水中顆?？锥戳鞯淖畲笮葜箖A角和流量公式*

謝文韜 李若如 彭政? 蔣亦民

1) (中南大學(xué)物理與電子學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410083)2) (中南大學(xué)粉末冶金研究院, 長(zhǎng)沙 410083)(2020年2月13日收到; 2020年3月9日收到修改稿)

實(shí)驗(yàn)測(cè)量了完全浸泡在水中的玻璃珠顆粒樣品在重力驅(qū)動(dòng)下通過(guò)不同傾角和孔徑的圓形孔洞的流量.發(fā)現(xiàn)與空氣中的情形類似, 不同孔徑時(shí)的流量均與傾角余弦呈良好的線性關(guān)系; 線性外推得到的零流量角,即流量休止臨界角, 隨顆粒粒徑與孔洞直徑之比d/D 的減小而線性增加; 在無(wú)窮大孔徑極限下, 此臨界角在實(shí)驗(yàn)誤差范圍內(nèi)與樣品的休止角一致. 此外,所有測(cè)量都可用Beverloo 公式 Q =C0ρg1/2(D ?kd)5/2 很好地?cái)M合;其中參數(shù) C 0 和k 僅與傾角余弦有關(guān), 分別呈線性和平方反比關(guān)系. 與文獻(xiàn)報(bào)道的空氣孔洞流測(cè)量結(jié)果對(duì)比, 發(fā)現(xiàn)差別主要來(lái)自浮力和流體拖曳力對(duì)參數(shù)C0 的影響. 這些結(jié)果表明用傾斜孔洞流測(cè)量顆粒材料休止角的方法和Beverloo 公式具有一定的普適性. 無(wú)論顆粒間隙中填充的是水還是空氣, 孔洞流的行為在定性上是一樣的.

1 引 言

人們?cè)缇椭? 顆?？锥戳?granular orifice flow, GOF)的流量非常穩(wěn)定, 用沙漏計(jì)時(shí)比用水漏計(jì)時(shí)更加精確[1,2]. 最有名的三維顆?？锥戳髁康慕?jīng)驗(yàn)公式由Beverloo 在1961年給出[1,3], 對(duì)于底部開(kāi)口尺寸為D的料倉(cāng), 只要滿足顆粒高度H> 2D和料倉(cāng)直徑F> 2D, 那么孔洞的流量就幾乎只是孔洞尺寸D的函數(shù), 而與料倉(cāng)中剩余的顆粒高度和施加于頂部的荷載壓力無(wú)關(guān).Beverloo 流量表達(dá)式為

其中,ρ為顆粒材料的體密度,g為重力加速度,d是顆粒的平均粒徑,C0和k是取決于顆粒材料的常數(shù). 該經(jīng)驗(yàn)公式有一個(gè)基于“自由下落拱”(free fall arch, FFA)假說(shuō)給出的解釋[1,4?7], 這個(gè)假說(shuō)認(rèn)為在出口附近存在一個(gè)由出口尺寸D決定的“拱”(arch), 承受住了上方的所有壓力, 從而保證了在“拱”的下方, 顆粒是自由下落(free fall)的, 即認(rèn)為料倉(cāng)內(nèi)的應(yīng)力分布在“拱”的地方出現(xiàn)了較大的躍變甚至不連續(xù)的間斷. 對(duì)于直徑為D的孔洞, 顆粒從“拱”上掉落至出口的典型速度而孔洞的面積有三維孔洞流的流量至于(1)式中的kd則來(lái)自于顆粒尺寸d對(duì)孔大小D的修正. 這個(gè)圖像聽(tīng)上去有一定道理, 所以孔洞附近的顆粒速度場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的分布開(kāi)始受到關(guān)注[7,8], 但對(duì)FFA 在GOF 中是否真實(shí)存在仍然有爭(zhēng)議[7,9]. 最近的計(jì)算機(jī)模擬工作顯示, FFA 即使存在也不會(huì)是傳統(tǒng)意義上的應(yīng)力不連續(xù)的拱[7].

