一種面向臨近空間高超聲速再入滑翔目標(biāo)跟蹤算法

何 山，吳盤龍，惲 鵬，李星秀

(1. 南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院， 南京 210094； 2. 南京理工大學(xué)理學(xué)院， 南京 210094)

0 引 言

近年來，隨著航空航天技術(shù)的不斷發(fā)展，臨近空間高超聲速飛行器以其飛行跨域大、速度快、機(jī)動(dòng)強(qiáng)等復(fù)雜特性受到了世界各國的廣泛關(guān)注。尤其是美俄等軍事強(qiáng)國通過不斷投入大量資源，先后開展了高超聲速目標(biāo)的多個(gè)關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證，以期望作為精確打擊武器使其成為未來空天作戰(zhàn)中的新型戰(zhàn)略威脅[1]。因此，對(duì)該類目標(biāo)的跟蹤預(yù)報(bào)與狀態(tài)估計(jì)技術(shù)進(jìn)行研究具有重要意義。

目前，針對(duì)臨近空間高超聲速目標(biāo)跟蹤均圍繞跟蹤模型的構(gòu)建展開，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的濾波算法，歸納起來分為兩類：1)動(dòng)力學(xué)模型狀態(tài)估計(jì)，即通過對(duì)目標(biāo)動(dòng)力學(xué)建模，將氣動(dòng)參數(shù)擴(kuò)維到狀態(tài)矢量中進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)，其本質(zhì)是機(jī)動(dòng)的辨識(shí)，具有較高的估計(jì)精度[2-4]。但是在實(shí)際跟蹤過程中，目標(biāo)大部分參數(shù)是未知，需要通過辨識(shí)得到，當(dāng)氣動(dòng)力變化較快或動(dòng)力學(xué)模型不匹配時(shí)，跟蹤能力會(huì)大幅下降，從而很難滿足實(shí)際工程應(yīng)用需求；2)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型估計(jì)，即利用勻速(Constant velocity, CV)、勻加速(Constant acceleration, CA)、勻速轉(zhuǎn)彎、Jerk、Singer以及“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)等模型對(duì)目標(biāo)的未知機(jī)動(dòng)建模[5-7]，其算法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)，但加速度估計(jì)精度有限。對(duì)此，通過構(gòu)造輸入估計(jì)器和回顧成本函數(shù)，有效地提高加速度的估計(jì)精度。

通常基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型估計(jì)的濾波算法大致可分為具有機(jī)動(dòng)檢測(cè)的跟蹤算法和自適應(yīng)跟蹤算法兩類[8]。其中，具有機(jī)動(dòng)檢測(cè)跟蹤算法的基本思想是通過量測(cè)信息來觀測(cè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的殘差變化，并利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行機(jī)動(dòng)檢測(cè)[9-12]。該類方法特點(diǎn)是不需要對(duì)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)特性做任何先驗(yàn)假設(shè)，計(jì)算量小，但由于機(jī)動(dòng)檢測(cè)機(jī)制的存在而產(chǎn)生不可避免的時(shí)間延遲；自適應(yīng)跟蹤算法是通過對(duì)目標(biāo)進(jìn)行估計(jì)的同時(shí)對(duì)濾波器增益進(jìn)行修正，有效地提高了跟蹤過程的穩(wěn)定性。

然而，臨近空間高超聲速飛行器機(jī)動(dòng)的復(fù)雜性使得常規(guī)的運(yùn)動(dòng)模型很難與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方式相匹配，從而影響跟蹤精度甚至濾波發(fā)散。文獻(xiàn)[13]對(duì)臨近空間高超聲速飛行器的飛行特性進(jìn)行分析，提出一種基于CV + CA + Singer的交互多模型(Interacting multiple model, IMM)跟蹤算法，通過不同模型的組合匹配出最優(yōu)的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型，提高算法的跟蹤精度。同時(shí)，為解決IMM算法實(shí)時(shí)性不高問題，文獻(xiàn)[14]針對(duì)臨近空間目標(biāo)4種典型的非彈道式機(jī)動(dòng)模式，設(shè)計(jì)了一種修正變結(jié)構(gòu)IMM算法，相比傳統(tǒng)變結(jié)構(gòu)多模型算法，提高了模型切換速度。盡管多模型方法以其良好的跟蹤性能備受青睞，但其設(shè)計(jì)過程復(fù)雜且實(shí)現(xiàn)時(shí)需要極大的計(jì)算資源，在許多資源受限的場(chǎng)合，基于自適應(yīng)的單模算法往往也可以獲得更好的跟蹤性能。文獻(xiàn)[15]針對(duì)臨空飛行器機(jī)動(dòng)特性強(qiáng)和周期滑躍的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，提出了臨空高速飛行器滑躍機(jī)動(dòng)跟蹤的Sine模型，更加高效地描述了高超聲速目標(biāo)滑躍式運(yùn)動(dòng)特性，但當(dāng)目標(biāo)不發(fā)生機(jī)動(dòng)或突發(fā)的大機(jī)動(dòng)時(shí)，該算法的跟蹤精度會(huì)下降。

