吸氣式高超聲速飛行器爬升段關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)的魯棒優(yōu)化

湯佳駿，劉燕斌，曹 瑞，陸宇平，朱鴻緒，衣春輪

(1. 南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院， 南京 210016； 2. 南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院， 南京 210016；3. 北京航空航天大學(xué)虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100191)

0 引 言

吸氣式高超聲速飛行器因其較高的潛在應(yīng)用價(jià)值，已成為各國(guó)爭(zhēng)相研究和發(fā)展的技術(shù)熱點(diǎn)。吸氣式高超聲速飛行器良好的氣動(dòng)/推進(jìn)一體化設(shè)計(jì)滿足了設(shè)計(jì)人員對(duì)飛行器氣動(dòng)/推進(jìn)性能的綜合需求。然而，吸氣式高超聲速飛行器特殊的幾何構(gòu)型帶來(lái)的氣動(dòng)/推進(jìn)耦合加上嚴(yán)苛的超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)工作條件，導(dǎo)致其呈現(xiàn)出非線性、強(qiáng)耦合及高度不確定性的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性，給飛行器的軌跡及控制設(shè)計(jì)提出了挑戰(zhàn)[1-2]。

吸氣式高超聲速飛行器的飛行任務(wù)歷經(jīng)多個(gè)階段，飛行器由機(jī)載水平發(fā)射后，經(jīng)歷引射和火箭模態(tài)加速爬升，到達(dá)一定的高度和速度時(shí)，切換到超燃沖壓模態(tài)加速爬升到期望的任務(wù)窗口[3]。吸氣式高超聲速飛行器的飛行任務(wù)包線大，氣動(dòng)/推進(jìn)特性與飛行狀態(tài)存在耦合關(guān)系，飛行器在不同空域的氣動(dòng)特性相差很大，飛行狀態(tài)的選取對(duì)模型特性影響顯著[4]。爬升段始末的飛行狀態(tài)，是飛行任務(wù)切換的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)處的飛行性能對(duì)整體飛行任務(wù)會(huì)帶來(lái)影響[5]。因此，綜合考慮整體飛行任務(wù)，需要在軌跡設(shè)計(jì)之前對(duì)爬升段始末的關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化選取，得到的關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)可以為軌跡及控制設(shè)計(jì)提供基礎(chǔ)。

近年來(lái)針對(duì)吸氣式高超聲速飛行器爬升段的研究一直在持續(xù)進(jìn)行[6-11]。文獻(xiàn)[6] 針對(duì)吸氣式高超聲速飛行器，以爬升消耗燃料質(zhì)量最小為目標(biāo)，利用序列二次規(guī)劃算法求解最優(yōu)航跡；文獻(xiàn)[8] 研究了吸氣式高超聲速飛行器多約束下的爬升段軌跡優(yōu)化問題；文獻(xiàn)[11] 應(yīng)用高斯偽譜法獲得了控制約束條件下的高超聲速飛行器最優(yōu)爬升軌跡，并針對(duì)軌跡采用線性二次調(diào)節(jié)器理論設(shè)計(jì)了軌跡跟蹤控制器。以上研究多關(guān)注爬升飛行過(guò)程，注重軌跡及控制方法的探索，而對(duì)于爬升段的關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)主要依靠經(jīng)驗(yàn)直接給出，理論分析較少，對(duì)其進(jìn)行研究具有較為重要的意義。一般情況下，飛行器爬升段末端往往與巡航飛行任務(wù)銜接，爬升段末端任務(wù)點(diǎn)可以依據(jù)巡航性能約束來(lái)進(jìn)行選取。文獻(xiàn)[12] 對(duì)吸氣式高超聲速飛行器巡航飛行的飛行速度進(jìn)行了分析優(yōu)化，但缺乏結(jié)合爬升等飛行階段的綜合考慮，模型特性也較為簡(jiǎn)單，未涉及氣動(dòng)/推進(jìn)特性的耦合。文獻(xiàn)[13] 針對(duì)上升段給出了高超聲速飛行器最大航程的巡航任務(wù)點(diǎn)。文獻(xiàn)[3] 以燃料最省對(duì)高超聲速飛行器的爬升-巡航全局軌跡進(jìn)行優(yōu)化，給出了爬升末端的最佳巡航速度和巡航高度。然而，二者的研究未考慮模型參數(shù)不確定性，存在一定的局限性。綜上，針對(duì)吸氣式高超聲速飛行器爬升段的研究主要關(guān)注軌跡設(shè)計(jì)與優(yōu)化，對(duì)軌跡設(shè)計(jì)之前選取爬升始末關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)的研究較少，而現(xiàn)有的對(duì)關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)的研究往往以航程大小和燃料消耗等任務(wù)性能為指標(biāo)，對(duì)飛行器的氣動(dòng)/推進(jìn)耦合特性分析不足，同時(shí)沒有考慮參數(shù)不確定性的影響。

針對(duì)上述問題，本文對(duì)吸氣式高超聲速飛行器爬升段關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)的優(yōu)選方法進(jìn)行研究。首先，由能量狀態(tài)法得到飛行器的爬升走廊，結(jié)合超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的工作約束確定了爬升起始任務(wù)點(diǎn)；其次，通過(guò)分析模型巡航飛行特性提出兼顧氣動(dòng)/推進(jìn)效率的性能指標(biāo)，得到優(yōu)化的爬升末端任務(wù)點(diǎn)；最后，考慮飛行器質(zhì)心位置不確定性，對(duì)爬升末端任務(wù)點(diǎn)進(jìn)行魯棒優(yōu)化得到飛行任務(wù)窗口。魯棒優(yōu)化后的飛行任務(wù)窗口可以滿足巡航飛行性能，同時(shí)對(duì)不確定性具有魯棒性，有利于此類飛行器后續(xù)的軌跡及控制設(shè)計(jì)。

