基于能量法的基樁變形P-Δ效應(yīng)模擬分析

楊明輝 李勇智 羅宏

摘 ? 要：復(fù)雜荷載下基樁受力分析是樁基設(shè)計(jì)計(jì)算重要內(nèi)容之一. 引入能量原理，針對(duì)基樁荷載傾斜與偏心的特殊情況，并考慮土體的成層特性，建立了三維基樁-土體系統(tǒng)能量控制微分方程. 在此基礎(chǔ)上，結(jié)合不同邊界條件及樁土位移條件，基于有限差分方式得出了傾斜偏心荷載下基樁位移的半解析解答，該解答可充分考慮軸向與橫向荷載共同作用對(duì)基樁變形的P-Δ放大效應(yīng). 而后，開(kāi)展了傾斜偏心荷載下單樁的室內(nèi)模型加載驗(yàn)證試驗(yàn). 對(duì)比結(jié)果表明，本文理論解答與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果吻合較好，較好地模擬了組合荷載下基樁變形P-Δ放大效應(yīng).最后，對(duì)影響基樁P-Δ放大效應(yīng)的主要因素進(jìn)行了分析，結(jié)果表明，軸、橫向荷載相對(duì)大小、樁頂自由段長(zhǎng)度、樁身剛度及淺層地基土剛度等都對(duì)P-Δ放大效應(yīng)有較大影響.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)螛?傾斜偏心荷載;最小勢(shì)能原理;變分原理;P-Δ效應(yīng)

中圖分類(lèi)號(hào)：TU473.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：The force analysis of piles under complex loads is one of the important contents in the design and calculation of pile foundation. In this paper， a energy control differential equation of three-dimensional pile-soil system is established according to the energy principle， considering the special case of tilting and eccentricity of pile loads as well as the layering characteristics of soils. On this basis， combined with different boundary conditions of pile and displacement conditions of pile and soil， a semi-analytical solution of pile displacement under inclined and eccentric loads is obtained based on finite difference method. The solution can fully consider the P-Δ amplification effect of pile deformation. Then， an indoor model loading test of single pile under inclined eccentric load is carried out to validate the solution. The comparison results show that the theoretical solution and the experimental test results are in good agreement， and the P-Δ amplification effect of the pile deformation under combined load is well simulated. Finally， the influencing factors affecting the P-Δ amplification effect of the piles are analyzed. The results show that the relative magnitude of the axial and lateral loads， the length of the free section of the pile， the stiffness of the pile and the stiffness of the surface soil ?all have a significant impact on the P-Δ amplification effect.

Key words：single pile;inclined eccentric loads;principle of minimum potential energy;variational principle;P-Δ effect

樁基礎(chǔ)是應(yīng)用最為廣泛的基礎(chǔ)型式之一，其主要功能為承受豎向荷載，但不少實(shí)際工程中，基樁還將承受水平方向荷載，如波浪力、邊坡土體推力等，因此軸、橫向荷載共同作用下的基樁受力分析也日益得到重視[1-5]. 對(duì)軸、橫向荷載共同作用樁基的受力計(jì)算，工程中常采用簡(jiǎn)化分析方法，即先將豎向與橫向荷載分開(kāi)計(jì)算，而后再按小變形迭加原理計(jì)算樁身內(nèi)力和位移. 但越來(lái)越多的研究表明，二者相互影響，不僅水平荷載將使樁身產(chǎn)生較大的彎矩和撓曲變形，而且豎向荷載也會(huì)由于樁身?yè)锨冃味a(chǎn)生附加彎矩，即產(chǎn)生所謂的P-Δ效應(yīng)[4-7]. 因此，如何合理考慮該效應(yīng)已成為復(fù)雜荷載下基樁受力分析的關(guān)鍵問(wèn)題.

