膜間相互作用、開弦對產(chǎn)生和增強效應(yīng)及其可能的實驗探測*

盧建新 張楠

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)交叉學(xué)科理論研究中心, 彭桓武高能基礎(chǔ)理論研究中心, 合肥 230026)(2020年1月6日收到; 2020年3月1日收到修改稿)

本文較為詳細(xì)地介紹了作者之一及其合作者近期在Type II 弦理論中有關(guān)D 膜間相互作用, 開弦對產(chǎn)生以及這種對產(chǎn)生在一定情況下的增強效應(yīng)的系列研究工作. 具體包括計算了帶有一般世界體常數(shù)電磁場情況下平行放置且有一定間距的兩張D 膜間的相互作用, 討論了相關(guān)特性, 比如相互作用的吸引或排斥情況.當(dāng)其中至少一張膜帶電場時, 這種相互作用振幅通常有一個虛部, 反映了該系統(tǒng)的一種不穩(wěn)定性即開弦對的產(chǎn)生, 并給出相應(yīng)的衰變率和開弦對產(chǎn)生率. 另外, 探討了這種開弦對產(chǎn)生率的增強效應(yīng), 發(fā)現(xiàn)其與所加的電場和磁場的方向和大小相關(guān)聯(lián). 當(dāng)其中一個膜的空間維度為3, 另一個膜的空間維度為1時, 這種開弦對產(chǎn)生率可以大到人類實驗室條件下得以檢驗. 開弦對的產(chǎn)生率與兩膜沿額外維方向的間距密切關(guān)聯(lián), 如果假定弦理論的正確性及人類的4 維時空可以看成一張D3 膜的話, 測量開弦對產(chǎn)生所給出的(比如)電流并驗證其與所加電磁場的關(guān)系符合預(yù)言, 由此可以檢驗額外維的存在性. 同時, 這也為弦理論提供了一種實驗檢驗, 并且這是一種無須將該理論緊化到四維時空的全新方式.

1 引 言

引力的量子化是一個迄今沒有解決的物理學(xué)基本問題. 引力的量子行為涉及相互作用的本質(zhì)及其統(tǒng)一, 是理解比如黑洞奇點和宇宙學(xué)奇點以及暗能量本質(zhì)的出發(fā)點. 目前存在兩種比較認(rèn)可的量子化引力嘗試. 一種是圈量子引力, 另一種是弦/M-理論. 如果從物質(zhì)和相互作用的統(tǒng)一的角度, 弦/M-理論是目前惟一的量子引力候選理論.

弦/M-理論的研究, 至少從理論角度, 為我們揭示了很多內(nèi)涵和新的窗口, 突破了一些常規(guī)認(rèn)知. 比如在場論方面, 它告訴我們不包括引力情況下量子場論存在的最大時空維度為6, 有的量子場論沒有拉氏量描述, 比如6維 ( 2,0) 共形場論. 另外, 最近基于弦理論的研究告訴我們, 當(dāng)考慮引力相互作用時, 并不是任何一個有效理論都具備紫外完備推廣, 即使其在沒有考慮引力時具有紫外完備.

本文將局限討論弦/M-理論中一類重要的動力學(xué)客體——D 膜[1?5]的相關(guān)動力學(xué). 這是基于作者之一和其合作者近期的一系列工作[6?15]. 討論將局限于第二類(Type II)超弦理論中的非微擾Dp膜, 這里p代表該D 膜的空間維度. 在我們的討論中, Dp膜是沿p維空間方向無窮延展的. 比如,從膜圖景來看, D3 膜可以是我們生活的4 維時空,因此可能與我們的現(xiàn)實世界有關(guān). 我們有兩種第二類超弦理論, 通常稱為IIA和IIB超弦理論. 除相應(yīng)的非微擾Dp膜和NS5膜外, 每一個僅包括閉弦, 都要求時空維度為10, 具有兩個時空超對稱.它們的區(qū)別是前者不是一個手征理論(即兩個超對稱具有相反的手征性)而后者是(兩個超對稱具有同樣的手征性). 對于IIA 理論,p可分別取0,2,4,6,8 , 而對于IIB,p=?1,1,3,5,7,9 . 這里p=?1 代表D 瞬子,p=9 通常又稱為時空填充(spacetime-filling)膜. 除p=9外, 一般總有p ?p′=2k(假定這里k=0,1,2,3,4 .