為了從更多側(cè)面理解GOF 的流量為什么這么穩(wěn)定, 一些新的實(shí)驗(yàn)方法和幾何裝置開(kāi)始出現(xiàn), 例如有研究人員實(shí)驗(yàn)和模擬研究了外加壓力對(duì)GOF 流量的影響[10?12], 以及孔洞平面的傾斜角θ對(duì)GOF 流量的影響[13?17]. 文獻(xiàn)[13]發(fā)現(xiàn), 對(duì)于大孔洞GOF 來(lái)說(shuō), 流量與 c osθ呈線性關(guān)系, 并認(rèn)為可以保留Beverloo 公式(1)對(duì)傾斜孔洞情況的適用性, 只是將其中的系數(shù)C0和k理解為下面的傾角余 弦函數(shù):

其中a1,a2,a3,a4是常數(shù). 文獻(xiàn)[16]基于此進(jìn)一步發(fā)現(xiàn), 將流量對(duì) c osθ的線性關(guān)系外推得到的零流量休止角θc與粒徑-孔徑比d/D也呈很好的線性關(guān)系, 并且在趨向零(即D趨向無(wú)窮)的極限下,給出了顆粒材料的休止角θr. 這顯示動(dòng)態(tài)的顆粒流動(dòng)和靜態(tài)的顆粒休止角之間存在聯(lián)系. 由于GOF 的流量很穩(wěn)定, 上述傾斜GOF 的線性外推提供了一個(gè)精確測(cè)量顆粒材料休止角θr的新方法.文獻(xiàn)[17]在更寬廣的孔徑范圍驗(yàn)證了這一結(jié)論, 并證實(shí)了GOF 測(cè)得的顆粒休止角與顆粒自由堆積角以及由庫(kù)倫屈服測(cè)得的顆粒材料內(nèi)摩擦角三者的確具有一致性.

文獻(xiàn)[13?17]考慮的都是空氣中的顆粒樣品,近來(lái)水中的GOF 開(kāi)始受到關(guān)注. 文獻(xiàn)[18,19]測(cè)量了沒(méi)有傾斜(θ=0 )情況的水中GOF 流量, 發(fā)現(xiàn)流量會(huì)在料倉(cāng)接近流完時(shí)加大(即流得更快), 并認(rèn)為這是間隙流體的影響. 同時(shí)還認(rèn)為對(duì)于水中的GOF, Beverloo 公式(1)不再正確, 式中流量Q隨D的變化關(guān)系不再是5/2次方, 而是變?yōu)镈2關(guān)系.這是由于水的粘性較大, 與空氣中自由下落的顆粒不同, 水中顆粒很容易達(dá)到一個(gè)與D無(wú)關(guān)的飽和速度vt, 從而使得GOF 的流量Q=ρvts ∝D2. 為了考察利用GOF 測(cè)量休止角θr的方法對(duì)間隙流體為水的情況是否依然有效, 本文通過(guò)將文獻(xiàn)[16]的裝置完全浸入水中, 測(cè)量了完全飽和水情況下的GOF 流量隨D和θ的變化關(guān)系. 結(jié)果顯示, 水與空氣的行為在定性上是一樣的, 水中的傾斜顆粒孔洞流仍然能在D趨向無(wú)窮時(shí)逼近顆粒體的休止角.特別是與文獻(xiàn)[18,19]不同, 測(cè)量認(rèn)為Beverloo 公式(1)及其5/2 冪率仍然適用.

