的目標定位不同，需要學(xué)生思考完成的任務(wù)體驗當然也不同，學(xué)生因此所獲得的思維發(fā)展完全是不同的兩個層級。為了發(fā)展學(xué)生的高階認知思維，我選擇了后者，也就是請學(xué)生基于對平方差公式結(jié)構(gòu)特征的全面認識和深度分析，親歷通過幾何圖形構(gòu)造進行公式證明（或解釋）的全過程。

在本環(huán)節(jié)中，根據(jù)課堂上學(xué)生學(xué)習(xí)情況的反饋，可以看到：學(xué)生的認知難點確實是如何構(gòu)造一個幾何圖形來解釋公式的等號左右兩邊是相等的。因此，在本環(huán)節(jié)具體實施過程中，我結(jié)合不同班級的學(xué)情，將問題進行了解構(gòu)，以此來突破教學(xué)難點：

問題1：請你分別構(gòu)造兩個幾何圖形，并用幾何圖形的面積表達平方差公式中等號左右兩邊的代數(shù)式；

問題2：請你進一步觀察所構(gòu)造的兩個幾何圖形及其面積表達式，并用數(shù)學(xué)語言解釋公式等號左右兩邊的代數(shù)式是相等的。

事實上，平方差公式的幾何背景（幾何解釋）屬于概念性知識，教師借助恰當?shù)膯栴}驅(qū)動學(xué)生進行深度思考和操作感知，以使學(xué)生的認知水平達到分析和創(chuàng)造的層級。在這一學(xué)習(xí)過程中，雖然利用的是代數(shù)式的幾何圖形解釋這一舊知，但卻是新知學(xué)習(xí)過程中舊知在認知水平的新發(fā)展，充分體現(xiàn)了知識之間的相互聯(lián)系以及學(xué)生認知水平的螺旋上升過程。

在活動3 中，我設(shè)計了區(qū)別于以往教學(xué)中直接給出公式名稱，明晰公式結(jié)構(gòu)特征的一般教學(xué)活動，而是讓學(xué)生嘗試著給公式命名，同時，請學(xué)生相互評價公式命名的合理性，通過構(gòu)造有深度的對話性問題使事實性知識達到分析、評價、創(chuàng)造的高階認知水平。

活動4 主要聚焦公式的應(yīng)用，強化學(xué)生對平方差公式的認識。我設(shè)計了4 組練習(xí)，由簡單到復(fù)雜、由可用到不可用、由正用到逆用、由一般應(yīng)用到巧妙應(yīng)用，以使程序性知識最終達到分析、評價和創(chuàng)造的水平。

本節(jié)課中活動5 的拓展延伸，通過呈現(xiàn)貼近學(xué)生的情境引入，借助歷史上的等周問題激活學(xué)生已有探究經(jīng)驗，通過數(shù)形結(jié)合發(fā)展學(xué)生高階思維。而在活動6 的課堂小結(jié)活動中，我給出了一系列對話式和反思性的問題，以達到引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程，梳理平方差公式學(xué)習(xí)研究的一般路徑，提煉基本活動經(jīng)驗的學(xué)習(xí)目標。同時，通過明確下一階段的研究課題和思路，強調(diào)方法梳理遷移和知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以此引領(lǐng)學(xué)生將公式納入整式乘法的知識體系，體悟知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，達到整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的深層教學(xué)目標，旨在促進學(xué)生將所學(xué)的知識條理化和系統(tǒng)化，在共享集體思維成果的基礎(chǔ)上達到對當前所學(xué)知識形成比較全面和系統(tǒng)的理解，最終完成對所學(xué)知識的意義建構(gòu)以及研究方法、研究思路的再繼承，實現(xiàn)元認知知識高階水平的發(fā)展。

三、教育目標分類理論對于知識學(xué)習(xí)過程的意義

基于布魯姆教育目標分類理論進行教學(xué)設(shè)計，能夠幫助教師從學(xué)生學(xué)習(xí)的視角審視教學(xué)目標制定、表達和實現(xiàn)，促進教師更加透徹地理解學(xué)生的學(xué)習(xí)，認清知識與認知過程之間的內(nèi)在關(guān)系。布魯姆教育目標分類理論指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計更加關(guān)注知識之間的聯(lián)系：知識不是割裂的，不管是同一課時的知識還是整個單元整個學(xué)科的知識。任何知識在其形成與應(yīng)用過程中，都鮮有獨立發(fā)揮作用的情形，而總是與其他知識綜合在一起，而且已有知識類型及其認知水平會對新知學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要影響。同一知識在不同階段所要求達到的認知層級是有差異的，是逐漸由低級走向高級，呈現(xiàn)螺旋上升的態(tài)勢，而學(xué)生思維的發(fā)展亦是螺旋型向上的，從低層次向高層次不斷發(fā)展。因此，學(xué)生高階思維的形成和發(fā)展應(yīng)以低階思維為基礎(chǔ)，同時，高階思維反過來又促進和帶動低階思維由低水平向高水平發(fā)展。

基于布魯姆教育目標分類理論進行教學(xué)設(shè)計，能夠幫助教師正確判斷知識類型，準確把握教學(xué)過程對于知識的認知要求。從而，更加有針對性地對目標進行教學(xué)活動設(shè)計和效果評測；為學(xué)生高階思維的培養(yǎng)搭設(shè)階梯，通過問題設(shè)計，教師引導(dǎo)學(xué)生走向認知的高階，由被動地接受轉(zhuǎn)化為主動的猜想、分析、評價、創(chuàng)造；同時為課堂教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變提供更多可能。教學(xué)各個環(huán)節(jié)設(shè)計突出元認知類知識，重在發(fā)展學(xué)生高階思維。在“平方差公式”第一課課時的教學(xué)設(shè)計中，各環(huán)節(jié)突出發(fā)展學(xué)生高階思維的問題舉例 如下：

問題1：請你試著給這個公式取一個名字。你認為公式命名為“平方差公式”合理嗎？為什么？——事實性知識達到分析、評價、創(chuàng)造水平。

問題2：你能從哪些角度驗證這個式子？請你完成驗證?！拍钚灾R（舊知）在新情境達到分析、創(chuàng)造水平。

問 題3：計 算102×98 和101× 97?！绦蛐灾R達到分析、評價、創(chuàng)造水平。

問題4：請回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，給你留下印象最深的內(nèi)容或環(huán)節(jié)是什么？為什么？針對課前尚未探究的猜想，你打算如何探究？談?wù)勀愕南敕ê徒?jīng)驗?！J知知識達到分析、評價、創(chuàng)造水平。

上述問題的設(shè)計意圖就是希望在后續(xù)學(xué)習(xí)完全平方公式時，可以讓學(xué)生自主設(shè)計研究方案，開展自主學(xué)習(xí)探究，以實現(xiàn)知識和方法的遷移，達到思維的高階發(fā)展。

當然，基于布魯姆教育目標分類理論進行教學(xué)設(shè)計，也存在著一些問題，如教材內(nèi)容按知識類型分類時，有些知識與知識之間并未有嚴格而清晰的界限。然而，教學(xué)有法，而教無定法，因材施教，貴在得法。教師不能完全受限于分類表，而應(yīng)該靈活變通，結(jié)合教與學(xué)的實際情況，基于新時代中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)變革與改進的新形勢和新要求，更好地發(fā)揮布魯姆教育目標分類理論實踐指導(dǎo)價值。