對于一張無窮延展的Dp膜, 其具有如下張力[5]:

它的質(zhì)量是該張力乘以其無窮大體積, 因此具有無窮大質(zhì)量. 這里gs是閉弦的耦合常數(shù), 與后面提到的D 膜的開弦描述的開弦耦合常數(shù)的關(guān)系為具有長度平方量綱的常數(shù)α′與基本弦的張力關(guān)系為弦基本長度也是弦理論的一個基本常數(shù).垂直于膜的方向上有漸近平坦的行為, 要求p6[3,4].對于p>6 ,時空都會有不好的奇異行為, 比如圓錐

如同把一個大質(zhì)量放入通常的四維時空, 當(dāng)把這樣一張具有無窮大質(zhì)量的Dp膜放入10 維平坦時空時, 它也會引起周圍的時空彎曲. 如果堅持沿奇點. 基于這一點以及后面要考慮的內(nèi)容, 從現(xiàn)在開始限制即D 瞬子, 與要考慮的內(nèi)容沒有特別關(guān)系, 將不考慮它.

如果把N張重疊的Dp膜放入10 維平坦時空, 得到的時空度規(guī)為[3,4]

其中r是垂直于膜方向的徑向距離,x∥是Dp膜時空延展的方向, 而x⊥是垂直膜的方向. 這里參數(shù)kp ≈Ngsα′(7?p)/2(見文獻(xiàn)[6]中的討論). 如果弦耦合常數(shù)gs?1 使得gsN ?1 , 即使探測的距離上述度規(guī)基本是平坦的. 換句話說, 在弱耦合情況下把N張重疊的D 膜放入平坦時空, 該時空即使在弦尺度下仍然保持平坦. 也就是說在弱耦合下可以把D 膜看成是剛性的. 這也是后面討論的出發(fā)點.

D 膜有一個重要的特性, 它具有兩種等效的描述: 開弦描述和閉弦描述. 當(dāng)弦耦合常數(shù)大時, 其僅有的描述為保持一半時空超對稱的孤子態(tài)或孤子解, 通常稱為1/2 BPS 態(tài). 比如其重要的作為孤子的特性是(1)式表示的張力與開弦的耦合常數(shù)平方成反比, 但僅僅與閉弦的耦合常數(shù)本身成反比. 因此嚴(yán)格來說, D膜不完全是閉弦的孤子而應(yīng)看成開弦的孤子. 當(dāng)弦的耦合常數(shù)很小時, 如上文所述D 膜本身可看成是剛性的, 其動力學(xué)可以用閉弦或開弦的微擾理論來研究. 從閉弦角度, D膜可以用所謂的邊界態(tài)來描述(一種弦理論的相干態(tài), 見文獻(xiàn)[16,17]). 除最低階的一些研究, 通常用這種描述還是很困難的. 從開弦角度, D膜的動力學(xué)可以用一個滿足一定邊界條件的微擾開弦來刻畫[5]. 這是D 膜作為一個非微擾客體最重要的特性, 即一個非微擾的動力學(xué)客體存在一個微擾理論的描述. 這也是弦理論中特有的現(xiàn)象.

圖1 D膜Fig. 1. D-brane.

這種開弦需要滿足的邊界條件如下: 開弦的兩個端點在沿Dp延展的方向滿足所謂的紐曼(Neumann)邊界條件而在垂直膜方向上滿足所謂的狄里克萊(Dirichlet)邊界條件, 如圖1所示. 當(dāng)考慮一張Dp膜時, 這種開弦的無質(zhì)量態(tài)給出的就是 ( 1+p) 維下的U(1) 超對稱規(guī)范理論①如果是N 張重疊的Dp 膜, 對應(yīng)的無質(zhì)量態(tài)構(gòu)成 ( 1+p) 維的 U (N) 超對稱規(guī)范理論., 具有(p ?1)矢量自由度, ( 9?p) 標(biāo)量自由度, 總共給出8個玻色自由度, 另外還有8個無質(zhì)量費米自由度.如圖1所示, 開弦的兩個端點分別帶大小相等、方向相反的U(1)電荷, 因此開弦整體來說沒有凈余的電荷. 通常又稱這樣的開弦為電中性開弦. 第二類超弦理論中描述D膜的開弦都是這種電中性開弦.