近年來(lái)，已有大量國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了深入分析. 根據(jù)對(duì)樁-土相互作用分析方法的不同，主要可分為2類(lèi). 第1類(lèi)為Winkler地基模型. 如趙明華[4]采用m法導(dǎo)得了考慮樁身自重和樁側(cè)阻力時(shí)傾斜受荷柔性樁的冪級(jí)數(shù)解;Zhang等[8]推導(dǎo)了考慮樁周土體屈服的軸、橫向荷載共同作用高樁的彈塑性解答方法;Zhu等[9]基于傳遞矩陣法和Laplace變換推導(dǎo)了軸、橫向荷載同時(shí)作用單樁響應(yīng)的統(tǒng)一解答方法，該方法適用于任何形式樁土相互作用彈簧模型;Zhang等[10]分別采用水平彈簧和豎向彈簧來(lái)模擬樁-土相互作用，并考慮樁周土體屈服，導(dǎo)得了軸、橫向荷載同時(shí)作用單樁響應(yīng)的半解析解. 另一類(lèi)為彈性連續(xù)體模型，即將土體視為均勻連續(xù)線(xiàn)彈性介質(zhì). 如Liang等[11]和Zhang等[12]在均質(zhì)彈性半無(wú)限空間中引用Mindlin基本方程，提出了軸、橫向荷載共同作用單樁內(nèi)力位移的邊界有限元解法. 隨后，Liang等[13]在此基礎(chǔ)上，采用最小勢(shì)能原理和變分方法分析了軸向荷載對(duì)單樁水平響應(yīng)的影響，并指出軸向荷載對(duì)基樁內(nèi)力變形的影響與橫向荷載水平及樁的長(zhǎng)徑比有關(guān).

上述方法中，Winkler地基模型無(wú)法考慮土體連續(xù)性以及樁土之間復(fù)雜的三維相互作用，而彈性連續(xù)體模型雖然能較好地考慮土體連續(xù)性，但其求解過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，求解耗時(shí)，需基于數(shù)值解析才能得到解答，不便于實(shí)際工程應(yīng)用. 基于此，本文充分考慮樁周土體連續(xù)性、樁-土三維相互作用以及P-Δ效應(yīng)，引入能量法，基于最小勢(shì)能原理導(dǎo)得傾斜偏心荷載作用單樁樁身響應(yīng)的半解析解，并開(kāi)展室內(nèi)小模型試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證與對(duì)比分析. 最后，對(duì)影響組合荷載作用下基樁P-Δ效應(yīng)的主要因素進(jìn)行了探討.

1 ? 計(jì)算模型分析

1.1 ? 問(wèn)題描述

如圖1（a）所示，基樁樁頂承受水平荷載Q0、豎向荷載P0和力偶M0 . 樁身總長(zhǎng)度為L(zhǎng)，直徑為2R，樁頂自由段長(zhǎng)度為L(zhǎng)0 . 樁周土體為分為n層，每層土的厚度為Hi-Hi-1，其中H0 = 0，Hn = ∞. 樁身抗彎剛度為Ep Ip. 在實(shí)際工程中，為了保證穩(wěn)定的受力狀態(tài)，基樁承受的荷載水平大都較低，樁周土體為小變形情況，接近于彈性受力狀態(tài)，因此為了簡(jiǎn)化計(jì)算，本文假定樁周各層土體為彈性各向同性的連續(xù)介質(zhì)，其彈性模量和泊松比分別為Es，i，μs，i. 樁土體系采用柱坐標(biāo)系，如圖1（b）所示. 此外，假定受荷過(guò)程中樁土界面接觸緊密，樁和樁周土體無(wú)相對(duì)滑動(dòng)和分離.

由式（17）和式（18）形成的方程組，再加上前述？準(zhǔn)r（r）和？準(zhǔn)θ（r）邊界條件，采用迭代計(jì)算法即可求解？準(zhǔn)r和？準(zhǔn)θ. 對(duì)于？準(zhǔn)r和？準(zhǔn)θ具體的求解過(guò)程，Basu[15]已作了極為詳細(xì)的說(shuō)明，此處不再贅述.

