雙二次交換作用和各向異性對(duì)反鐵磁體相變溫度的影響*

文林 胡愛(ài)元

(重慶師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院, 重慶 401331)(2020年1月12日收到; 2020年3月24日收到修改稿)

本文基于雙時(shí)格林函數(shù)方法, 通過(guò)對(duì)不同格點(diǎn)和同格點(diǎn)的高階格林函數(shù)分別采用Tyablikov 和Callen 退耦近似, 系統(tǒng)研究了雙二次型交換作用和各向異性對(duì)簡(jiǎn)單立方晶格反鐵磁模型相變的影響. 得到了相變溫度的解析表達(dá)式, 發(fā)現(xiàn)相變溫度隨著各向異性的增強(qiáng)而升高, 但隨著雙二次型相互作用的增強(qiáng)而下降.

1 引 言

雙二次型(biquadratic)交換相互作用可以通過(guò)對(duì)雙線性(bilinear)相互作用進(jìn)行高階展開(kāi)來(lái)得到, 其強(qiáng)度比雙線性相互作用弱[1?3]. 實(shí)驗(yàn)上可以通過(guò)微波共振技術(shù)手段觀察到[4], 對(duì)材料的性質(zhì)有著重要的影響. 例如: 一維材料LiVGe2O6的磁化率[5,6]以及超導(dǎo)材料Ca(Ba)Fe2As2[7,8,9], FeSe[10,11]的磁激發(fā)需要引入雙二次相互作用才能合理解釋.化合物GdMg 中的雙二次型相互作用導(dǎo)致系統(tǒng)磁化強(qiáng)度不是按布洛赫定理的T3/2減小(T為溫度),而是T2減小[12,13]. 最近, Yu 和Nevidomskyy[14]在研究超導(dǎo)材料的配對(duì)狀態(tài)時(shí)發(fā)現(xiàn): 適度的雙二次相互作用不僅會(huì)導(dǎo)致?lián)诫s的配對(duì)對(duì)稱(chēng)性、配對(duì)強(qiáng)度和能隙各向異性發(fā)生顯著變化, 而且是調(diào)節(jié)摻雜下各種超導(dǎo)態(tài)穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素.

在以往的研究中, 研究者采用不同的方法探討了雙二次型交換相互作用對(duì)鐵磁模型的磁化強(qiáng)度、居里溫度、磁化率的影響, 如: 平均場(chǎng)理論[15]、自旋波理論[16]、高溫展開(kāi)法[17]、格林函數(shù)方法[18,19]等.相比鐵磁模型, 研究雙二次型交換相互作用對(duì)反鐵磁模型相變溫度影響的工作較少[19,20]. 除此以外,在實(shí)際材料中存在各向異性, 它在磁性系統(tǒng)相變中也扮演著至關(guān)重要的角色. 因此, 本文將采用雙時(shí)格林函數(shù)方法研究雙二次型相互作用和各向異性共同對(duì)反鐵磁模型相變的影響. 結(jié)果顯示: 交換各向異性在0 到1 取值時(shí), 反鐵磁模型的相變溫度總是隨著雙二次型交換作用的增強(qiáng)而下降. 而鐵磁模型卻存在一個(gè)臨界的各向異性, 其相變溫度的大小不受雙二次型相互作用的影響, 大于臨界各向異性, 相變溫度隨著雙二次型相互作用的增強(qiáng)而升高, 反之下降[19].

2 理論模型

理論模型是一個(gè)三維簡(jiǎn)單立方晶格, 它由兩個(gè)子晶格構(gòu)成, 不同子晶格自旋方向相反, 每個(gè)子晶格中磁性離子的自旋量子數(shù)為1, 即S=1 . 因此,該晶格的磁結(jié)構(gòu)是一個(gè)Nèel 型結(jié)構(gòu). 在這里, 采用字母a和b來(lái)分別標(biāo)識(shí)這兩個(gè)子晶格, 其相應(yīng)子晶格的自旋算符分別用和來(lái)標(biāo)識(shí),α=x,y,z表示自旋算符的三個(gè)分量. 因此, 一個(gè)包含了雙二次型相互作用和各向異性的簡(jiǎn)單立方晶格反鐵磁體模型的哈密頓量可以表示為

這里J1和J2分別描述的是最近鄰自旋間雙線性和雙二次型交換相互作用.表示對(duì)最近鄰格點(diǎn)求和.η是交換各向異性參數(shù), 其取值范圍為0η1 . 當(dāng)η=0時(shí), 模型退化為Ising 模型. 顯然, 越小的η對(duì)應(yīng)著越強(qiáng)的交換各向異性.D描述的是兩個(gè)子晶格的單粒子各向異性. 選z軸為量子化軸, 取子格a的自旋方向?yàn)檎? 則子晶格磁化強(qiáng)度定義為自旋算符的統(tǒng)計(jì)平均, 即:本文不作特別說(shuō)明, 均取J1=1 , 探討其它參數(shù)改變時(shí)對(duì)系統(tǒng)性質(zhì)的影響.

