基于不動點原理的電壓穩(wěn)定性分析方法

李凡，汪芳宗，溫柏堅

(1. 三峽大學 電氣與新能源學院，湖北 宜昌 443002；2. 廣東電網(wǎng)有限責任公司信息中心，廣東 廣州 510080)

自20世紀90年代以來，有關(guān)電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的研究已取得了很大的進展。迄今為止，研究人員已提出了多種多樣的電壓穩(wěn)定性分析方法以及電壓穩(wěn)定性指標[1-16]。其中，基于戴維南等值的電壓穩(wěn)定性分析與監(jiān)測方法受到了廣泛關(guān)注[17-25]。1999年，Khoi Vu等學者率先提出了基于局部量測的戴維南等值參數(shù)在線辨識及電壓穩(wěn)定監(jiān)測方法[6]。此后，各國學者在此基礎(chǔ)上不斷進行改進和完善，提出了各種改進的戴維南等值參數(shù)計算模型和方法[20]；然而，現(xiàn)有的、基于就地量測的戴維南等值參數(shù)辨識方法均是建立在以下假設(shè)的基礎(chǔ)上：相鄰2個狀態(tài)點或時間斷面之間的戴維南等值參數(shù)不變。顯然，這種假設(shè)在實際中是不成立的，因此，如何對動態(tài)變化的戴維南等值參數(shù)進行準確跟蹤，仍然是一個未能得到徹底解決的問題[7-9]。

為避免上述問題，文獻[19]提出了基于時域仿真的戴維南等值參數(shù)跟蹤計算方法。理論上，這種基于時域仿真的戴維南等值參數(shù)計算方法是準確可靠的，但文獻[7-8，26]的研究結(jié)果表明：對于多負荷系統(tǒng)，不同的戴維南等值方法將得出不同的等值參數(shù)，因此將基于單節(jié)點負荷的經(jīng)典阻抗匹配法應(yīng)用于多負荷系統(tǒng)時仍存在一些理論問題。文獻[27]列舉了一個簡單的3節(jié)點環(huán)網(wǎng)系統(tǒng)，通過簡單的計算，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的戴維南等值方法會得出錯誤的電壓穩(wěn)定性分析結(jié)果。

為解決傳統(tǒng)戴維南等值方法所存在的問題，文獻[7]提出了一種稱為耦合單端口電路(coupled single-port circuit，CSPC)的電壓穩(wěn)定性分析方法，其主要思路是在傳統(tǒng)的戴維南等值方法基礎(chǔ)上，將其他負荷的耦合效應(yīng)表述為一個恒定的虛擬阻抗，并接入單端口網(wǎng)絡(luò)。文獻[8]提出了通道分量變換(channel components transform，CCT)方法。CCT方法的核心思想是利用特征值分解將相互耦合的網(wǎng)絡(luò)方程解耦為多個相互獨立的通道，每個通道即是一個經(jīng)典的戴維南等值電路，由此可以利用經(jīng)典的阻抗匹配法來分析每個通道的電壓穩(wěn)定性。CCT方法為電壓穩(wěn)定性在線分析與監(jiān)測提供了一個新的思路，但其中一個關(guān)鍵問題是：通道與負荷(或負荷節(jié)點)之間并不存在直接的物理對應(yīng)關(guān)系，因此通道的電壓穩(wěn)定性并不能直接反映負荷的電壓穩(wěn)定性。為解決這一問題，文獻[8]采用了基于貢獻因子的辨識方法。

與上述研究工作的研究思路和技術(shù)途徑有所不同，本文嘗試利用不動點原理[28]來闡述電壓穩(wěn)定性問題，其核心思想是：對某一確定的時間斷面，可以將網(wǎng)絡(luò)方程表述為有關(guān)負荷節(jié)點電壓向量的一個自映射非線性系統(tǒng)；若該系統(tǒng)在電壓度量空間中具有唯一的不動點，則該系統(tǒng)在給定的時間斷面是電壓穩(wěn)定的。由此，依據(jù)基本的不動點定理即壓縮映射原理，通過簡單的矩陣范數(shù)計算就可以分析、評估電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性。