近年來(lái), 對(duì)微重力環(huán)境下顆粒材料的力學(xué)行為的研究越來(lái)越受到關(guān)注[20?22]. 因水的浮力可以等效為抵消部分甚至全部重力, 所以水中實(shí)驗(yàn)常被用來(lái)模擬費(fèi)用昂貴的太空實(shí)驗(yàn). 有工作報(bào)道, 與休止角關(guān)系密切的顆粒材料內(nèi)摩擦角在微重力極限下有增大的趨勢(shì)[21,22]. 本文的水中GOF 休止角測(cè)量方法對(duì)此有一定的參考價(jià)值. 這里沒(méi)有看到微重力實(shí)驗(yàn)報(bào)道的休止角增大現(xiàn)象, 應(yīng)該是使用的顆粒材料體密度與水相差較大, 對(duì)重力的抵消不足所致.不排除利用與水密度接近的顆粒, 可觀察到休止角增大現(xiàn)象. 但注意隨著流量的減小, 測(cè)量裝置的精度需要大幅度提升.

2 實(shí)驗(yàn)裝置與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

如圖1(a)所示, 實(shí)驗(yàn)的主要結(jié)構(gòu)是一個(gè)部分浸泡在水中的鋁合金方形料倉(cāng), 料倉(cāng)橫截面為100 mm × 100 mm, 高700 mm, 壁厚3 mm. 顆粒樣品采用直徑d=0.9±0.1 mm 的球形玻璃珠,在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中顆粒樣品始終位于水面以下, 處于飽和水狀態(tài). 懸掛著料倉(cāng)的剛性懸臂由兩個(gè)調(diào)節(jié)過(guò)水平的電子秤支撐(精度為0.5 g, 量程為30 kg, 采樣頻率為10 Hz). 電子秤固定在剛性支架上, 示數(shù)之和就是料倉(cāng)的總質(zhì)量M(t) (包含了不隨時(shí)間變化的倉(cāng)壁自重和隨時(shí)間變化的顆粒質(zhì)量). 實(shí)驗(yàn)中隨著顆粒的流出, 電子秤示數(shù)M(t) 隨時(shí)間減少, 減少率即為GOF 的流量Q.

當(dāng)顆粒從料倉(cāng)中流出時(shí), 料倉(cāng)內(nèi)部減少的顆粒體積需要及時(shí)由水填補(bǔ), 以維持料倉(cāng)內(nèi)外水面高度不變和樣品的水飽和狀態(tài), 從而防止內(nèi)外的液壓差對(duì)顆?？锥戳髁康挠绊? 為此料倉(cāng)的四個(gè)側(cè)壁均鑲嵌了密排沖孔(孔徑為0.8 mm)的不銹鋼板(圖1(b))用以透水, 以保證實(shí)驗(yàn)過(guò)程中料倉(cāng)內(nèi)外液面保持高度一致(也保證了料倉(cāng)壁在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中受到水的浮力不變).

與文獻(xiàn)[16]類似, 實(shí)驗(yàn)測(cè)量了不同傾角θ下,7個(gè)孔徑D=4, 6, 8, 10, 14, 18, 20 mm 的M(t) 結(jié)果. 傾角θ定義為圓孔所在平面與外水平面的夾角,如圖1(c)和圖1(d)所示. 傾角大小由精度為0.1 度的傾角儀(bevel box)測(cè)出. 利用底部開(kāi)孔的裝置(圖1(c))可測(cè)量θ∈[0?,45?] 的顆粒流量. 對(duì)于θ>45?的情形, 需要采用圖1(d)所示的料倉(cāng)側(cè)壁開(kāi)孔裝置. 在距離底部約100 mm 的高度開(kāi)一個(gè)100 mm × 100 mm 的方孔, 用以嵌入圓孔D所在的硬鋁板. 為盡量減小板厚度對(duì)流量的影響, 孔洞外側(cè)加工成了如圖1(e)所示的楔形.

圖1 (a)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖; (b)料倉(cāng)透水側(cè)壁照片; (c)傾角小于45 度時(shí)采用的實(shí)驗(yàn)裝置; (d)傾角大于45 度時(shí)采用的實(shí)驗(yàn)裝置;(e)楔形孔洞示意圖Fig. 1. (a) Schematic of the setup; (b) photograph of the permeable side wall of the silo; (c) the experimental devices used when the inclination is less than 45 degrees; (d) the experimental devices used when the inclination is greater than 45 degrees; (e) schematic of the wedge-shaped orifice D.