1 吸氣式高超聲速飛行器模型建立

1.1 吸氣式高超聲速飛行器幾何構(gòu)型

本文研究的對(duì)象為參考文獻(xiàn)[14] 中的模型，該模型是基于X-43A構(gòu)型建立的二維機(jī)理模型。幾何構(gòu)型如圖1所示。

圖1 吸氣式高超聲速飛行器幾何構(gòu)型Fig.1 Geometry of air-breathing hypersonic vehicle

參考模型為典型的乘波體構(gòu)型，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)置于機(jī)體下部，發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料為液氫。

超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的工作環(huán)境處于高超聲速狀態(tài)，存在大量的激波、附面層以及化學(xué)反應(yīng)等相關(guān)問題，發(fā)動(dòng)機(jī)建模難度較大，而高超聲速飛行對(duì)推力控制的實(shí)時(shí)性有一定的要求，體現(xiàn)在發(fā)動(dòng)機(jī)模型上不能過(guò)于復(fù)雜。因此文中的推力模型參考文獻(xiàn)[15] 對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)流體作一維等熵流假設(shè)，用一維可壓縮流理論估算推力數(shù)據(jù)。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

吸氣式高超聲速飛行器是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，對(duì)建模過(guò)程提出合理假設(shè)，建立飛行器縱向運(yùn)動(dòng)方程

(1)

式中：m和Iyy分別是飛行器質(zhì)量和繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，系統(tǒng)狀態(tài)量為XT=[V,α,h,q,θ]，分別表示飛行速度，迎角，高度，俯仰角速率以及俯仰角。L，D，M，T分別表示作用在飛行器上的升力、阻力、俯仰力矩及推力。氣動(dòng)力和力矩的數(shù)據(jù)采用斜激波和Prandtl-Meyer flow理論的計(jì)算方法獲得[16]。氣動(dòng)力和推力的各項(xiàng)導(dǎo)數(shù)用最小二乘法獲得高精度的近似表達(dá)式，如式(2)所示。其中，δe和φ作為動(dòng)力學(xué)方程中的控制量，分別表示升降舵偏轉(zhuǎn)角和燃油當(dāng)量比。升降舵偏轉(zhuǎn)角的變化范圍為δe∈[-20°,20°]，燃油當(dāng)量比的變化范圍為φ∈(0,1]。

(2)

吸氣式高超聲速飛行器的氣動(dòng)系數(shù)和推力系數(shù)中均包含了高度項(xiàng)和馬赫數(shù)項(xiàng)，反映了模型特性與飛行狀態(tài)之間的緊密關(guān)聯(lián)。同時(shí)，模型氣動(dòng)系數(shù)CL、CD與推力系數(shù)CT的表達(dá)式中，迎角、馬赫數(shù)及燃油當(dāng)量比等相關(guān)項(xiàng)的存在，進(jìn)一步考慮了模型氣動(dòng)和推進(jìn)之間的耦合關(guān)系。圖2是基于擬合表達(dá)式的氣動(dòng)力、推力數(shù)據(jù)與估算參考數(shù)據(jù)的對(duì)比。圖2可以驗(yàn)證高精度的氣動(dòng)力及推力擬合表達(dá)式能良好地反映原始模型的特性。

圖2 氣動(dòng)力和推力的擬合數(shù)據(jù)與估算的參考數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.2 Comparison of aerodynamic and thrust fitting data with estimated reference data

擬合表達(dá)式的形式方便計(jì)算，適用于快速分析，式中影響項(xiàng)作為參考也映證了吸氣式高超聲速飛行器氣動(dòng)/推進(jìn)與飛行狀態(tài)耦合，氣動(dòng)/推進(jìn)之間也耦合的復(fù)雜本體特性。

1.3 飛行約束條件

吸氣式高超聲速飛行器在飛行過(guò)程中需要滿足一系列的約束條件。

1)動(dòng)壓約束

高超聲速飛行器的氣動(dòng)鉸鏈力矩限制與發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)的要求，對(duì)飛行器所受動(dòng)壓有上下限值的約束，即

(3)

2)熱流率約束

吸氣式高超聲速飛行器在飛行過(guò)程中，由于熱防護(hù)的要求，飛行狀態(tài)的選取需要以熱流密度作為約束條件

(4)

式中：C=7.9686×10-5，Z=0.5，K=3.15。

3)控制約束

超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的工作狀態(tài)條件嚴(yán)苛，過(guò)高的燃油當(dāng)量比會(huì)使發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室內(nèi)的溫度增量過(guò)大，溫度增量超過(guò)臨界時(shí)超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)容易達(dá)到熱壅塞而不能正常工作，故而平衡狀態(tài)下的燃油當(dāng)量比應(yīng)滿足

φequal<φchoke

(5)

式中：φchoke是超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)達(dá)到熱壅塞時(shí)的燃油當(dāng)量比。

(6)

2 吸氣式高超聲速飛行器關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)優(yōu)選流程

本文主要研究吸氣式高超聲速飛行器爬升段關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)的優(yōu)選問題，包括爬升起始任務(wù)點(diǎn)和爬升末端的飛行任務(wù)窗口的確定，研究工作主要分為三個(gè)部分：

1) 通過(guò)能量狀態(tài)法確定飛行器的爬升走廊，分析發(fā)動(dòng)機(jī)工作約束選取爬升起始任務(wù)點(diǎn)；

2) 分析模型巡航飛行的氣動(dòng)特性與動(dòng)力特性，綜合性能指標(biāo)優(yōu)化爬升末端任務(wù)點(diǎn)；

3) 在優(yōu)化的參考任務(wù)點(diǎn)基礎(chǔ)上考慮模型參數(shù)不確定性，結(jié)合巡航飛行約束進(jìn)行魯棒優(yōu)化，得到爬升末端的飛行任務(wù)窗口。