1 基于不動點原理的電壓穩(wěn)定性分析方法

1.1 電壓穩(wěn)定性分析的經(jīng)典模型

對于某一時間斷面，電網(wǎng)的節(jié)點網(wǎng)絡(luò)方程為：

(1)

式中：UG、IG分別為發(fā)電機機端電壓列向量、發(fā)電機注入電流列向量；UL、IL分別為負荷節(jié)點電壓列向量、負荷電流列向量；UN為聯(lián)絡(luò)節(jié)點電壓列向量，聯(lián)絡(luò)節(jié)點就是既沒有接發(fā)電機也沒有掛接負荷的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，此類節(jié)點的注入電流列向量為0；YGG、YGL、YGN分別為發(fā)電機節(jié)點與發(fā)電機節(jié)點之間的導納、發(fā)電機節(jié)點與負荷節(jié)點之間的導納、發(fā)電機節(jié)點與聯(lián)絡(luò)節(jié)點之間的導納；YLG、YLL、YLN分別為負荷節(jié)點與發(fā)電機節(jié)點之間的導納、負荷節(jié)點與負荷節(jié)點之間的導納、負荷節(jié)點與聯(lián)絡(luò)節(jié)點之間的導納；YNG、YNL、YNN分別為聯(lián)絡(luò)節(jié)點與發(fā)電機節(jié)點之間的導納、聯(lián)絡(luò)節(jié)點與負荷節(jié)點之間的導納、聯(lián)絡(luò)節(jié)點與聯(lián)絡(luò)節(jié)點之間的導納。

基于式(1)，可以導出

UL=EG-ZLIL.

(2)

其中：

(3)

(4)

(5)

(6)

式(2)—(6)中：m為負荷的數(shù)量；yL為戴維南等值導納；ZL為戴維南等值阻抗；zij為ZL矩陣某一元素；C為常數(shù)矩陣。

電網(wǎng)拓撲結(jié)構(gòu)一定時，yL、yG、ZL均為定常矩陣。式(2)通常被稱為多負荷系統(tǒng)的戴維南等值模型(multi-node coupled Thévenin equivalent model)[8]。顯然，由于ZL是一個m維的滿矩陣，基于單節(jié)點負荷的經(jīng)典阻抗匹配法不能直接應(yīng)用于多負荷系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性分析。

1.2 不動點原理簡介

不動點原理是研究非線性方程解的存在性、唯一性以及其迭代解法的主要理論基礎(chǔ)。對于一般的非線性自映射方程

x=f(x)，x∈Rn，

(7)

所謂的不動點就是該非線性方程的平衡點xs=f(xs)。因此，不動點理論主要是研究不動點的有無、個數(shù)、性質(zhì)以及計算方法。

關(guān)于不動點定理，主要有Banach不動點定理以及Brouwer不動點定理[18]。本文主要是應(yīng)用Banach不動點定理來研究電壓穩(wěn)定性。為避免復雜化，可將該定理簡述如下：

上述表達中：|·|表示Banach空間度量，可以簡單化將其理解為歐氏向量范數(shù)；由于λ<1，|f(x)-f(y)|≤λ|x-y|即是所謂的壓縮映射。因此，Banach不動點定理也被稱為壓縮映射原理，它是度量空間理論的一個重要工具，為度量空間中自映射的不動點的存在性和唯一性提供了嚴格的理論基礎(chǔ)，并提供了求出這些不動點的構(gòu)造性方法。

上述壓縮映射在歐氏空間中可以表述為

(8)

式中：‖·‖表示矩陣的范數(shù)，具體可以取列和范數(shù)(‖·‖1)、行和范數(shù)(‖·‖)、譜范數(shù)(‖·‖2或ρ(·))。

由此，可以通過簡單的數(shù)值迭代方法來闡釋壓縮映射原理：若式(8)成立，則下述迭代方法

(9)