每一張(或N張重疊的)這種Dp膜保持1/2時空超對稱, 稱為1/2 BPS態(tài), 因此本身是穩(wěn)定的, 類似穩(wěn)定真空態(tài). 如同量子電動力學(xué)(QED)真空中虛的正反電子對漲落, 該Dp膜本身也有量子漲落, 表現(xiàn)為所謂的虛的正反開弦對, 如圖2 所示(暫時忽略圖中膜上加的電場).

圖2 虛開弦對Fig. 2. Virtual open string pair.

在QED中, 如果對QED真空加一均勻電場,我們知道該電場有一定的幾率把虛的正反電子對拉成可觀察的實的正反電子對, 即著名的施溫格(Schwinger)對[18]. 這里自然會問, 如果在該Dp膜上加一個電場(該電場會作用在虛的正反開弦對的帶電的端點), 是否也有一定的幾率把虛的正反開弦對拉開成為實的正反開弦對？對單張Dp膜, 答案一般是否定的. 這是因為每一個開弦兩端帶的電荷大小相等但符號相反, 所加的電場至多只能把每一個開弦拉直, 但無法把該虛的正反開弦對分離.有一種例外就是如果所加的電場達(dá)到所謂的臨界值, 即由弦張力決定的電場, 這時該臨界電場可以把開弦拉斷, 由此可以產(chǎn)生正反開弦對.

通常實驗室可控的電磁場都不大(比如目前實驗室可實現(xiàn)的最大均勻電場約 1010V/m ), 這也是至今未能在實驗上觀察到施溫格對產(chǎn)生的主要原因(需要的電場 約 1018V/m ). 在可以預(yù)見的將來不可能在實驗室條件下實現(xiàn)弦理論臨界電場, 它的值比現(xiàn)有的實驗室可以實現(xiàn)的最大電場至少大20個數(shù)量級.

是否能在小于弦理論臨界電場的情況下仍然可以產(chǎn)生正反開弦對？在沒有取向的玻色弦或第一類(Type I)超弦理論中, 該問題在20世紀(jì)90年代初已由Bachas 和Porrati[19,20]作出了回答,答案是肯定的. 由于所涉及的開弦沒有取向, 開弦的兩個端點所帶的電荷不必大小相等、方向相反,因此沒有這里出現(xiàn)的問題. 但要把這種開弦對的產(chǎn)生與四維時空的觀察聯(lián)系起來, 必須要把26 維的玻色弦或10維的第一類超弦緊致到四維時空. 這與我們的出發(fā)點不一樣. 我們希望提供一種不需要緊致化時空來檢驗弦理論的手段. 這也是我們考慮具有取向的第二類超弦理論中D 膜的原因.作用(因此是經(jīng)典的)的等價性是所謂開弦/閉弦對偶的基礎(chǔ). 把這種對偶性應(yīng)用到p=3情形并考慮所謂的退耦極限就給出著名的AdS/CFT對應(yīng).

對上述兩張Dp膜系統(tǒng), 無論用開弦描述還是用閉弦描述, 兩者間的相互作用有兩部分貢獻(xiàn). 一部分來自所謂R-R分部(sector), 給出的是兩張

描述D 膜動力學(xué)的開弦所具有的電中性是其固有的特性, 無法改變. 要期待產(chǎn)生開弦對, 只能在開弦?guī)щ姷膬啥思由喜煌耐怆妶? 對同一張D 膜要做到這一點極其困難, 這要求在弦尺度上有大的電場梯度, 現(xiàn)實中這是不可能的. 一種比較可取且簡單的做法是考慮平行放置且有一定間距的兩張Dp膜. 這時的開弦漲落有三種可能. 其中的兩種是漲落的虛的正反開弦對的四個帶電端點分別落在第一張Dp膜或第二張Dp膜上. 但這兩種中的任一種與單張Dp膜一樣不可能給出開弦對的產(chǎn)生. 還有一種情況就是虛的開弦對其中的兩個端點落在一張Dp膜上, 另外兩個端點落在另一張Dp膜上. 在沒有加任何膜上電場的情況下, 這種開弦漲落描述的是兩膜間的開弦單圈環(huán)帶相互作用(annulus amplitude). 它可以看成一根虛的開弦, 一個端點落在第一張Dp膜上而第二個端點落在第二張Dp膜上, 繞時間方向轉(zhuǎn)了一個閉合時間圈. 由于弦理論具有共形對稱性, 這種開弦的真空單圈效應(yīng)等價于第一張Dp膜在某時刻發(fā)出一根虛的閉弦, 傳播一段時間, 然后被第二張Dp膜吸收(類似于用量子場論計算兩個電荷間的庫侖相互作用或兩個靜止質(zhì)量間的牛頓相互作用). 這種相互作用通常被稱為閉弦的樹圖柱面相互作用(cylinder amplitude), 可以由圖3 表示. 這種開弦單圈相互作用(因此是量子的)與閉弦的樹圖相互Dp膜帶同樣所謂R-R 電荷引起的排斥相互作用.另一部分來自所謂的NS-NS 分部(sector), 給出的是兩張Dp膜具有張力(因此有質(zhì)量)引起的相互吸引作用. 由于每一張膜都是1/2 BPS, 其質(zhì)量和RR 電荷在一定單位制下相同, 由此給出這兩張Dp膜間的兩部分相互作用大小相等但符號相反,因此總的相互作用為零. 換句話說, 平行放置有一定間距的兩張Dp膜間沒有相互作用, 因此與單張Dp膜一樣仍然是1/2 BPS.