魯棒優(yōu)化的結(jié)果得到了滿足巡航飛行性能要求，同時(shí)對(duì)模型不確定性具有魯棒性的飛行任務(wù)窗口。具體流程如圖3所示，后文將按順序闡述優(yōu)選流程在本文模型上的實(shí)現(xiàn)。

圖3 吸氣式高超聲速飛行器關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)優(yōu)選流程圖Fig.3 Flow chart for optimized selecting key mission point of the air-breathing hypersonic vehicle

3 選取爬升起始任務(wù)點(diǎn)

在高速飛行狀態(tài)下，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖遠(yuǎn)大于火箭，其工作效率更優(yōu)，因而在飛行器整個(gè)上升段中應(yīng)盡可能早的開啟超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)，以節(jié)省燃料[17]。為選取爬升起始任務(wù)點(diǎn)，首先根據(jù)能量狀態(tài)法確定吸氣式高超聲速飛行器的爬升走廊，約束任務(wù)點(diǎn)的可行域。

基于能量狀態(tài)法[18]的分析主要考慮飛行器的縱向運(yùn)動(dòng)，將飛行器看作質(zhì)點(diǎn)，其無(wú)側(cè)滑運(yùn)動(dòng)方程可結(jié)合式(1)得到

定義單位質(zhì)量飛行器的能量為

(8)

將式(7a)、(7c)、(7d)同式(8)聯(lián)立，可得吸氣式高超聲速飛行器的能量狀態(tài)模型

(9)

爬升段的能量變化率是大于零的，在能量變化率等于零的高度飛行器只能維持水平飛行。在給定馬赫數(shù)下，計(jì)算dE/dt=0所對(duì)應(yīng)的高度，可以得到飛行器允許爬升的飛行范圍。文獻(xiàn)中吸氣式高超聲速飛行器巡航飛行的標(biāo)稱質(zhì)量為14.36×103kg，作為爬升段末端任務(wù)點(diǎn)處的質(zhì)量。為保證巡航段飛行任務(wù)，文獻(xiàn)[19] 中給出了飛行器質(zhì)量與燃料質(zhì)量的關(guān)系，在此假設(shè)爬升段末端任務(wù)點(diǎn)處的燃料質(zhì)量為總量的70%，得到爬升起始狀態(tài)的質(zhì)量為16.68×103kg。由能量狀態(tài)法結(jié)合飛行器動(dòng)壓約束和熱流約束得到吸氣式高超聲速飛行器的爬升走廊，如圖4中灰色區(qū)域所示。飛行器能量變化率等于零時(shí)的飛行高度，對(duì)應(yīng)了飛行器爬升飛行的高度上邊界，在邊界以下飛行器的能量變化率大于零可以進(jìn)行爬升飛行。

圖4 吸氣式高超聲速飛行器爬升走廊Fig.4 Climbing corridor of air-breathing hypersonic vehicle

其次，在爬升走廊內(nèi)分析超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的工作約束選取爬升起始任務(wù)點(diǎn)。爬升飛行起始狀態(tài)的飛行馬赫數(shù)小，發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣道來(lái)流速度低導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)噴口處的氣流馬赫數(shù)低，容易引起發(fā)動(dòng)機(jī)熱壅塞而無(wú)法正常啟動(dòng)[20]。對(duì)于本文的超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)模型，燃油當(dāng)量比的數(shù)值可以作為分析發(fā)動(dòng)機(jī)熱壅塞狀態(tài)的指標(biāo)，Doman給出了擬合表達(dá)式計(jì)算超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)達(dá)到熱壅塞時(shí)的燃油當(dāng)量比，其主要的影響項(xiàng)是來(lái)流馬赫數(shù)、迎角和動(dòng)壓[21]。從超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒效率的角度考慮，動(dòng)壓越大其工作性能越好[22]，考慮在動(dòng)壓約束邊界保留一定的余量，選擇95 kPa作為爬升飛行的初始飛行動(dòng)壓。

圖5顯示了飛行動(dòng)壓95 kPa下超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)達(dá)到熱壅塞狀態(tài)的燃油當(dāng)量比隨來(lái)流馬赫數(shù)和迎角的關(guān)系，黑色點(diǎn)劃線是飛行動(dòng)壓95 kPa下的模型配平燃油當(dāng)量比，可以看出選擇95 kPa為初始飛行動(dòng)壓，當(dāng)飛行馬赫數(shù)較小的時(shí)候，吸氣式高超聲速飛行器保持平飛的燃油當(dāng)量比要大于熱壅塞狀態(tài)的燃油當(dāng)量比，即飛行器受發(fā)動(dòng)機(jī)熱壅塞狀態(tài)限制無(wú)法保持水平飛行，從曲線交點(diǎn)處分析，飛行馬赫數(shù)在6.5以上飛行器的配平燃油當(dāng)量比大于熱壅塞狀態(tài)的燃油當(dāng)量比，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)可以正常工作供飛行器進(jìn)行爬升機(jī)動(dòng)。

圖5 飛行動(dòng)壓95 kPa下超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)達(dá)到熱壅塞狀態(tài)的燃油當(dāng)量比隨來(lái)流馬赫數(shù)和迎角的關(guān)系Fig.5 The fuel equivalent ratio of scramjet engine choke versus Mach number and angle of attack for dynamic pressure of 95 kPa