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn), 如果將顆粒直接從空氣置入水中的料倉(cāng), 顆粒表面會(huì)裹挾大量空氣泡, 這些氣泡在流動(dòng)時(shí)會(huì)逐漸釋出, 對(duì)孔洞流量帶來(lái)顯著影響. 在孔洞較小時(shí)氣泡甚至?xí)苯幼枞w粒流. 因此在開(kāi)始實(shí)驗(yàn)之前, 需要提前將顆粒放入水桶中, 讓其在水中反復(fù)多次流動(dòng), 使氣泡充分釋出直至肉眼不可見(jiàn). 之后再將去氣泡后的顆粒通過(guò)開(kāi)口的側(cè)壁在液面以下加入料倉(cāng), 并且在加料的過(guò)程中始終保證顆粒不再暴露到空氣中. 通過(guò)去氣泡處理后的顆粒流量將十分穩(wěn)定和可重復(fù).

實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前先將孔D塞住, 在料倉(cāng)中加入去氣泡處理過(guò)的顆粒直至接近水面, 然后開(kāi)放孔D, 同時(shí)采集電子秤隨時(shí)間變化的M(t) . 典型的M(t) 數(shù)據(jù)如圖2 所示. 由圖2 可以看出, 在初期GOF 有一段短暫的不穩(wěn)定流動(dòng)期(包括開(kāi)放孔D帶來(lái)水面波動(dòng)的影響), 但之后M(t) 呈現(xiàn)出良好的直線關(guān)系, 其斜率的負(fù)值就是GOF 的流量Q(由于測(cè)量的是料倉(cāng)中顆粒的減少量, 故M(t) 斜率為負(fù)). 這個(gè)流量在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)是穩(wěn)定不變的, 如圖2 插圖所示, 40—80 s 和80—120 s 計(jì)算出來(lái)的流量Q均為6.53 g/s. 在流動(dòng)的尾聲(140 s 左右),M(t) 曲線只有非常微弱(小于2%)的變陡趨勢(shì). 沒(méi)有明顯地觀察到文獻(xiàn)[19]中提到的在料倉(cāng)快流完時(shí)流量變大的現(xiàn)象. 這個(gè)分歧的原因目前不詳. 但快流完的情況不是關(guān)注的重點(diǎn), 本文僅研究中間段的穩(wěn)定流量Q隨D和θ的變化關(guān)系.

圖2 D=14mm,θ=90?時(shí)典型的 M (t) 數(shù)據(jù);左下和右上插圖分別為從主圖中摘出的40?80s 及80?120s的 M (t) 數(shù)據(jù), 均呈良好的線性關(guān)系.由這兩段數(shù)據(jù)計(jì)算得到的流量 Q 沒(méi)有差別, 均為6.53 g/s,表明流量非常穩(wěn)定Fig. 2. Typical data of M(t) at D = 14 mm, ;the lower left and upper right insets are the data of 40?80 s and 80?120 s extracted from the main graph, both of which show good linearity. Both flow rates Q calculated from these two insets are 6.53 g/s, indicating that the flow is very stable.

對(duì)于每一給定的D和θ重復(fù)三次實(shí)驗(yàn), 平均值記為對(duì)應(yīng)的流量Q(D,θ) , 結(jié)果見(jiàn)圖3(a)所示. 雖然水中操作的擾動(dòng)比空氣中的實(shí)驗(yàn)略大, 但在去除氣泡后水中的GOF 流量仍然非常穩(wěn)定, 實(shí)驗(yàn)重復(fù)性好, 三次測(cè)量的偏差均小于數(shù)據(jù)點(diǎn)圖標(biāo)的大小,因此圖3a 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)沒(méi)有標(biāo)出誤差棒.

與文獻(xiàn)[16]的空氣實(shí)驗(yàn)結(jié)論一樣, 對(duì)不同孔徑D, 流量Q均隨著角度θ的增大而逐漸減小, 并與cosθ呈良好的線性關(guān)系(圖3(a)). 注意對(duì)較小的D(如D= 4 mm)而言, 因GOF 在傾角較小時(shí)流動(dòng)就停止了, 所以測(cè)量時(shí) c osθ的取值范圍也相應(yīng)變 小.