必將收斂至唯一的平衡點，即不動點xs=f(xs)。式(9)是經(jīng)典的不動點迭代方法，而式(8)是不動點迭代方法收斂的充要條件，也就是式(7)具有唯一不動點的充要條件。概括來說，不動點就是自映射非線性方程的穩(wěn)定平衡點。

1.3 基于不動點原理的電壓穩(wěn)定性分析方法

為便于理解，首先從經(jīng)典的戴維南等值電路(如圖1所示)出發(fā)，闡述基于不動點原理的電壓穩(wěn)定性分析方法。圖1中，Es、Zs分別戴維南等值內(nèi)電勢和等值阻抗，uk為k時刻的負荷母線電壓，pk、qk分別為相應(yīng)時刻的負荷有功、無功功率。

圖1 戴維南等值電路

對圖1所示的戴維南等值電路，有

(10)

式中：ik(uk)為負荷電流，通常可將其表述為有關(guān)電壓變量uk的一個函數(shù)。當戴維南等值參數(shù)Es、Zs一定時，式(10)即是有關(guān)負荷節(jié)點電壓uk的一個自映射非線性方程。令

(11)

則有

(12)

需要說明的是：在工程實際中，一般很難掌握負荷或負荷電流的精確數(shù)學表達式，可將式(11)所定義的y(uk)或Zk(uk)看成是負荷在某一時間斷面的等值導納或等值阻抗。

由不動點原理可知：若在一定的區(qū)間內(nèi)恒有|ω(uk)|<1，即|Zs|<|Zk(uk)|，則式(10)在該區(qū)間內(nèi)具有唯一的不動點，此時負荷節(jié)點電壓uk將是穩(wěn)定的；反之，若|ω(uk)|≥1，即|Zs|≥|Zk(uk)|，則式(10)不存在不動點，此時負荷節(jié)點電壓uk將是不穩(wěn)定的。

下面利用不動點原理來研究多負荷系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性。對于一個確定的時間斷面，發(fā)電機機端電壓列向量UG是確定的，因而電動勢向量EG也是確定的；對一般的非線性負荷，負荷節(jié)點電流IL是有關(guān)節(jié)點電壓的一個函數(shù)。在不考慮電動勢EG的動態(tài)變化、只考慮負荷動態(tài)特性的情況下，可將式(2)表述為

(13)

在此情況下，有：

(14)

(15)

式(14)、(15)中：diag(·)表示對角矩陣；yeq,j(uLj)為第j個負荷在給定時間斷面的等值導納；uLj為第j個負荷節(jié)點電壓；iLj(uLj)為第j個負荷節(jié)點電流；F(UL)代表與負荷電壓相關(guān)的函數(shù)；Yeq(UL)為第j個負荷等值阻抗。

依據(jù)不動點原理，若負荷節(jié)點電壓滿足

(16)

則非線性自映射方程(13)將具有唯一的不動點，也就是負荷節(jié)點電壓UL將具有唯一的穩(wěn)定平衡點，因而系統(tǒng)是電壓穩(wěn)定的。式(16)是判斷系統(tǒng)負荷是否電壓穩(wěn)定的直接判據(jù)。

1.4 負荷電壓穩(wěn)定性評估判據(jù)

下面闡述上述判據(jù)的具體計算或?qū)嵤┓椒?。理論上，?16)中的矩陣范數(shù)可取列和范數(shù)、行和范數(shù)、譜范數(shù)，但不同的范數(shù)在計算效率方面有很大的不同。令

(17)

顯然矩陣μ的計算是很簡單的，它只需對常數(shù)矩陣yL進行一次性三角分解，則有

(18)

若取譜范數(shù)，則在不同的時間斷面均需計算矩陣μ的特征值分解，不僅費時，而且還存在另外一個問題：取譜范數(shù)可以準確判斷整個系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性，但很難直接判斷出每個負荷的電壓穩(wěn)定狀況，因為利用現(xiàn)有的特征值計算方法，無法直接確定特征值與負荷節(jié)點之間的物理對應(yīng)關(guān)系。