綜上，對(duì)本文研究的飛行器，設(shè)計(jì)爬升起始任務(wù)點(diǎn)的馬赫數(shù)和高度為(6.5,23408 m)，如圖4中圓點(diǎn)所示。爬升起始任務(wù)點(diǎn)的選取讓飛行器較早的開啟超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)，充分利用了超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的性能優(yōu)勢(shì)進(jìn)行爬升加速。同時(shí)，圖4中灰色虛線是由能量狀態(tài)法得到的能量等勢(shì)線，從爬升起始任務(wù)點(diǎn)開始，飛行器的能量隨著飛行高度和速度的增加而增大，選取爬升末端任務(wù)點(diǎn)的飛行速度和高度距起始任務(wù)點(diǎn)相近，意味著飛行器花費(fèi)較少的能量可以完成爬升任務(wù)，節(jié)省了飛行器爬升過(guò)程中的燃料消耗，降低了飛行任務(wù)的難度。因此，爬升起始任務(wù)點(diǎn)的確定還為后續(xù)綜合考慮飛行任務(wù)難度選取爬升段末端任務(wù)點(diǎn)提供了參考依據(jù)。

4 模型特性分析優(yōu)化爬升末端任務(wù)點(diǎn)

吸氣式高超聲速飛行器的關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)需要在前文給出的爬升走廊內(nèi)選取，飛行器的模型特性隨爬升過(guò)程飛行狀態(tài)的改變會(huì)產(chǎn)生較大變化，而氣動(dòng)/推進(jìn)的耦合作用又使得對(duì)象特性更為復(fù)雜。因此，選取爬升末端任務(wù)點(diǎn)從優(yōu)化氣動(dòng)效率和推進(jìn)效率兩方面綜合考慮，分別分析飛行器巡航飛行的氣動(dòng)特性和動(dòng)力特性，選取兼顧氣動(dòng)和推進(jìn)效率的性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。

飛行器巡航飛行性能分析和優(yōu)化在亞聲速和超聲速速域都有了一定的研究可以作為參考，但其性能指標(biāo)是否適用于吸氣式高超聲速飛行器，需要具體分析模型特性來(lái)驗(yàn)證。

4.1 優(yōu)化氣動(dòng)效率

在高超聲速巡航過(guò)程中，假設(shè)飛行器的迎角很小可以忽略。同時(shí)，巡航飛行采用定高定速的飛行模式，則為了保持穩(wěn)態(tài)飛行需要滿足下式

(10)

升阻比是反映飛行器氣動(dòng)特性的重要參數(shù)，優(yōu)化升阻比就是優(yōu)化飛行器的氣動(dòng)效率。由于高超聲速飛行氣流的壓縮性效應(yīng)明顯，飛行器的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)需要考慮馬赫數(shù)的影響，由式(2)可知，阻力系數(shù)和升力系數(shù)均是迎角、舵偏和馬赫數(shù)的函數(shù)，而在平衡狀態(tài)約束下，平衡狀態(tài)量和控制量是確定的，阻力系數(shù)可以由升力系數(shù)和馬赫數(shù)的函數(shù)表示

CD=CD(CL,Ma)

(11)

吸氣式高超聲速飛行器升阻比最大的條件由對(duì)數(shù)微分的形式表示為[23-24]

(12)

其中，dln為對(duì)數(shù)微分的符號(hào)，根據(jù)式(11)，

(13)

定義如下的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)

(14)

(15)

無(wú)量綱的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)便于計(jì)算處理，則式(13)可以寫成

dlnCD=CD,LdlnCL+CD,MadlnMa

(16)

式(12)也可以轉(zhuǎn)化為

(1-CD,L)dlnCL-CD,MadlnMa=0

(17)

分析式(17)，分別固定馬赫數(shù)Ma或升力系數(shù)CL時(shí)，即有dlnMa=0或dlnCL=0，可以得到升阻比最大的優(yōu)化條件

(18)

(19)

當(dāng)同時(shí)滿足式(18)和式(19)可以得到使飛行器升阻比最大的全局最優(yōu)解。根據(jù)式(13)，圖6分別給出了吸氣式高超聲速飛行器的阻力系數(shù)隨升力系數(shù)和馬赫數(shù)的變化規(guī)律。從圖6(a)可以看出阻力系數(shù)與升力系數(shù)的關(guān)系，模型的阻力系數(shù)隨升力系數(shù)的增大而增大，這與亞聲速飛行速域下阻力系數(shù)的變化規(guī)律是相似的[24]。對(duì)于給定的馬赫數(shù)，模型的升阻比在阻力系數(shù)曲線與過(guò)原點(diǎn)直線的相切點(diǎn)取到最大。虛線與阻力系數(shù)曲線相交的圓點(diǎn)為CD,L=1 所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，這與圖7(a)中的圓點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。而圖7(b)表明，吸氣式高超聲速飛行器的阻力系數(shù)隨馬赫數(shù)的增大而減小，這與亞聲速速域阻力系數(shù)隨馬赫數(shù)的變化規(guī)律相反[24]，而且給定升力系數(shù)下升阻比最大的優(yōu)化條件CD,Ma=0在所研究的Ma=4 到Ma=11的高超聲速速域范圍內(nèi)無(wú)解，說(shuō)明指定速域的配平狀態(tài)下吸氣式高超聲速模型的阻力系數(shù)隨著馬赫數(shù)的增加始終在減小，可以看出在較小的升力系數(shù)下，阻力系數(shù)隨馬赫數(shù)減小較快。依據(jù)曲線的走勢(shì)，CD,Ma=0的優(yōu)化條件需要在更高的馬赫數(shù)下才能達(dá)到。另一方面，較大的升力系數(shù)下，阻力系數(shù)隨馬赫數(shù)的下降趨于平緩，結(jié)合圖6(b)可以看出在升力系數(shù)均較大的情況下，阻力系數(shù)表現(xiàn)出明顯的壓縮性，馬赫數(shù)對(duì)升阻比的影響逐漸減小，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證，給定較大升力系數(shù)，在Ma=4到Ma=11的速域內(nèi)存在CD,Ma=0，然而平衡狀態(tài)的控制量約束下飛行器無(wú)法滿足此時(shí)的升力系數(shù)。

顯然，吸氣式高超聲速飛行器要達(dá)到更高的飛行速度需要付出更大的代價(jià)，同時(shí)較高的飛行馬赫數(shù)也超出了超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的工作范圍，因此CD,Ma=0這一指標(biāo)對(duì)本文的模型并不適用。