圖3 (a)不同孔徑D 下流量Q 隨傾角余弦 c os θ 的變化,實(shí)線為直線擬合; (b)用水平( θ =0? )流量 Q 0 歸一化的流量 Q /Q0 隨傾角余弦 c os θ 的變化關(guān)系, 實(shí)線為公 式(3)的擬合結(jié)果; (c)臨界流量休止角 θc 隨粒徑-孔徑比d/D 的變化關(guān)系, 實(shí)線和 θ0 為直線擬合結(jié)果Fig. 3. (a) The variation of flow rateQ with the inclination cosine c os θ at different orifices D, where the solid line is a linear fit; (b) variation of the normalized flow rate Q/Q0 with c os θ , where Q 0 is the rate at θ =0? , and the solid line is the fitted result of equation (3); (c) the relationship between the critical angle of flow ceasing θc and the ratio d/D, where the solid line and θ0 are results of linear fitting.

3 流量與休止角

按照與文獻(xiàn)[16]類似的分析和處理方式, 用θ=0?的水平GOF流量Q0對(duì)Q進(jìn)行歸一化, 得到圖3(b)所示的Q/Q0與 c osθ的線性關(guān)系. 這時(shí)所有的直線均過(guò)坐標(biāo)點(diǎn)(1, 1), 只有斜率一個(gè)參量, 所以有

其中,θc表示不同D下流量Q=0時(shí)的傾角, 是孔徑D的函數(shù). 與文獻(xiàn)[16]的結(jié)論類似,θc與d/D的函數(shù)關(guān)系仍然是線性的(圖3(c)). 用下面公式:

擬合, 得到D→∞時(shí)的零流量?jī)A角θ0=156?±4?和的補(bǔ)角θr=180??θ0=24?±4?對(duì)應(yīng)無(wú)限大顆粒自由平面極限下的休止角[16,17]. 用同樣顆粒材料在水中堆積錐形沙堆, 測(cè)得水中沙堆休止角約在 23?至 25?之間, 與(4)式外推得到的結(jié)論相符. 這些結(jié)果表明, 無(wú)論在空氣中還是水中,都可以用傾斜GOF 的方法測(cè)量顆粒材料休止角.注意由于GOF 在水中流動(dòng)時(shí)受間隙流體的影響比空氣中要大, 所以測(cè)量值的漲落要略大于空氣中的實(shí)驗(yàn).

在文獻(xiàn)[16]中用同樣顆粒材料測(cè)得的空氣中的休止角為 27?±3?. 雖然略高于本文的水中結(jié)果,但在誤差范圍內(nèi)還是吻合的. 水中與空氣中的休止角是否存在微弱差別, 還有待仔細(xì)測(cè)量. 定性上看,空氣中的休止角多少會(huì)受濕度導(dǎo)致的顆粒間濕粘力(cohesive force)影響而變大. 這個(gè)現(xiàn)象在文獻(xiàn)[18]中也被觀察和提到. 另外如引言所述, 由于水中的浮力遠(yuǎn)大于空氣中的, 水中顆粒樣品的應(yīng)力明顯小于空氣中的應(yīng)力, 圖1 裝置可用于研究航天領(lǐng)域關(guān)心的微重力下顆粒休止角變大的現(xiàn)象. 本文未觀測(cè)到休止角變大現(xiàn)象, 原因很可能是采用的玻璃珠和水的密度比(約為5:2)不夠接近1 導(dǎo)致的. 今后值得考慮用更接近水密度的顆粒材料來(lái)研究和逼近這個(gè)微重力現(xiàn)象.