為避免上述問題，可以采用矩陣的行和范數(shù)即‖μ‖，則有

(19)

式中γi為矩陣μ第i行絕對值之和。

依據(jù)不動點原理，若

(20)

則系統(tǒng)是電壓穩(wěn)定的。進一步，若

γi<1，i∈(1，m)，

(21)

則第i個負荷是電壓穩(wěn)定的。由此，可以定義各個負荷的電壓穩(wěn)定裕度

(22)

式(21)、(22)即是本文所提出的基于不動點原理的電壓穩(wěn)定性分析、評估判據(jù)。

2 相關(guān)對比分析與討論

基于阻抗匹配類的電壓穩(wěn)定性分析方法，其物理概念簡單，易于理解。為方便對本文所提新方法的理解，將基于不動點原理的分析方法與阻抗匹配法進行簡單分析對比。

記矩陣μ、負荷阻抗矩陣ZL的特征值分解分別為

(23)

(24)

定義

(25)

則利用上述變換可將式 (2)轉(zhuǎn)換為

(26)

寫成解耦形式，即

(27)

式(27)即是CCT方法[8]中的通道方程，顯然，它類似于圖1經(jīng)典的戴維南等值電路。定義通道的等值導納

(28)

由于各通道之間是完全解耦的，可以利用經(jīng)典的“阻抗模判據(jù)”方法來分析每個通道的電壓穩(wěn)定性，若

(29)

則該通道是電壓穩(wěn)定的。

依據(jù)上述定義，有：

(30)

(31)

依據(jù)矩陣范數(shù)理論，有

(32)

依據(jù)上述推導可知：矩陣?F(UC)/?UC與矩陣μ是相似矩陣；由于相似矩陣具有相同的特征值[29]，進一步有：

(33)

式(32)和(33)具有重要的意義，具體闡述如下。

在上述基礎(chǔ)上，若能夠辨識出通道與負荷之間的對應(yīng)關(guān)系，也就是辨識出特征值αi與具體負荷之間的對應(yīng)關(guān)系，則多負荷系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性問題就迎刃而解了；然而，這個問題似乎并不簡單，至少目前缺乏嚴格的數(shù)學工具。為解決這一問題，CCT方法采用基于貢獻因子的辨識方法，具體就是計算負荷電流在通道電流中所占的比例。這里需要說明的是：由于負荷的非線性、時變特性，從理論上講，通道(或特征值)與負荷之間的對應(yīng)關(guān)系并不是一成不變的；即使上述辨識方法是正確的，但在不同的時間斷面很有可能辨識出不同的對應(yīng)關(guān)系。正是基于這個原因，盡管文獻[8]可以通過臨界通道辨識出臨界負荷，但并沒有通過跟蹤通道的電壓穩(wěn)定性來實現(xiàn)負荷電壓穩(wěn)定性的在線跟蹤。

下面分析本文所提出的電壓穩(wěn)定性判據(jù)。

假設(shè)βi，i∈(1，m)是矩陣μ的特征值，而且該特征值嚴格對應(yīng)于第i個負荷節(jié)點，則依據(jù)Gergorin圓盤定理[27]有：

(34)

因此，若式(21)成立(即γi<1)，則必有|βi|<1，i∈(1，m)，可知該負荷電壓是穩(wěn)定的。這就是本文在不動點原理的基礎(chǔ)上選擇矩陣行和范數(shù)作為負荷電壓穩(wěn)定性判據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ)。

概括起來，本文所提出的基于不動點原理的電壓穩(wěn)定分析方法，具有比較嚴格的數(shù)學基礎(chǔ)；與CCT方法相比，本文所提出的方法無需特征值分解計算，自然也無需辨識通道與負荷之間的對應(yīng)關(guān)系。更重要的是，CCT方法不能實現(xiàn)負荷電壓穩(wěn)定性的連續(xù)跟蹤監(jiān)測，而本文所提方法完全可以用于電壓穩(wěn)定性的在線監(jiān)測。