圖6 吸氣式高超聲速飛行器阻力系數(shù)變化特性Fig.6 Characteristics of drag coefficient of air-breathing hypersonic vehicle

圖7 吸氣式高超聲速飛行器升阻比變化特性Fig.7 Characteristics of lift-to-drag ratio of air-breathing hypersonic vehicle

圖8 吸氣式高超聲速飛行器升阻比等勢(shì)圖Fig.8 Contours of lift-to-drag ratio of air-breathing hypersonic vehicle

在亞聲速速域中飛行器的升阻比通常隨飛行速度的增大而減小[24]，但是吸氣式高超聲速飛行器的升阻特性呈現(xiàn)出不同的規(guī)律。按照之前的分析，飛行器在所研究的速域內(nèi)曲線CD,L=1與CD,Ma=0沒有交點(diǎn)，無(wú)法取到升阻比最大的全局最優(yōu)解，只能按照CD,L=1這一指標(biāo)尋求次優(yōu)結(jié)果。圖8更清晰地給出了固定馬赫數(shù)時(shí)，飛行器在CD,L=1指標(biāo)下升阻比最大的次優(yōu)結(jié)果。

4.2 優(yōu)化推進(jìn)效率

在高超聲速飛行條件下，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)作為吸氣式高超聲速飛行器的動(dòng)力系統(tǒng)，其工作狀態(tài)受飛行狀態(tài)變化的影響劇烈[25-26]。根據(jù)式(2)中影響項(xiàng)，燃油當(dāng)量比、馬赫數(shù)和迎角是影響超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)推力的主要因素。

燃油當(dāng)量比是發(fā)動(dòng)機(jī)模型的控制量，對(duì)推力大小有直接的影響，飛行器的燃油當(dāng)量比，可以表示為

(20)

(21)

圖9是超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的配平燃油當(dāng)量比隨馬赫數(shù)的變化曲線，隨著馬赫數(shù)的增加，燃油當(dāng)量比減小，發(fā)動(dòng)機(jī)提供的配平推力也在減小，平衡狀態(tài)下推力與阻力近似，這與前文圖6中阻力系數(shù)的變化規(guī)律相互印證。同時(shí)，相同馬赫數(shù)下，隨著高度的增加，大氣密度會(huì)產(chǎn)生很大變化，空氣稀薄導(dǎo)致空氣質(zhì)量流率下降，會(huì)導(dǎo)致燃油當(dāng)量比增加，發(fā)動(dòng)機(jī)易進(jìn)入熱壅塞狀態(tài)。故而，飛行器巡航飛行應(yīng)保證飛行高度較高的情況下飛行馬赫數(shù)不能過(guò)小，以避免超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)入飽和或熱壅塞的狀態(tài)。

圖9 配平燃油當(dāng)量比隨馬赫數(shù)的變化曲線Fig.9 Fuel equivalent ratio for trim versus Mach number curve

超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率可以表示為

(22)

(23)

g0為標(biāo)準(zhǔn)重力加速度。故而，式(22)可以轉(zhuǎn)化為

(24)

分析式(24)可知，飛行器配平狀態(tài)下的發(fā)動(dòng)機(jī)效率主要受發(fā)動(dòng)機(jī)比沖和飛行速度影響。仿照前文的分析，可以得到超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)效率最大的條件為

(25)

在巡航飛行狀態(tài)下，飛行高度固定，受平衡狀態(tài)約束發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖近似是馬赫數(shù)的函數(shù)，因而有

(26)

所以式(25)可以轉(zhuǎn)化為

(27)

得到超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)效率最大的條件為ηMa=0。圖10為超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)工作效率隨馬赫數(shù)的變化曲線，可以看出超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的效率隨著馬赫數(shù)的增加呈現(xiàn)先增大后減小的變化規(guī)律，而高度變化對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的效率影響較小，在高馬赫數(shù)段發(fā)動(dòng)機(jī)效率隨高度近乎不變。由ηMa=0條件，在所研究的高超聲速速域內(nèi)，飛行器在Ma=9～9.5速域內(nèi)巡航飛行發(fā)動(dòng)機(jī)的效率較高。

發(fā)動(dòng)機(jī)比沖是發(fā)動(dòng)機(jī)消耗單位質(zhì)量的燃料所提供的推力，也可以作為衡量發(fā)動(dòng)機(jī)性能的重要指標(biāo)，較大的發(fā)動(dòng)機(jī)比沖意味著發(fā)動(dòng)機(jī)提供同等大小的推力時(shí)更為節(jié)省燃料。圖11是平衡狀態(tài)下超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖隨馬赫數(shù)的變化曲線。從圖11可以看出,發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖隨著馬赫數(shù)的增加先增大后減小，比沖的曲線在高馬赫數(shù)處會(huì)出現(xiàn)數(shù)值的劇烈下降，這是由于燃燒由當(dāng)量比燃燒轉(zhuǎn)為貧燃燃燒所致。考慮巡航飛行狀態(tài)下超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)比沖最大的條件如式(28)所示。

圖10 超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)工作效率隨馬赫數(shù)變化曲線Fig.10 Efficiency of scramjet engine versus Mach number curve

(28)

如圖11中曲線Isp,Ma=0所示，飛行器在Ma=7.5～8.5速域內(nèi)巡航飛行發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖較大。

圖11 超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)比沖隨馬赫數(shù)變化曲線Fig.11 Specific impulse of scramjet engine versus Mach number curve

超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的實(shí)際工作特性復(fù)雜，發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型本身存在一些簡(jiǎn)化。因此，從超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率和比沖兩個(gè)方面給出發(fā)動(dòng)機(jī)推進(jìn)效率的優(yōu)化指標(biāo)作為參考，分析的結(jié)果主要是優(yōu)化了飛行器巡航飛行過(guò)程中馬赫數(shù)的大致范圍。