2.3 ? 算法步驟

為了求解樁身水平位移w（z），必須知道土體參數(shù)ki和ti，這些參數(shù)與未知函數(shù) ？準(zhǔn)r和？準(zhǔn)θ有關(guān);而要求解？準(zhǔn)r和？準(zhǔn)θ，其系數(shù)γ1 ～ γ6又與w（z）有關(guān). 因此，為了同時(shí)求解w（z）、？準(zhǔn)r和？準(zhǔn)θ，必須采用迭代的算法. 具體求解過(guò)程如下：

1）假定γ1 ～ γ6的初始值，例如都取1;

2）由γ1 ～ γ6的值求得？準(zhǔn)r和？準(zhǔn)θ的值;

3）由 r和 θ的值計(jì)算ki、ti的值;

4）由ki、ti的值計(jì)算得到w（z）的值;

5）根據(jù)求得的w（z）的值，重新計(jì)算γ1～γ6的值，并記為γ1new～γ6new，重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，直到|γ1/2/3/4/5/6new - γ1/2/3/4/5/6old|≤10-6;

6）最后一次迭代得到的w（z）值即為樁身各節(jié)點(diǎn)的水平位移值. 根據(jù)上述求解過(guò)程，本文基于MATLAB編制了計(jì)算程序.

3 ? 方法驗(yàn)證

與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)相比，小比例模型試驗(yàn)更容易把握與控制各主要影響因素及條件，因此在機(jī)理分析問(wèn)題上已被眾多學(xué)者采用并證明了其有效性[17]. 鑒于此，本文以小比例室內(nèi)模型試驗(yàn)來(lái)探討傾斜偏心荷載下樁基的受力性能. 目前國(guó)內(nèi)外對(duì)傾斜荷載下樁基受力性能試驗(yàn)研究主要針對(duì)于砂土地基單一地基，而對(duì)黏性土環(huán)境中或多層地基研究相對(duì)較少. 為了進(jìn)一步研究?jī)A斜偏心荷載下單樁受力性能，參考Meyerhof[1-3]等人的小比例試驗(yàn)?zāi)M方法及主要參數(shù)選取原則，本次試驗(yàn)分別采用黏土及砂性土模擬上覆軟弱地基及下臥優(yōu)良持力層，選用木樁模擬實(shí)際樁體. 經(jīng)過(guò)室內(nèi)土工試驗(yàn)測(cè)量，可得樁和土體的相關(guān)參數(shù)如表1和表2所示. 圖3和圖4分別為本次模型試驗(yàn)加載示意圖和模型試驗(yàn)照片. 為了消除試驗(yàn)箱中樁-樁之間的相互影響，將樁與樁之間的最小距離設(shè)為400 mm，即約為13倍的樁徑，根據(jù)文獻(xiàn)[18]基樁的最大影響范圍為8倍樁徑的結(jié)論，本試驗(yàn)可忽略樁與樁之間相互影響.

圖5為當(dāng)豎向荷載為757.632 N，偏心彎矩為22.491 N·m時(shí)，樁頂及地面處樁身水平位移的變化曲線(xiàn). 由圖5可知，本文方法所得結(jié)果與模型試驗(yàn)結(jié)果較為接近，而由于本文主要考慮土體彈性小變形階段，因此本文方法結(jié)果在加載后期略小于試驗(yàn)結(jié)果. 同時(shí)，圖5還給出了本文方法不考慮P-Δ效應(yīng)時(shí)的計(jì)算結(jié)果，其與試驗(yàn)結(jié)果相差較大. 圖6為當(dāng)水平荷載為29.4 N時(shí)，樁頂及地面處樁身位移的變化曲線(xiàn). 當(dāng)豎向荷載小于400 N時(shí)，本文方法與模型試驗(yàn)結(jié)果吻合較好;而當(dāng)豎向荷載大于400 N時(shí)，兩者之間差值較大. 這是由于當(dāng)荷載較小時(shí)，樁周土體主要表現(xiàn)彈性，此時(shí)理論值與實(shí)測(cè)值較為接近;而隨著荷載逐漸增大，上層黏土將表現(xiàn)明顯的彈塑性和非線(xiàn)性，并且塑性變形所占的比例越來(lái)越大，理論值逐漸小于實(shí)測(cè)值. 但由于實(shí)際工程中，基樁承受荷載時(shí)大都處于低荷載水平以保證結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定受力狀態(tài)，因此本文理論解答應(yīng)用于工程實(shí)際是可行的. 同時(shí)，作為對(duì)比，圖5和圖6也給出了規(guī)范推薦方法，即m法的計(jì)算結(jié)果. 以圖5（b）和圖6（a）為例，豎向荷載757.632 N時(shí)，本文方法計(jì)算的地面處樁身位移與實(shí)測(cè)值最大相差6.9%，而m法計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值最大