接下來(lái), 采用雙時(shí)格林函數(shù)方法推導(dǎo)模型子晶格磁化強(qiáng)度的解析表達(dá)式, 基于這個(gè)目的, 構(gòu)建了如下的格林函數(shù):

這里

κB是玻爾茲曼常數(shù). 為了方便, 令κB=1 , 則系統(tǒng)所有的量, 包括交換常數(shù)、磁化強(qiáng)度、溫度皆是一個(gè)無(wú)量綱的量.u是Callen 參數(shù)[21], 在求解格林函數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程中, 其值會(huì)取零, 以此得到子晶格磁化強(qiáng)度的自洽方程. Θ (t) 是階躍函數(shù). 根據(jù)雙時(shí)格林函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)步驟[21], (2)式的兩個(gè)格林函數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)為

對(duì)同格點(diǎn)的高階格林函數(shù), 采用Callen 退耦近似[23], 即:

這里,

注意: 對(duì)于同格點(diǎn)退耦, 兩個(gè)子晶格C1的表達(dá)式不一樣, 但它們的大小相差一個(gè)負(fù)號(hào), 即

對(duì)于類(lèi)似(3)式中的高階格林函數(shù)a,

首先近似為

然后再采用Callen 退耦近似.

采用上面的退耦近似后, 對(duì)格林函數(shù)進(jìn)行空間和時(shí)間傅里葉變換, 得到兩組代數(shù)方程, 易求得傅里葉變換后的格林函數(shù)gk(ω) 和fk(ω) , 即:

這里,

其中γk是結(jié)構(gòu)因子, 對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶格,γk=是最近鄰格點(diǎn)數(shù).

令

這里N是晶格格點(diǎn)數(shù), 求和遍及第一布里淵區(qū). 通過(guò)譜定理[21], 可以求得等時(shí)關(guān)聯(lián)函數(shù)對(duì)則關(guān)聯(lián)函數(shù)可以表示為

將(11)式代入(10)式得

當(dāng)溫度趨于相變點(diǎn)時(shí),m是一個(gè)小量, 則(12)式的自旋波譜也是一個(gè)小量. 對(duì)(12)式右邊進(jìn)行泰勒展開(kāi)得

在這種情況下, (13)式可近似為

聯(lián)合(14)和(15)式, 可得系統(tǒng)相變溫度的解析表達(dá)式, 即:

3 結(jié)果與討論

由于晶格格點(diǎn)數(shù)N很大, 因此(16)式對(duì)k在第一布里淵區(qū)的求和可以變換為對(duì)k的連續(xù)積分, 即:

接下來(lái), 通過(guò)對(duì)(16)式積分來(lái)探討雙二次型交換作用和各向異性對(duì)自旋量子數(shù)S=1 的簡(jiǎn)單立方晶格反鐵磁模型相圖的影響.

首先探討在各向異性確定的條件下, 雙二次型交換作用對(duì)系統(tǒng)相變溫度的影響. 圖1 描述了單粒子各向異性D取0, 1時(shí), 不同η(交換各向異性)值下的相變溫度TN與雙二次型交換作用J2之間的變化關(guān)系. 從總體看, 無(wú)論各向異性取何值,TN值隨著J2增大而變小. 對(duì)于確定的J2值, 系統(tǒng)各向異性越強(qiáng)(即η值越小、D值越大),TN值越大. 當(dāng)η=0時(shí),TN與J2之間呈線性關(guān)系, 且系統(tǒng)各向異性越強(qiáng), 它們之間線性關(guān)系越明顯, 見(jiàn)圖1(b).當(dāng)η?=0時(shí), 在J2的臨界值附近(見(jiàn)圖1(b)), 相變溫度曲線下降迅速.

對(duì)比鐵磁模型的結(jié)果發(fā)現(xiàn): 它們之間的差異顯著.對(duì)于鐵磁模型[19], 當(dāng)D值確定時(shí), 存在一個(gè)ηc值,此時(shí)系統(tǒng) TN值不受J2影響, 即在這種情況下,TN值隨著J2的增大保持不變. 當(dāng)η<ηc時(shí),TN隨著J2的增大而升高; 當(dāng)η>ηc,TN值隨著J2增大而變小. 而反鐵磁模型的TN值在 0η1 的范圍內(nèi)總是隨著J2的增大而減小. 同時(shí), 不論各向異性取何值, 鐵磁模型的TN與J2之間始終成線性關(guān)系[19].而反鐵磁模型僅在η=0時(shí), 這種線性關(guān)系才存在.