鑒于此，本文將輸入估計(jì)的思想引入到跟蹤模型中，將機(jī)動(dòng)加速度看成是未知的確定輸入；然后通過構(gòu)建輸入估計(jì)器使殘差收斂到零，并利用回顧成本對(duì)未知加速度進(jìn)行重構(gòu)，采用遞推最小二乘法估計(jì)出系統(tǒng)的參數(shù)；最后將估計(jì)的加速度引入到卡爾曼濾波的預(yù)測(cè)中，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)狀態(tài)的有效估計(jì)。

1 跟蹤建模

基于臨近空間高超聲速再入滑翔目標(biāo)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程可知[16]，氣動(dòng)力不僅隨飛行高度、速度等變化，還與目標(biāo)飛行攻角、傾角等姿態(tài)量密切相關(guān)，而臨近空間高超聲速飛行器再入滑翔段的強(qiáng)機(jī)動(dòng)主要是受到氣動(dòng)力作用而使得加速度變化所致。因此，為了準(zhǔn)確地描述目標(biāo)狀態(tài)隨著時(shí)間變化的過程，本文將機(jī)動(dòng)加速度看成是未知的確定輸入，構(gòu)建目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程

Xk=Fk-1Xk-1+Ck-1uk-1+Wk-1

(1)

式中：Xk∈Rs為k時(shí)刻的狀態(tài)向量，F(xiàn)k-1∈Rs×s為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Ck-1∈Rs×d為機(jī)動(dòng)輸入矩陣，uk-1∈Rd為機(jī)動(dòng)大小，Wk-1是均值為零且方差為Qk-1的高斯白噪聲。

在雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)中，雷達(dá)的量測(cè)信息通常是建立在三維球坐標(biāo)中，目標(biāo)與雷達(dá)之間的相對(duì)位置如圖1所示。

圖1 雷達(dá)測(cè)量坐標(biāo)系Fig.1 Radar measurement coordinate

雷達(dá)的量測(cè)值Zk∈Rp主要包括徑向距離rk、高低角θk和方位角ηk，其測(cè)量方程為

(2)

式中：xk,yk和zk是目標(biāo)在測(cè)量直角坐標(biāo)系下相對(duì)各方向的坐標(biāo)位置，Vr,k,Vθ,k和Vη,k是相互獨(dú)立、均值為零且恒定方差為σr,k,σθ,k和ση,k的高斯白噪聲。

球坐標(biāo)可通過下式轉(zhuǎn)化到笛卡爾坐標(biāo)系下的量測(cè)

(3)

因此，根據(jù)式(2)的量測(cè)值Zk，對(duì)真實(shí)均值和協(xié)方差矩陣求數(shù)學(xué)期望得到無偏量測(cè)偏差μk和協(xié)方差Rk

(4)

式中:各變量取值參照文獻(xiàn)[17]。

(5)

2 基于RCIE-UCMKF的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)

2.1 輸入估計(jì)器

為了準(zhǔn)確估計(jì)出當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)，可構(gòu)造如下的輸入估計(jì)器[10-12,18-19]

(6)

(7)

式中：Mi,k∈Rd×d，Ni,k∈Rd×p，n是輸入估計(jì)器的階數(shù)。將式(7)改寫成矩陣的形式

(8)

為計(jì)算出參數(shù)向量Φk，選取最小二乘法的指標(biāo)函數(shù)

(9)

根據(jù)最小二乘法的遞推可得到

(10)

(11)

(12)

2.2 RCIE算法

為了便于計(jì)算，假設(shè)Fk=F,Ck=C,Hk=H，考慮到系統(tǒng)矩陣F,C和H是已知的，且(F,H)是能觀的，定義系統(tǒng)的馬爾可夫參數(shù)為

Li=HFi-1C∈Rp×di≥1

(13)

取任意正整數(shù)r，對(duì)于所有k≥r，則有

(14)

其中

(15)

(16)

(17)

(18)

其中，

(19)

然后，將式(17)～(19)中k用k-kj(j=1,…,m)替代，其中0≤k1≤…≤km，則有

(20)

(21)

(22)

定義擴(kuò)展性能變量：

(23)

并將式(21)代入到(23)中有

(24)

式中：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

用式(29)減去式(24)可得

(30)

最后，定義回顧成本函數(shù)為[18-19]

(31)

(32)

(33)

2.3 RCIE-UCMKF算法

為了準(zhǔn)確的估計(jì)出系統(tǒng)的狀態(tài)量，在無偏轉(zhuǎn)換Kalman濾波的框架下，利用回顧成本輸入估計(jì)和遞推最小二乘計(jì)算出未知機(jī)動(dòng)大小，整個(gè)算法的框圖如圖2所示。