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法，下面將本文方法與文獻(xiàn)[11]方法進(jìn)行對(duì)比. Liang等[11]引用Mindlin基本方程，提出了軸、橫向荷載共同作用單樁內(nèi)力位移的邊界有限元解法，隨后采用文獻(xiàn)[18]模型試驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證. 本文采用與文獻(xiàn)[11]相同的參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖7所示. 由對(duì)比可知，本文方法與文獻(xiàn)[11]方法計(jì)算結(jié)果極為接近. 但與文獻(xiàn)[11]的邊界有限元方法相比，本文計(jì)算方法相對(duì)更加簡(jiǎn)單，求解效率更高，便于用于實(shí)際工程.

樁身彎矩/（102 N·mm）

4.1 ? 豎向荷載與水平荷載相對(duì)大小的影響

圖6表明，隨著豎向荷載的增加，樁身位移和彎矩都增加，并且豎向荷載越大，其增加速度越快. 由此可見(jiàn)，豎向荷載和水平荷載的相對(duì)大小對(duì)基樁P-Δ效應(yīng)起著至關(guān)重要的作用. 圖8給出了不同豎向荷載和水平荷載下的樁身響應(yīng)曲線(xiàn). 圖9給出了當(dāng)水平荷載為600 kN時(shí)，不同豎向荷載下的樁身水平位移和彎矩. 由圖分析可知，當(dāng)水平荷載小于200 kN時(shí)，豎向荷載對(duì)樁身響應(yīng)的影響較小，幾乎可以忽略不計(jì);而當(dāng)水平荷載大于400 kN時(shí)，豎向荷載的P-Δ 增大效應(yīng)較為明顯. 這是由于當(dāng)水平荷載較小時(shí)，樁身發(fā)生的撓曲變形較小，豎向荷載產(chǎn)生的附加彎矩也較小;而當(dāng)水平荷載較大時(shí)，樁身將發(fā)生較大的撓曲變形，導(dǎo)致豎向荷載也會(huì)產(chǎn)生較大的附加彎矩. 此外，圖8和圖9亦可說(shuō)明，當(dāng)豎向荷載與水平荷載的比值小于5時(shí)，豎向荷載的P-Δ增大效應(yīng)并不明顯，且在本文的計(jì)算假定下，樁身最大位移和最大彎矩與水平荷載近似呈直線(xiàn)關(guān)系. 而當(dāng)豎向荷載和水平荷載的比值大于10時(shí)，豎向荷載對(duì)樁身響應(yīng)的影響非常顯著，并且樁身最大位移和最大彎矩隨水平荷載增加而急劇增加. 在實(shí)際工程中，作用在基樁頂部的豎向荷載通常是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水平荷載的，可見(jiàn)，在進(jìn)行樁基設(shè)計(jì)時(shí)，考慮豎向荷載的P-Δ增大效應(yīng)是非常必要的.