4.3 綜合性能指標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果

綜合前文的分析，亞聲速巡航飛行性能指標(biāo)對(duì)吸氣式高超聲速飛行器并不能完全適用。由于模型的復(fù)雜對(duì)象特性，結(jié)合上述氣動(dòng)效率和推進(jìn)效率兩方面性能指標(biāo)得到飛行任務(wù)點(diǎn)的優(yōu)化結(jié)果。

前文得到的關(guān)于氣動(dòng)效率和推進(jìn)效率的性能指標(biāo)有CD,L=1與Isp,Ma=0、ηMa=0。圖12是綜合氣動(dòng)效率和推進(jìn)效率性能指標(biāo)得到的優(yōu)化結(jié)果。其中，點(diǎn)A的馬赫數(shù)和高度為(7.93,26580 m)，是綜合指標(biāo)Isp,Ma=0與CD,L=1的結(jié)果，其優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)相當(dāng)于minf=|CD,L-1|+|Isp,Ma|；而點(diǎn)B的馬赫數(shù)和高度為(9.72,28250 m)，是綜合指標(biāo)ηMa=0與CD,L=1的結(jié)果，其優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)相當(dāng)于minf=|CD,L-1|+|ηMa|。結(jié)合前文選取的爬升起始任務(wù)點(diǎn)，點(diǎn)B處的飛行器能量遠(yuǎn)大于點(diǎn)A，從爬升起始任務(wù)點(diǎn)爬升到點(diǎn)A所經(jīng)歷的速度和高度變化相比于點(diǎn)B要小，能量變化小，故而燃料消耗量小，飛行任務(wù)較為容易，以點(diǎn)A作為爬升末端任務(wù)點(diǎn)更為合適。

圖12 綜合指標(biāo)CD,L=1、Isp,Ma=0、ηMa=0的優(yōu)化結(jié)果Fig.12 Optimization results of combining indices CD,L=1, Isp,Ma=0 and ηMa=0

綜上，依據(jù)吸氣式高超聲速飛行器的模型特性分析，以兼顧氣動(dòng)效率和推進(jìn)效率的優(yōu)化指標(biāo)對(duì)飛行器的巡航飛行性能進(jìn)行優(yōu)化，得到點(diǎn)A即為一個(gè)合適的爬升末端任務(wù)點(diǎn)。針對(duì)不同的飛行器、不同的飛行任務(wù)，模型的對(duì)象特性差異以及性能指標(biāo)的選取不同，均會(huì)使優(yōu)化分析得到關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)產(chǎn)生變化。

5 爬升末端任務(wù)點(diǎn)魯棒優(yōu)化

前文對(duì)爬升末端任務(wù)點(diǎn)的優(yōu)化選取，主要是基于對(duì)飛行器模型特性的靜態(tài)分析，而實(shí)際飛行中模型自身的不確定性會(huì)使模型特性產(chǎn)生較大的偏差，同時(shí)，優(yōu)化分析沒有完全考慮本體和控制等約束條件的限制，所得到的優(yōu)化結(jié)果往往魯棒性較差。故而前文所求的點(diǎn)A僅是模型在參數(shù)固定情況下的最優(yōu)結(jié)果，在受不確定性的影響時(shí)，難以滿足飛行性能具有魯棒性的要求。針對(duì)這一問題采用魯棒優(yōu)化的思路[27]對(duì)提出的氣動(dòng)/推進(jìn)效率性能指標(biāo)做進(jìn)一步改進(jìn)，構(gòu)造新的適應(yīng)度函數(shù)，以前文選取的爬升末端任務(wù)點(diǎn)為參考進(jìn)行優(yōu)化，將任務(wù)點(diǎn)擴(kuò)展得到鄰域。鄰域相比于單個(gè)狀態(tài)點(diǎn)在軌跡設(shè)計(jì)時(shí)的魯棒性與可實(shí)現(xiàn)性強(qiáng)，具有工程實(shí)用價(jià)值。

吸氣式高超聲速飛行器經(jīng)歷爬升段飛行，受燃料消耗、外界擾動(dòng)等不確定因素影響，模型參數(shù)經(jīng)歷一個(gè)時(shí)變的過(guò)程，尤其是隨著燃料質(zhì)量的消耗，飛行器的質(zhì)心位置可能發(fā)生變動(dòng)，對(duì)模型本體特性產(chǎn)生較大影響。故本文對(duì)吸氣式高超聲速飛行器考慮質(zhì)心位置不確定性，參考點(diǎn)A進(jìn)行魯棒優(yōu)化得到了滿足魯棒性能指標(biāo)的飛行任務(wù)窗口。

對(duì)于一個(gè)基本的優(yōu)化問題，可以描述如下[27]：

s.t.x∈{xi|xlb≤xi≤xub}

(29)

其中，f(x,p)是優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，x是由設(shè)計(jì)變量組成的向量，給出了范圍約束，p是模型的一個(gè)自身參數(shù)。對(duì)于這一優(yōu)化問題，不確定性會(huì)存在于設(shè)計(jì)變量x中或模型參數(shù)p中或目標(biāo)函數(shù)的輸出f(x,p)中。本文的優(yōu)化思路主要涉及的是模型參數(shù)p不確定性影響下的優(yōu)化問題?？紤]不確定性的魯棒優(yōu)化問題，通過(guò)構(gòu)造關(guān)于原優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f的適應(yīng)度函數(shù)F來(lái)結(jié)合參數(shù)的不確定性。本文的魯棒優(yōu)化問題，可以用下面一組式子來(lái)描述

s.t.x∈{xi|xlb≤xi≤xub}

(30)

為將任務(wù)點(diǎn)擴(kuò)展到鄰域，修改式(30)描述的魯棒優(yōu)化問題的目標(biāo)