3 仿真測試與驗證

為驗證本文所提方法的有效性，利用PST (Power System Toolbox)仿真程序?qū)ζ溥M行了仿真測試。由于CCT方法[8]不能直接跟蹤負荷的電壓穩(wěn)定性，通過仿真測試將本文所提方法與CSPC方法[7]進行對比。

選用如圖2所示的5機18節(jié)點系統(tǒng)作為算例系統(tǒng)。該系統(tǒng)在母線1、2、11、12和22處安裝有5臺發(fā)電機，所有發(fā)電機都配置有簡單的勵磁調(diào)節(jié)器和穩(wěn)定器(power system stabilizer，PSS)；該系統(tǒng)共有3個負荷，分別接于母線4、14和21。母線21掛接的負荷由一臺感應(yīng)電動機和一部分恒阻抗負載組成；母線4和母線14處的負荷可建模為恒阻抗負荷或恒功率負荷。

圖2 測試用算例系統(tǒng)

仿真測試中，系統(tǒng)在時間t=0.2 s時母線 25處發(fā)生三相短路，經(jīng)0.01 s后也就是t=0.21 s時通過開斷線路3-25切除短路故障。首先將母線21處的負荷設(shè)置為60%的電動機負載和40%的恒阻抗負載。這種情況下，系統(tǒng)是暫態(tài)(即功角)穩(wěn)定的(參見圖3，其中δ21、δ31、δ41、δ51分別為發(fā)電機2、3、4、5相對發(fā)電機1的功角)，但系統(tǒng)是電壓不穩(wěn)定的(參見圖4)。圖5是分別使用本文所提方法以及CSPC方法對負荷電壓穩(wěn)定性進行跟蹤監(jiān)測的結(jié)果。從圖5可以看出，2種分析方法的監(jiān)測結(jié)果均能有效反映負荷的電壓穩(wěn)定或不穩(wěn)定狀況。

圖3 功角搖擺曲線

圖4 負荷電壓變化曲線(不穩(wěn)定)

圖5 負荷電壓穩(wěn)定性跟蹤監(jiān)測結(jié)果(不穩(wěn)定)

將母線21處的負荷設(shè)置為40%電動機負載和60%的恒阻抗負載。這種情況下，系統(tǒng)既能保持功角穩(wěn)定性，又能保持電壓穩(wěn)定性(參見圖6)。圖7是分別采用2種方法對負荷電壓穩(wěn)定性進行跟蹤監(jiān)測的結(jié)果。

圖6 負荷電壓變化曲線(穩(wěn)定)

對比圖7(a)與7(b)可以看出：在負荷電壓穩(wěn)定的情況下，基于本文方法以及基于CSPC方法所得出的電壓穩(wěn)定性跟蹤結(jié)果在變化趨勢上大致相似。上述仿真測試及對比結(jié)果說明：本文所提出的基于不動點原理的電壓穩(wěn)定性在線監(jiān)測方法是有效的。

4 結(jié)束語

本文應(yīng)用不動點理論來闡述電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性，提出了基于不動點原理的電壓穩(wěn)定性分析新方法及相應(yīng)的判據(jù)。通過對比分析和討論，闡述了所提新方法的合理性。

本文所提出的電壓穩(wěn)定性分析計算方法具有計算量少、計算快速的優(yōu)點，可在線應(yīng)用。仿真測試結(jié)果初步驗證了該方法的有效性。

與戴維南等值類方法一樣，盡管可以用于負荷電壓穩(wěn)定性的連續(xù)跟蹤與監(jiān)測，但本文所提出的基于不動點原理的分析方法沒有考慮等值電動勢的動態(tài)特性，仍屬于靜態(tài)電壓穩(wěn)定性分析的范疇。如何基于不動點原理來研究電力系統(tǒng)的動態(tài)電壓穩(wěn)定性，這是后續(xù)的研究課題。