4.2 ? 自由段長(zhǎng)度L0的影響

自由段長(zhǎng)度對(duì)樁身的變形起著重要控制作用. 為了研究自由段長(zhǎng)度的影響，分別考慮了水平荷載Q0 = 400 kN和Q0 = 600 kN時(shí)，樁身最大位移和最大彎矩隨自由段長(zhǎng)度變化曲線(xiàn)，同時(shí)作為比較，也給出了不考慮P-Δ效應(yīng)時(shí)的情況，計(jì)算結(jié)果如圖10所示. 結(jié)果表明，隨著L0增加，樁身最大位移和最大彎矩都增加，并且L0和Q0的值越大，其增加速度越快. 從圖10中還可看到，隨著L0增加，不考慮P-Δ效應(yīng)所得的樁身最大位移和最大彎矩的偏差越來(lái)越大，表明P-Δ效應(yīng)對(duì)樁身響應(yīng)的影響更加明顯.

4.3 ? 土體彈性模量和樁身剛度的影響

Zhang[10]和Basu[15]等人的研究表明，傾斜受荷或水平受荷基樁的水平響應(yīng)主要由樁周淺層土體控制. 因此，這里重點(diǎn)研究上層土體彈性模量變化對(duì)樁頂位移和樁身最大彎矩的影響. 同時(shí)，為研究樁身抗彎剛度的影響，考慮了2種不同的樁身抗彎剛度，計(jì)算結(jié)果如圖11所示. 由圖11分析可知，隨著上層土體

彈性模量增加，樁頂位移和樁身最大彎矩逐漸減小，且減小幅度越來(lái)越小，同時(shí)豎向荷載的P-Δ增大效應(yīng)也逐漸減小. 此外，樁身響應(yīng)受樁身抗彎剛度的影響較大，樁身剛度越大，樁頂位移和樁身最大彎矩越小，豎向荷載的P-Δ增大效應(yīng)也越小.

5 ? 結(jié) ? 論

本文引進(jìn)能量原理，對(duì)傾斜偏心荷載作用基樁的P-Δ效應(yīng)進(jìn)行了模擬，并結(jié)合室內(nèi)模型試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，對(duì)其影響因素進(jìn)行了分析，得出以下結(jié)論：

1）基于能量原理，建立了成層地基下三維基樁-土體系統(tǒng)能量控制微分方程，并結(jié)合不同邊界條件及樁土位移條件，得到了傾斜偏心荷載下基樁位移的半解析解答.

2）開(kāi)展了基樁承受傾斜偏心荷載的室內(nèi)加載試驗(yàn)，室內(nèi)觀測(cè)結(jié)果與理論值的計(jì)算對(duì)比表明，本文理論方法可較好地模擬復(fù)雜荷載下基樁P-Δ效應(yīng)，在實(shí)際工程中具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

3）對(duì)影響基樁P-Δ效應(yīng)的各主要因素進(jìn)行了對(duì)比分析. 計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)豎向荷載和水平荷載的比值大于10時(shí)，該效應(yīng)不能忽略;P-Δ效應(yīng)隨樁頂自由長(zhǎng)度的增大而增大，而淺層地基的剛度與樁體剛度則可在一定程度上制約P-Δ效應(yīng).

參考文獻(xiàn)

[1] ? ?SASTRY V，MEYERHOF G G. Lateral soil pressures and displacements of rigid piles in homogeneous soils under eccentric and inclined loads[J]. Canadian Geotechnical Journal，1986，23（3）：281—286.

[2] ? ?MEYERHOF G G，YALCIN A S. Behaviour of flexible batter piles under inclined loads in layered soil[J]. Canadian Geotechnical Journal，1993，30（2）：247—256.

[3] ? ?SASTRY V，MEYERHOF G G，KOUMOTO T. Behaviour of rigid piles in layered soils under eccentric and inclined loads[J]. Canadian Geotechnical Journal，1994，31（4）：451—457.

[4] ? ?趙明華. 軸向和橫向荷載同時(shí)作用下的樁基計(jì)算[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1987，14（2）：72—85.

ZHAO M H. The calculation of piles under simultaneous axial and lateral loading [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），1987，14（2）：72—85. （In Chinese）

[5] ? ?范文田. 軸向與橫向力同時(shí)作用下柔性樁的分析[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1986（1）：39—44.