(31)

其中，k為大于適應(yīng)度函數(shù)Fn最小值的常數(shù)，k的設(shè)置使得優(yōu)化問題變?yōu)榍蠼庾顑?yōu)解鄰域的魯棒次優(yōu)問題，避免了求解最優(yōu)問題收斂慢、陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)，計(jì)算簡(jiǎn)單快速，求解式(30)的結(jié)果即為滿足魯棒性能指標(biāo)的飛行區(qū)域的解集。此時(shí)，設(shè)計(jì)變量x是飛行器的飛行高度h和馬赫數(shù)Ma，不確定性參數(shù)p是質(zhì)心位置xcg，模型的標(biāo)稱質(zhì)心位置在機(jī)體軸線上，在距飛行器機(jī)頭16.76 m處。這里假設(shè)模型質(zhì)心位置的不確定性范圍為沿機(jī)體軸線方向前后變化0.5 m，即區(qū)間[16.26 m,17.26 m]。

在質(zhì)心位置不確定性范圍內(nèi)對(duì)吸氣式高超聲速飛行器配平升阻比和配平比沖隨高度、馬赫數(shù)及質(zhì)心位置的變化規(guī)律進(jìn)行分析。圖13中，固定飛行高度為27000 m，飛行馬赫數(shù)不斷增加，隨著模型質(zhì)心位置的增大，飛行器的升阻比單調(diào)減小。圖14為標(biāo)稱質(zhì)心位置處飛行器升阻比隨高度、速度的變化趨勢(shì)，結(jié)合圖13和圖14可以看出，質(zhì)心位置的不確定性影響了飛行器的靜穩(wěn)定性，改變了其在平衡條件下的狀態(tài)，進(jìn)而對(duì)配平升阻比產(chǎn)生了較大的影響。而圖15中，固定飛行馬赫數(shù)為8，飛行高度不斷增加，隨著模型質(zhì)心位置的增大，飛行器比沖基本保持不變，即模型的配平比沖受質(zhì)心位置不確定性的影響較小。圖16顯示了標(biāo)稱質(zhì)心位置(xcg=16.76 m)處發(fā)動(dòng)機(jī)比沖隨速度、高度的變化趨勢(shì)，比沖基本隨馬赫數(shù)增加先增大后減小，隨高度增加而減小。

圖13 配平升阻比隨質(zhì)心位置變化規(guī)律Fig.13 Trend of lift-to-drag ratio for trim versus the position of centroid

圖14 標(biāo)稱質(zhì)心位置下配平升阻比隨飛行狀態(tài)的變化規(guī)律Fig.14 Trend of lift-to-drag ratio for trim versus the flight state at nominal centroid position

圖15 配平比沖隨質(zhì)心位置變化規(guī)律Fig.15 Trend of specific impulse for trim versus the position of centroid

圖16 標(biāo)稱質(zhì)心位置下配平比沖隨飛行狀態(tài)的變化規(guī)律Fig.16 Trend of specific impulse for trim versus the flight state at nominal centroid position

根據(jù)第4.3節(jié)點(diǎn)A的性能指標(biāo)可以得到優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為

f((h,Ma),xcg)=λ1|CDL-1|+λ2|Isp,Ma|

(32)

其中，λ1和λ2是權(quán)值系數(shù)。對(duì)式(32)采用魯棒正則化方法，構(gòu)造如下的適應(yīng)度函數(shù)

λ2|Isp,Ma|)φ(δ)dδ

(33)

式中:δ是不確定性下質(zhì)心位置關(guān)于標(biāo)稱位置的偏移量，而φ(δ)是質(zhì)心位置關(guān)于標(biāo)稱位置偏移量的概率密度函數(shù)。

前文優(yōu)化的關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)A在標(biāo)稱質(zhì)心位置下適應(yīng)度函數(shù)值最小，其應(yīng)在魯棒優(yōu)化問題最優(yōu)解的鄰域內(nèi)，故而k值可以由點(diǎn)A處的適應(yīng)度函數(shù)值放大合適的倍數(shù)確定。根據(jù)不確定性參數(shù)與性能指標(biāo)的關(guān)聯(lián)分析選取合適的權(quán)重系數(shù)λ1和λ2，以衡量不確定性對(duì)指標(biāo)的影響程度。為了方便計(jì)算，將質(zhì)心位置的不確定性范圍歸一化至[-1,1]區(qū)間內(nèi)，-1代表質(zhì)心位置前移0.5 m，1代表質(zhì)心位置后移0.5 m。不確定性參數(shù)的概率分布是魯棒優(yōu)化方法的核心，但缺點(diǎn)是實(shí)際問題中的不確定性的概率分布不易獲得。本文假設(shè)飛行器在爬升段末端的燃料消耗對(duì)質(zhì)心位置的不確定性滿足均值為0，方差為1/9的正態(tài)分布，則根據(jù)正態(tài)分布的理論，可以保證質(zhì)心位置有99.7%的概率落在[-1,1]區(qū)間內(nèi)。

(34)

結(jié)合式(30)、式(33)和式(34)，求解滿足魯棒性能指標(biāo)的飛行區(qū)域，即圖17中黑色虛線框所圍區(qū)域。進(jìn)一步考慮飛行器飛行過(guò)程中的約束條件，在爬升走廊內(nèi)縮小飛行器巡航飛行的約束區(qū)域，最終的飛行任務(wù)窗口應(yīng)是二者的交集。