圖3 閉弦樹圖相互作用與開弦單圈相互作用的等價性Fig. 3. The equivalence of a closed string tree-level cylinder amplitude and an open string one-loop annulus amplitude.

現(xiàn)在再回到原來的有關(guān)開弦對產(chǎn)生的問題. 上述提到的一根虛的開弦轉(zhuǎn)了一個閉合時間圈也可以看成一根虛的開弦和一根虛的反開弦在某時刻產(chǎn)生, 過了一段時間又相互湮滅, 見圖4. 如果在第一張Dp膜上加的電場不同于第二張Dp膜上加的電場, 不難看出這兩根虛的開弦端點所受的力會使它們分離, 因此存在一定的幾率產(chǎn)生正反開弦對.換句話說, 即使不做任何計算(后面會用計算證實這一點), 這種簡單的物理分析會告訴我們這樣的簡單系統(tǒng)一定會產(chǎn)生正反開弦對.

圖4 一根虛開弦轉(zhuǎn)一個閉合時間圈等價于虛正反開弦對的產(chǎn)生和湮滅Fig. 4. A virtual open string circulating a closed time loop can be viewed as a pair of virtual open stringand virtual anti open string creating and annihilating.

本文將探討這種開弦對的產(chǎn)生以及在什么情況下這種開弦對產(chǎn)生有增強效應(yīng). 我們最關(guān)心的是在何種情況下這種增強的開弦對產(chǎn)生可以在地球?qū)嶒炇医o予檢驗, 從而為檢驗弦理論提供一種全新的方法. 因分析這種開弦對的產(chǎn)生涉及到計算兩膜間的相互作用(注意當(dāng)膜上帶有不同的電磁場時,兩膜間的相互作用一般不為零). 為此, 將要討論如何計算帶有一般世界體常數(shù)電磁場、平行放置、具有一定橫向間距的一張Dp膜和另一張膜(不失一般性假設(shè)間的相互作用. 這里“橫向”的意思是指垂直于Dp膜的方向或?qū)p膜上的觀察者來說是額外維空間的方向.

2 D 膜邊界態(tài)及一般閉弦樹圖柱面振幅的計算

利用D膜的邊界態(tài)表示來討論計算前述兩張D 膜間的相互作用. 本節(jié)將參照文獻(xiàn)[14]對D 膜邊界態(tài)給一個簡單介紹. 有關(guān)D 膜邊界態(tài)較全面的介紹, 請參看文獻(xiàn)[16,17]. 如前所述, 描述一個D 膜有兩部分, 稱為NS-NS 分部(sector)和RR 分部(sector). 對于每一分部, 對D膜的邊界條件還有兩種選取的方式, 給出兩個邊界態(tài)|, 這里η=±. 然而, 只有下面的組合:

才分別是NS-NS 和R-R分部(sector)滿足所謂Gliozzi-Scherk-Olive(GSO)投影所選擇的邊界態(tài).對于一張Dp膜, 上述邊界態(tài)|可以表述為物質(zhì)部分和鬼部分貢獻(xiàn)的乘積, 具體為[16,17,21],

其中

如文獻(xiàn)[17,22]所指出, 上述Dp膜邊界態(tài)的算子結(jié)構(gòu)即使在帶有一般世界體常電磁通量情況下也是成立的, 對玻色物質(zhì)場Xμ, 有如下一般的形式:

而對R-R分部

鬼邊界態(tài)與膜上電磁通量無關(guān), 它們具有標(biāo)準(zhǔn)的形式, 這里將不列出其具體的形式, 可以參考文獻(xiàn)[21]. 膜上電磁通量的信息分別由上述M矩陣, 玻色零模|BX0和R-R分部的費米零膜|Bψ,η0R所刻畫[17,22?25]. 具體為

和

上面的約定為: 希臘指標(biāo)α,β,···標(biāo)記的是膜延展的時空方向0,1,··· ,p而拉丁指標(biāo)i,j,···代表的是垂直于膜的空間方向, 即p+1,··· ,9 .|代表R-R分部的真空態(tài).還定義了無量綱的電磁通量其中F是膜世界體上的通常常數(shù)電磁場.yi標(biāo)記Dp膜沿其橫向方向的位置,C是電荷共軛矩陣,U為如下矩陣:

其中符號;; 標(biāo)記上面指數(shù)展開的每一項中的10 維Γ矩陣指標(biāo)為反對稱化. 另外, 注意上面的η標(biāo)記正反號±或膜世界體閔氏平坦度規(guī), 這很容易從相關(guān)表達(dá)式的具體形式看出.

有上面的準(zhǔn)備, 就可以計算如前所述的一張Dp膜和一張Dp′膜間的閉弦樹圖柱面相互作用振幅, 具體為

其中D是閉弦傳播子

其中L0和分別是考慮超鬼、鬼和物質(zhì)場貢獻(xiàn)的左行和右行總的零模Virasoro 生存元. 比如這 里和分別為物質(zhì)場物質(zhì)場鬼b和c, 以及超鬼β和γ對應(yīng)的貢獻(xiàn), 它們的具體表達(dá)式可以在任何標(biāo)準(zhǔn)超弦理論的討論中找到, 比如參考文獻(xiàn)[16], 因此這里不再列出.

如前所述, 總的相互作用振幅有兩部分貢獻(xiàn),一部分來自所謂的NS-NS 分部, 另一部分來自RR 分部. 可將此表達(dá)為Γp,p′=ΓNSNS+ΓRR. 在計算ΓNSNS或ΓRR, 要記住應(yīng)該用(3)式給的GSO 投影邊界態(tài).

由前述邊界態(tài)的結(jié)構(gòu), 振幅Γ(η′η) 可有如下的因子化

這里有

上面的鬼矩陣元Abc和超鬼矩陣元AβΓ(η′η) 與所涉及的D 膜維度以及所帶電磁通量無關(guān), 可以分別直接計算得到

和NS-NS 分部的

以及R-R 分部的

有了上述準(zhǔn)備, 對所考慮的系統(tǒng)可以開始計算相應(yīng)閉弦樹圖柱面振幅. 接下來, 將先計算p=p′情形下的閉弦樹圖柱面振幅. 我們將看到, 這一計算也為計算p?=p′情形下的相應(yīng)振幅奠定了基礎(chǔ).這里的討論主要基于文獻(xiàn)[11,14]給出的一般步驟.一旦獲得閉弦樹圖柱面振幅, 相應(yīng)的開弦單圈環(huán)帶(annulus)振幅可由該閉弦振幅通過一個雅可比變換得到. 將在接下來的兩節(jié)討論這些.

3 相互作用振幅及其特性: p =p′ 情形

由前節(jié)討論不難知道閉弦樹圖柱面振幅的計算主要是計算(17)式中物質(zhì)場矩陣元AX和Aψ.為此, 我們希望指出(9)式矩陣M的如下特性

可以用來極大簡化這一計算, 其中T標(biāo)記矩陣的轉(zhuǎn)置. 對于平行放置且有一定間距y的兩個Dp膜,其中一個膜帶一般電磁通量而另一個帶, 在文獻(xiàn)[11]中已經(jīng)計算了

NS-NS 分部的

及R-R 分部的

其中矩陣M或M′由(9)式給出, 對應(yīng)的電磁通量分別為或, I 代表單位矩陣. 矩陣w(1+p)×(1+p)可用矩陣s和s′表述為

這里

s′與s的表達(dá)式一樣, 就是把通量換為注意s中的兩個矩陣因子 ( I) 和 ( I+)?1是可以交換的,s′也類似. 這里“ I ”代表 ( 1+p)×(1+p) 單位矩陣. 矩陣s滿足關(guān)系矩陣s′和矩陣w也滿足類似的關(guān)系. 由此, 有