FAN W T. Analysis of slender piles under simultaneous axial and transverse loading [J]. Journal of Southwest Jiao Tong University （Natural Science），1986 （1）：39—44. （In Chinese）

[6] ? ?吳鳴，趙明華. 大變形條件下樁土共同工作及試驗(yàn)研究[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)，2001，23（4）：436—440.

WU M，ZHAO M H. Study on pile-soil interaction under large deflection and its model test [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2001，23（4）：436—440. （In Chinese）

[7] ? ?趙明華，李微哲，單遠(yuǎn)銘，等. 成層地基中傾斜荷載樁改進(jìn)有限桿單元法研究[J]. 工程力學(xué)，2008，25（5）：79—84.

ZHAO M H，LI W Z，SHAN Y M，et al. Behavior analysis of piles in layered clays under eccentric and inclined loads by improved finite pole element method [J]. Engineering Mechanics，2008，25（5）：79—84. （In Chinese）

[8] ? ?ZHANG L，GONG X N，YANG Z X，et al. Elastoplastic solutions for single piles under combined vertical and lateral loads[J]. Journal of Central South University，2011，18（1）：216—222.

[9] ? ?ZHU M X，ZHANG Y，GONG W M，et al. Generalized solutions for axially and laterally loaded piles in multilayered soil deposits with transfer matrix method[J]. International Journal of Geomechanics，2017，17（4）：04016104.

[10] ?ZHANG L，OU Q，ZHOU S，et al. Semi-analytical solutions for vertically and laterally loaded piles in multilayered soil deposits[J]. Environmental Earth Sciences，2018，77（2）：51—57.

[11] ?LIANG F，CHEN H，CHEN S. Influences of axial load on the lateral response of single pile with integral equation method[J]. International Journal for Numerical & Analytical Methods in Geomechanics，2012，36（16）：1831—1845.

[12] ?ZHANG L，GONG X N，YU J L，et al. Elastic solution for partially embedded single piles subjected to simultaneous axial and lateral loading[J]. Journal of Central South University，2014，21（11）：4330—4337.

[13] ?LIANG F，ZHANG H，WANG J. Variational solution for the effect of vertical load on the lateral response of offshore piles[J]. Ocean Engineering，2015，99：23—33.

[14] ?SEO H，PREZZI M . Analytical solutions for a vertically loaded pile in multilayered soil[J]. Geomechanics and Geoengineering，2007，2（1）：51—60.

[15] ?BASU D，SALGADO R，PREZZI M. A continuum-based model for analysis of laterally loaded piles in layered soils[J]. Geotechnique，2009，59（2）：127—140.

[16] SUN K. Laterally loaded piles in elastic media[J]. Journal of Geotechnical Engineering，1994，120（8）：1324—1344.

[17] ?楊明輝，楊學(xué)文，趙明華. 黏性土中傾斜荷載下抗拔樁的模型試驗(yàn)研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，43（11）：13—19.

YANG M H，YANG X W，ZHAO M H. Study of model experiments on uplift piles in clay under oblique loads [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences）， 2016， 43（11）： 13—19.（In

Chinese）

[18] ?ANAGNOSTOPOULOS C，GEORGIADIS M. Interaction of axial and lateral pile responses[J]. Journal of Geotechnical Engineering，1993，119（4）：793—798.

[19] ?HAZZAR L，HUSSIEN M N，KARRAY M. Vertical load effects on the lateral response of piles in layered media[J]. International Journal of Geomechanics，2017，17（9）：04017078.

[20] HAN F，PREZZI M，SALGADO R. Energy-based solutions for nondisplacement piles subjected to lateral loads[J]. International Journal of Geomechanics，2017，17（11）：04017104.

[21] ?楊明輝，聶華杰，趙明華. 邊坡段水平受荷樁樁前土抗力折減效應(yīng)的模型試驗(yàn)研究[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，46（3）：114—121.

YANG M H，NIE H J，ZHAO M H. Model testing study on effect of predicament resistance reduction on lateral loaded pile near slope [J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2019，46（3）：114—121. （In Chinese）