4 Beverloo 公式

圖3 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以用公式(1)和(2)很好地?cái)M合. 如圖4(a)所示, 對(duì)所有不同的傾角θ, 流量Q隨D的變化關(guān)系都能很好地滿足5/2次冪, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果并不支持文獻(xiàn)[18,19]提到的Q與D2成比例的結(jié)論. 這還可以在圖4(a)的插圖中, 從Q2/5和D的直線關(guān)系中得到驗(yàn)證.

由于冪次2/5 和1/2 的差別不大, 如果嘗試擬合Q1/2與D的直線關(guān)系, 結(jié)果也顯得不錯(cuò)(這可能也是文獻(xiàn)[18,19]認(rèn)為其合理的原因). 盡管兩種冪次公式對(duì)本文數(shù)據(jù)的擬合相關(guān)系數(shù)(Adj. R-Square)均大于0.99(相關(guān)系數(shù)越接近1 代表擬合程度越好), 2/5次冪的公式在擬合度上仍然要略高一點(diǎn).因此更傾向支持Beverloo 公式(1)對(duì)于各種傾角的水中GOF 均成立, 其中參數(shù)C0和k隨傾角余弦cosθ的變化關(guān)系滿足公式(2)(圖4(b)和圖4(c)).

圖4 (a)用Beverloo 公式(1)和(2)擬合圖3 數(shù)據(jù)的結(jié)果,插圖為不同傾角時(shí) Q 2/5 隨D 的變化關(guān)系, 實(shí)線為線性擬合; (b), (c)Beverloo 參數(shù) C 0 和 k 隨 cos θ 的變化關(guān)系, 及其用公式(2)的擬合情況. 圖(c)中的插圖是 k ?2 隨cos θ 的變化關(guān)系Fig. 4. (a) Results of fitting the data in Figure 3 using the Beverloo formula (1) and (2), the inset is the change of Q2/5 with D at different inclination, and the solid line is a linear fit; (b) and (c) variations of the parameters C 0 and k with c os θ , and solid lines are results of fits by using equation (2). The inset in (c) is the change of k ?2 with cos θ.

雖然公式(2)對(duì)于水中和空氣中的GOF 都有效, 但在同樣條件下水中的GOF 流量明顯小于空氣中的流量(圖5(c)—(f)). 這個(gè)流量差別, 主要由參數(shù)C0來(lái)描述(圖5(a)). 參數(shù)k隨 cosθ的變化情況對(duì)水和空氣不敏感(圖5(b)). 另外從圖5(c)—(f)的插圖也可以看到,k對(duì)流量的影響也基本與水還是空氣無(wú)關(guān), 只在較大傾角時(shí)才出現(xiàn)一點(diǎn)差別. 在Beverloo 公式中,k與孔徑變小導(dǎo)致的流量阻塞停止(clogging)有關(guān). 同樣傾角下, 水中GOF 與空氣中GOF 有著幾乎同樣的k, 顯示這個(gè)阻塞機(jī)制與間隙流體的種類關(guān)系不大.

從圖6(a)可以看到, 水和空氣的Beverloo 系數(shù)C0的比值基本上是一個(gè)與傾角無(wú)關(guān)的常數(shù)0.37.另外流量比值與0.37 的偏差會(huì)隨著孔徑D的減小和傾角的增加而變大圖6(b). 顯然這個(gè)偏差反映的是Beverloo 公式中系數(shù)k的效果. 值得指出的是,間隙流體對(duì)顆粒的作用有浮力和粘滯拖曳力. 前者的效果可通過(guò)將重力加速度乘以密度變化比(ρ ?ρ流體)/ρ來(lái)描述(ρ=ρ顆粒是顆粒材料體密度).對(duì)Beverloo 公式(1)中的g做此處理, 得出水中與空氣中GOF 的C0比值為0.78(忽略空氣密度), 明顯大于圖6(b)的0.37. 這意味著水的拖曳力(即粘滯力)對(duì)GOF 流量有顯著影響.