圖2 RCIE-UCMKF算法框圖Fig.2 The structure of RCIE-UCMKF algorithm

根據(jù)前述部分的推導(dǎo)，所提RCIE-UCMKF算法的完整步驟為：

(34)

Pk+1|k=FPkFT+Qk

(35)

(36)

(37)

4)狀態(tài)估計(jì)和誤差協(xié)方差估計(jì)為

(38)

Pk+1=Pk+1|k-Kk+1HPk+1|k

(39)

3 仿真校驗(yàn)

3.1 仿真場(chǎng)景

本文以HTV-2為參考對(duì)象，對(duì)臨近空間高超聲速飛行器再入滑翔段進(jìn)行仿真試驗(yàn)。根據(jù)文獻(xiàn)[16]，假設(shè)目標(biāo)為質(zhì)點(diǎn)，忽略地球自轉(zhuǎn)及非球形攝動(dòng)因素等影響。飛行器質(zhì)量907.2 kg，特征參考面積0.4837 m2，攻角10°，傾斜角0.5°，阻力系數(shù)和升力系數(shù)選取參考文獻(xiàn)[12]，目標(biāo)的起始位置為(6450.2450 km, 139.270 °, 35.270 °)，初始速度為6000 m/s，航跡傾角2.0 °，偏航角為155.00 °，則目標(biāo)的飛行軌跡如圖3所示。

圖3 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.3 Target trajectory

為便于計(jì)算，假設(shè)地球是球體，且半徑為6371.3930 km，測(cè)量雷達(dá)位置(6372.3930 km, 90.50°, -40.0°)，雷達(dá)的采樣間隔T為1 s，距離誤差為100 m，方位和俯仰角誤差為0.5 mrad，則HTV-2在雷達(dá)界面的顯示如圖4所示。

在構(gòu)建的三維仿真場(chǎng)景中，目標(biāo)狀態(tài)和輸入向量為

(40)

(41)

其余的仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 The simulation parameters

3.2 仿真分析

根據(jù)上述的仿真場(chǎng)景，RCIE-UCMKF算法對(duì)目標(biāo)位置估計(jì)和目標(biāo)真實(shí)軌跡的對(duì)比如圖5所示，可以看出所提算法能夠?qū)δ繕?biāo)進(jìn)行有效地跟蹤。

圖5 目標(biāo)位置估計(jì)Fig.5 Estimation of target position

為了測(cè)試該算法的跟蹤精度，本文分別用CKF[20]、UCMKF[17]、IE-UCMKF[9]、IMM-UCMKF[13]和RCIE-UCMKF算法在Matlab2014環(huán)境下進(jìn)行200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。圖6、圖7展示了5種算法的位置均方根誤差和速度均方根誤差，可以看出，RCIE-UCMKF算法相比于其他4種算法，無論是位置還是速度都具有較高精確度和良好的性能。

圖6 位置均方根誤差Fig.6 RMSEs of the position

圖7 速度均方根誤差Fig.7 RMSEs of the velocity

CKF、UCMKF、IE-UCMKF、IMM-UCMKF和RCIE-UCMKF算法的各項(xiàng)算法性能如表2所示。由于CKF通過一組具有權(quán)重的采樣點(diǎn)集近似計(jì)算所需的一、二階矩，避免了非線性量測(cè)模型的線性化處理，而UCMKF是將量測(cè)通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)系中的偽線性形式，然后估計(jì)轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差的前兩階矩，所以CKF和UCMKF算法在狀態(tài)估計(jì)精度上相差不大，但是在計(jì)算量上，由于CKF需要求容積點(diǎn)，計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于UCMKF算法。RCIE-UCMKF算法的運(yùn)行時(shí)間雖高于UCMKF，但卻低于CKF和IMM-UCMKF。這是因?yàn)楸绕餟CMKF算法，本文所提算法需要利用回顧成本和最小二乘計(jì)算每一時(shí)刻的加速度，因此時(shí)間會(huì)長于UCMKF算法。

表2 各個(gè)算法的性能Table 2 The performance of each algorithm

4 結(jié) 論

針對(duì)臨近空間高超聲速再入滑翔目標(biāo)跟蹤問題，本文提出了一種RCIE-UCMKF算法，蒙特卡羅試驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性和可行性。然而，實(shí)際跟蹤過程中，由于該類目標(biāo)的飛行特性使得量測(cè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)一定的延遲和丟失的現(xiàn)象，因此后續(xù)的工作是考慮在該類情況下，提高算法的穩(wěn)定性，并在一定的基礎(chǔ)上降低算法的復(fù)雜度，使得該算法可應(yīng)用于預(yù)警探測(cè)系統(tǒng)等工程領(lǐng)域中。