圖17在飛行器標(biāo)稱質(zhì)心位置下的配平升阻比等勢(shì)圖中，對(duì)比了魯棒優(yōu)化的解集域與巡航約束區(qū)域。圖中左上角的空白區(qū)域是由于模型控制量限制造成的未配平區(qū)域。飛行器的動(dòng)壓約束與熱流約束同前文所述，而控制約束方面，燃油當(dāng)量比作為發(fā)動(dòng)機(jī)控制量，其飽和約束由未配平區(qū)域體現(xiàn)；粗實(shí)線代表了發(fā)動(dòng)機(jī)的熱壅塞約束。對(duì)于模型舵面偏轉(zhuǎn)角，假設(shè)保留約33.3%的控制裕度，取偏轉(zhuǎn)的余量為δeM=7°，則配平舵面偏轉(zhuǎn)角要小于13°。最后，針對(duì)本文的吸氣式高超聲速飛行器，以模型配平升阻比大于3.8為約束，得到標(biāo)稱質(zhì)心位置下的巡航約束區(qū)域?yàn)閳D中淺灰色區(qū)域。

圖17 魯棒優(yōu)化解集域及標(biāo)稱質(zhì)心位置下的巡航約束區(qū)域Fig.17 Solution domain of robust optimization and constrained area of cruise at the nominal centroid location

巡航約束區(qū)域的大小在質(zhì)心位置不確定性影響下也會(huì)發(fā)生改變，圖18中淺灰色區(qū)域?yàn)轱w行器質(zhì)心位置在17.26 m處的巡航約束區(qū)域，對(duì)比圖17和圖18可以看出,質(zhì)心位置向后移動(dòng)使升阻比等勢(shì)線和舵偏約束發(fā)生較大變化，進(jìn)而導(dǎo)致約束區(qū)域明顯減小。同時(shí)，飛行器質(zhì)心位置在17.26 m處是不確定性范圍的邊界，此時(shí)巡航約束區(qū)域最小，是質(zhì)心位置不確定性的最壞情況。爬升末端任務(wù)點(diǎn)需要同時(shí)滿足魯棒性能指標(biāo)要求和質(zhì)心位置不確定性的最壞情況的約束，即飛行任務(wù)窗口為魯棒優(yōu)化解集域與最小巡航約束區(qū)域的交集，如圖18中深灰色區(qū)域所示。

圖18 飛行任務(wù)窗口及質(zhì)心位置在17.26 m處的巡航約束區(qū)域Fig.18 Flight mission window and constrained area of cruise with centroid position at 17.26 m

由原先的點(diǎn)A擴(kuò)展到飛行任務(wù)窗口，此時(shí)點(diǎn)A雖仍在飛行任務(wù)窗口內(nèi)，但位于區(qū)域的邊界處，可以選取窗口區(qū)域的中心位置點(diǎn)C(7.95,26350 m)為參考的爬升末端任務(wù)點(diǎn)，其遠(yuǎn)離飛行任務(wù)窗口的邊界，魯棒性更強(qiáng)。在飛行任務(wù)窗口區(qū)域內(nèi)選擇爬升末端任務(wù)點(diǎn)或直接以任務(wù)窗口為軌跡設(shè)計(jì)約束，可以滿足巡航飛行性能要求，同時(shí)有效地解決可能由質(zhì)心位置不確定性引起的控制飽和問題，在后續(xù)的軌跡及控制設(shè)計(jì)中更具優(yōu)勢(shì)和便利。

此外需要說(shuō)明的是本文以質(zhì)心位置這一本體參數(shù)為例說(shuō)明了關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)到飛行任務(wù)窗口的魯棒優(yōu)化流程，飛行器實(shí)際飛行過(guò)程中受氣動(dòng)熱、風(fēng)干擾影響還存在氣動(dòng)、推進(jìn)等諸多不確定性因素，氣動(dòng)不確定性會(huì)關(guān)聯(lián)模型的升阻特性、舵偏約束等，而推進(jìn)不確定性主要關(guān)聯(lián)模型的燃油當(dāng)量比、比沖等推力相關(guān)項(xiàng)，綜合考慮兩者會(huì)同時(shí)影響優(yōu)化問題的性能指標(biāo)和約束條件，對(duì)不確定性因素的考慮越充分得到的性能指標(biāo)就越復(fù)雜，同樣采用上述思路得到的飛行任務(wù)窗口必然產(chǎn)生差異，但魯棒性更強(qiáng)，有待進(jìn)一步研究。

6 結(jié) 論

1) 本文主要研究吸氣式高超聲速飛行器爬升段關(guān)鍵任務(wù)點(diǎn)的優(yōu)選問題，包括爬升起始任務(wù)點(diǎn)確定和爬升末端飛行任務(wù)窗口的魯棒優(yōu)化。優(yōu)化流程順序遞進(jìn)，避免循環(huán)迭代；過(guò)程多是基于模型平衡狀態(tài)的分析，魯棒優(yōu)化步驟求解最優(yōu)解的鄰域而非最優(yōu)解，計(jì)算簡(jiǎn)單快速，適用于吸氣式高超聲速飛行器設(shè)計(jì)初期的模型外形分析、快速軌跡優(yōu)化，為此類飛行器后續(xù)的軌跡及控制設(shè)計(jì)提供參考。

2) 吸氣式高超聲速飛行器在高超聲速速域的升阻特性相比亞聲速呈現(xiàn)出相反的變化規(guī)律，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的工作約束較為嚴(yán)苛，飛行器的氣動(dòng)和推進(jìn)還存在耦合，為此充分考慮模型特性，提出了兼顧氣動(dòng)/推進(jìn)效率的優(yōu)化性能指標(biāo)。

3) 在爬升過(guò)程中，吸氣式高超聲速飛行器的燃料質(zhì)量消耗帶來(lái)的質(zhì)心位置不確定性對(duì)模型本體特性產(chǎn)生影響，通過(guò)構(gòu)建魯棒優(yōu)化問題得到飛行任務(wù)窗口，提高了飛行性能的魯棒性。以飛行任務(wù)窗口作為邊界約束進(jìn)行軌跡設(shè)計(jì)的可實(shí)現(xiàn)性強(qiáng)，結(jié)果更具工程實(shí)用性。