矩陣W來源于矩陣元(22)式或(23)式或(24)式的計算中通過對相關(guān)振動模式, 比如的重新定義獲得. 這種重新定義振動模式以及W矩陣所滿足的關(guān)系(28)式可以用來極大地簡化相應(yīng)矩陣元的計算. 下面將用一個具體例子來演示如何得到矩陣W. 為得到(22)式的需要計算下列n>0的矩陣元,

這里|0標(biāo)記相應(yīng)的真空態(tài). 僅僅從簡化上述等式右邊矩陣元計算的角度, 基于是一實矩陣, 可以定義因同樣滿足(21)式, 因此仍然有對易關(guān)系(這里n, m可正、可負(fù)). 真空態(tài)|0仍然為真空. 由上述的定義并利用矩陣M′的性質(zhì)(21)式, 也有對n>0 , 把和分別用上面定義對應(yīng)的和取代并代入(29)式的右邊, 有

這里W正好是(25)式給出的矩陣. 在(30)式中已拿掉上一撇的記號“′”. 文獻(xiàn)[14]的第3 節(jié)及附錄A 中仔細(xì)地討論了矩陣W的對角化及其本征值的性質(zhì), 有興趣的讀者請參考此文獻(xiàn). 下面將簡單地總結(jié)一下結(jié)論. 對角化后, 矩陣元(30)式成為

該矩陣元的計算與沒有電磁通量時的計算沒有本質(zhì)差別, 因此得以極大地簡化. 這里10個本征值λρ中有 ( 9?p)個 為1, 另外 ( 1+p)個對應(yīng)(26)式中定義的w(1+p)×(1+p)矩陣的本征值, 且具有如下特性: 對每一個本征值λ, 它的倒數(shù)λ?1也是本征值.換句話說, 該 ( 1+p)個本征值是成對出現(xiàn)的. 當(dāng)p為偶數(shù)時, 其中必有一個本征值為1. 為討論方便,下面將按下列方式標(biāo)記成對出現(xiàn)的本征值, 即記為λα和其中α=0,1···[(p ?1)/2] 且當(dāng)p為偶數(shù)時, 取最后一個本征值λ=1 . 這里 [ (p ?1)/2] 標(biāo)記(p ?1)/2 的整數(shù)部分. 比如p=6時, 它給出整數(shù)2.

對于p6時, 至多需要三個方程來確定相應(yīng)的本征值這里α=0,1,··· ,[(p ?1)/2] ,且當(dāng)p為偶數(shù)時還要加上一個本征值λ=1 . 具體的情況列在表1 中.

我們希望指出的是: 實際計算振幅時, 表1中本征值所滿足的方程就足夠了, 并不需要具體求解相應(yīng)的本征值. 下面舉一個具體例子來給予說明.為此, 考慮p=3 情形. 比如, (22)式中的如下乘積可用trw,(trw)2和t rw2來表示

換句話說, 矩陣元可以直接用電磁通量通過矩陣w來表示.

有了上面的準(zhǔn)備, 可以給出前節(jié)中的NSNS 或R-R 分部振幅(16)式的具體緊湊表達(dá)式.對NS-NS分部, 利用bc鬼矩陣元(18)式,βγ鬼矩陣元(19)式, 物質(zhì)場Xμ矩陣元(22)式以及物質(zhì)場ψμ矩陣元(23)式, 對應(yīng)的NSNS 振幅為

表1 對于p6 , 決定相應(yīng)本征值所需要的方程Table 1. The equations needed to determine the corresponding eigenvalues for p 6 .

表1 對于p6 , 決定相應(yīng)本征值所需要的方程Table 1. The equations needed to determine the corresponding eigenvalues for p 6 .

p 本征值滿足的關(guān)系0 λ=11 λ0+λ?0 1=trw 2 λ0+λ?0 1=trw ?1 λ=1,∑1∑13(λα+λ?α 1)=trw,(λ2α+λ?α 2)=trw2 α=0 α=0∑1∑14(λα+λ?α 1)=trw ?1,(λ2α+λ?α 2)=trw2 ?1, λ=1 α=0 α=0∑2∑2∑25(λα+λ?α 1)=trw,(λ2α+λ?α 2)=trw2,(λ3α+λ?α 3)=trw3 α=0 α=0 α=0∑2∑2∑26(λα+λ?α 1)=trw ?1,(λ2α+λ?α 2)=trw2 ?1,(λ3α+λ?α 3)=trw3 ?1,λ=1 α=0 α=0 α=0