下面討論其它理論在J2=0時(shí)的相變溫度. 當(dāng)D=0.01,η=0時(shí), 相變溫度值為4.005, 其結(jié)果比Linked-cluster series expansion 方法的3.19[24]和Ratio method 的3.19[25]要大, 比平均場(chǎng)得到的4.007 略小[24]. 這是因?yàn)? 對(duì)于Ising 模型, 基于格林函數(shù)的Tyablikov 近似與平均場(chǎng)近似是等價(jià)的,但由于本文的單粒子各向異性采用了更精確的Callen 近似, 所以本文的相變溫度值要稍小于平均場(chǎng)的結(jié)果. 當(dāng)D=0時(shí), 本文得到的相變溫度4.0 與平均場(chǎng)近似的結(jié)果是相等的. 對(duì)于D=0 ,η=1, 本文得到的相變溫度值為2.64, 其結(jié)果接 近Linked cluster series expansion (2.74)[24],Ratio method (2.72)[25]和 High-temperature series expansion method (2.73)[26].

圖1 當(dāng)單粒子各向異性參數(shù)D 取0 和1時(shí), 交換各向異性參數(shù) η 為0, 0.5, 0.9, 1 下相變溫度 T N與雙二次型交換作用 J2 之間的關(guān)系曲線Fig. 1. Nèel temperature as a function of biquadratic exchange for the exchange anisotropic parameter η =0,0.5,0.9,1 when the single-ion anisotropic parameter D =0 and 1.

從圖1 可以發(fā)現(xiàn), 對(duì)于確定的各向異性, 存在一個(gè)臨界的值. 類(lèi)似地, 對(duì)于確定的J2, 也存在一個(gè)臨界的各向異性(本文沒(méi)有給出TN與η的相圖, 原因是其結(jié)果與圖1 的結(jié)果重復(fù)). 這意味著對(duì)于一個(gè)確定D, 存在一組η和J2數(shù)據(jù), 這組數(shù)據(jù)得到的曲線是系統(tǒng)從有序向無(wú)序轉(zhuǎn)變的臨界曲線.圖2 給出了當(dāng)D取0, 1時(shí), 系統(tǒng)在參數(shù)η和J2空間中的相圖, 它清晰地給出了不同η和J2值時(shí), 系統(tǒng)有序和無(wú)序轉(zhuǎn)變的邊界. 對(duì)于確定的η和J2, 系統(tǒng)有序區(qū)域會(huì)隨著單粒子各向異性增強(qiáng)而變大. 這是因?yàn)楦飨虍愋栽綇?qiáng), 其抑制系統(tǒng)擾動(dòng)能力越強(qiáng),導(dǎo)致了越大的相變溫度(見(jiàn)圖1), 這意味著系統(tǒng)有序區(qū)域變大. 正是由于這個(gè)原因, 對(duì)于確定的單粒子各向異性, 有序區(qū)域會(huì)隨著η的變小(越小的η對(duì)應(yīng)著越強(qiáng)的各向異性)而增大. 而系統(tǒng)的相變溫度隨著J2增大而下降, 這表明J2增大使得系統(tǒng)有序區(qū)域變小. 這表明對(duì)于確定的單粒子各向異性, 系統(tǒng)有序區(qū)域的大小實(shí)際上是η與J2之間相互競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果, 即: 在J2值比較小時(shí), 系統(tǒng)各向異性η占據(jù)主導(dǎo)作用, 于是圖2 中的有序區(qū)域隨著η的變小而增大. 當(dāng)它們之間競(jìng)爭(zhēng)達(dá)到最大時(shí), 系統(tǒng)有序區(qū)域大小也隨之達(dá)到最大. 之后隨著J2的增大, 系統(tǒng)有序區(qū)域變小, 此時(shí)J2占據(jù)主導(dǎo)作用. 于是系統(tǒng)各向異性在達(dá)到最強(qiáng)的過(guò)程中(即η→0 ), 有序區(qū)域一 直在變小.

圖2 當(dāng) D =0,1時(shí), 系統(tǒng)在參數(shù) η 和 J2 空間中的相圖Fig. 2. Phase diagram of the D =0,1 in the η and J2 parameter space.

4 結(jié) 論

本文采用雙時(shí)格林函數(shù)方法, 對(duì)不同格點(diǎn)的高階格林函數(shù)采用Tyablikov 退耦近似, 對(duì)于同格點(diǎn)的高階格林函數(shù)采用Callen 退耦近似, 推導(dǎo)得到了子晶格磁化強(qiáng)度和相變溫度的解析表達(dá)式. 通過(guò)數(shù)值計(jì)算, 詳細(xì)探討了雙二次型交換作用和各向異性對(duì)系統(tǒng)相圖的影響. 結(jié)果表明: 相變溫度隨著各向異性的增強(qiáng)而升高, 但隨著雙二次型相互作用的增強(qiáng)而下降. 當(dāng)J2=0時(shí), 本文的相變溫度值與其它理論結(jié)果一致.

感謝清華大學(xué)物理系王懷玉教授的討論.