因?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)很少, 水的粘滯系數(shù)η對(duì)C0的影響還不能給出可靠的經(jīng)驗(yàn)公式. 受流體中勻速下落的單個(gè)顆粒的末速度反比于η的啟發(fā), 本文建議采用下 面的三參數(shù)模型

來(lái)擬合C0與η的關(guān)系. 其中C0vac為真空的C0值,η0和冪率a可理解為反映密集多顆粒效應(yīng)的參數(shù).當(dāng)a趨向1,η0趨向0時(shí), 它退化為單個(gè)顆粒的情況. 由于目前只有水和空氣的兩個(gè)C0數(shù)據(jù)0.37 和0.78, 還不能確定模型的參數(shù)及其適用性. 如果取冪率a=1 , 水和空氣的粘滯系數(shù)分別為1.0×10?3Pa·S與1.8 × 10–5Pa·S, 得到參數(shù)為C0vac=0.796,η0= 0.868 × 10–3Pa·S.

圖5 (a)和(b)是水中(實(shí)心方點(diǎn))和空氣中(空心圓點(diǎn))GOF 的Beverloo 參數(shù) C 0 和k 隨cos θ的變化;(c)?(f)分別為θ =0?,60?,90?,120?時(shí), 水中和空氣中GOF 流量Q 隨D 的變化, 插圖是 Q /C0 隨D 的變化. 空氣中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn)[16]Fig. 5. (a) and (b): Beverloo parameters C 0 and k of GOF in water (solid squares) and in air (hollow circles) as a function of cos θ ;(c)?(f): the changes of GOF flow rate Q with D in water and in air when θ =0?,60?,90?,120? , respectively, and the inset is the change of Q /C0 with D. The experimental data in air comes from ref. [16].

圖6 水和文獻(xiàn)[16]空氣的(a) Beverloo 系數(shù) C 0 和(b) GOF流量 Q 的比值Fig. 6. Ratio of (a) Beverloo coefficient C 0 and (b) GOF flow rate Q in water and in air (from Ref. [16]).

5 結(jié) 論

本文測(cè)量了不同傾角θ和孔徑D下, 完全浸泡于水中的顆粒物質(zhì)(玻璃珠)在重力驅(qū)動(dòng)下從圓形孔洞卸載時(shí)的GOF 流量. 得到的結(jié)論如下:

1)與文獻(xiàn)[16,17]報(bào)道的空氣情形類似, 對(duì)所有孔徑值, 流量Q都與傾角余弦 c osθ呈良好的線性關(guān)系. 由此線性外推給出的流量休止臨界角θc隨粒徑-孔徑比d/D的減小也呈良好的線性增加關(guān)系,并且在無(wú)窮大孔徑極限d/D →0 下的線性外推值θ0與顆粒材料休止角相符. 這表明用傾斜孔洞流的方法同樣可以測(cè)量材料在水中的休止角.

2)得到的水中休止角略微小于文獻(xiàn)[16]報(bào)道的用同樣方法測(cè)量的空氣休止角. 這可能是因空氣濕度導(dǎo)致的顆粒間粘力所致.

3)所有測(cè)量數(shù)據(jù)都可以用5/2 冪率的Beverloo公式很好地?cái)M合, 并且與空氣情況一樣, 系數(shù)C0和k隨孔洞傾角余弦cosθ的變化分別符合線性和平方反比關(guān)系.

4)通過(guò)與空氣GOF 的測(cè)量結(jié)果[16]比較, 發(fā)現(xiàn)間隙流體種類(水或空氣)對(duì)Beverloo 公式系數(shù)k的影響不大, 但對(duì)系數(shù)C0有大約0.37 的固定比例影響. 后者不能完全用浮力導(dǎo)致的重力加速度g減小來(lái)解釋, 意味著水施加于顆粒的拖曳力對(duì)GOF 有顯著影響.

5)鑒于水和空氣都屬于牛頓流體, 二者的GOF 行為在定性上應(yīng)該保持一致, 例如Beverloo公式的有效性和給出的休止角. 故不傾向[18,19]中提出的水中GOF 的流量與D2成比例的提議.從本文的測(cè)量結(jié)果看不出有修改Beverloo 公式冪率的必要.