類似地, 對R-R 分部, 利用相應(yīng)的矩陣元(18)式, (20)式, (22)式和(24)式, 有

在獲得上述振幅的過程中, 利用了如下的一些關(guān)系

這里利用了緊接著(5)式后面給出的cp的顯式以及前面給的|z|=e?πt. 上面R-R 振幅中的零模貢獻(xiàn)

由(33)式和(34)式, 并利用(15)式, 得到如下GSO投影的NSNS 振幅:

以及GSO 投影的RR 振幅:

其中

在獲得(39)式時, 利用了零模(37)式只有當(dāng)ηη′=+時才不為0的特性.

進(jìn)一步, 為方便后面的討論, 將本征值重新表述為λα=e2πiνα, 其中α=0,···[(p ?1)/2] . 對每一個να, 它的取值要么是實的, 要么是純虛的. 對于前者, 考慮到RR 振幅中零模的貢獻(xiàn)(具體見文獻(xiàn)[14]中附錄B 的討論), 有να ∈[0,1) . 對于后面這種情形, 可以證明(見文獻(xiàn)[14]附錄A)在所有的να中, 最多只有一個可以取虛值. 通常取因λ+λ?1=只需取中最多只有一個可以取虛值主要源于矩陣w((26)式)是一個一般洛倫茲變換, 而計算的相互作用振幅是一個洛倫茲不變量. 當(dāng)所加的電場一般不能通過一個洛倫茲變換消除時, 就有這樣一個虛的ν出現(xiàn).

有了上面的準(zhǔn)備, 現(xiàn)在可以用θ函數(shù)和Dedekindη函數(shù)(這些函數(shù)的定義請參考文獻(xiàn), 比如文獻(xiàn)[27])來簡潔地表達(dá)NSNS 振幅:

類似地, 對RR 振幅((39)式), 也有

其中零模貢獻(xiàn), 由文獻(xiàn)[14]附錄B 得

盡管看上去不是很明確, 上面振幅表達(dá)式方括號中的三項每一項都是四個同類型θ函數(shù)的乘積. 為方便和明確起見, 在表2 中列出了每一種情況.

表2 振幅表達(dá)式((44)式)方括號中 θ 項及其簡化Table 2. The θ -terms in the square bracket in Eq. (44) and their simplification.

在表2 中, 還利用了文獻(xiàn)[28]中有關(guān)θ函數(shù)的如下恒等式

其中w′,x′,y′和z′與w,x,y,z有如下的關(guān)系:

特別地,θ1(0|τ)=0 . 由表2, 可以觀測到p=4 或 3 ,p=2 或 1 及p=0 情形可以通過p=6 或5情形分別取ν2=0 ,ν2=ν1=0 以及ν2=ν1=ν0=0 或它們相應(yīng)的極限獲得. 只要取相應(yīng)的極限, 這一特性使得對應(yīng)的p=p′ <5 的振幅((44)式)可以看成p=p′=6 或 5時的振幅在如下表達(dá)式意義下的一種特例:

其中

從(47)式中的第一個等式, 通過積分變量t的雅可比變換t→t′=1/t, 可以獲得相應(yīng)的開弦單圈環(huán)帶(annulus)振幅為

在獲得(51)式第一個等式時, 利用了θ1函數(shù)和Dedekindη函數(shù)的如下特性:

而在(51)式第二個等式中, 已經(jīng)去掉t上的一撇. 在有電場出現(xiàn)時, 考慮其中一個να, 比如ν0是虛的情況.為此, 取其中對這種情況, 開弦單圈環(huán)帶(annulus)振幅(51)式的第二式可寫為

這里的Zn仍由(52)式給出, 只是現(xiàn)在考察振幅(56)式中的被積函數(shù), 注意到其分母中有一個因子它在正t軸上(注意積分變量t>0 )有無窮多零點, 發(fā)生在這里k=1,2,···. 這些零點是該被積函數(shù)的單極點, 恰好反映前面討論的在加電場時系統(tǒng)的不穩(wěn)定性, 即系統(tǒng)在這些極點處產(chǎn)生正反開弦對, 釋放由所加電場造成的多余能量使其衰變成能量更低的穩(wěn)定狀態(tài). 由文獻(xiàn)[19], 該系統(tǒng)單位體積非微擾衰變率是該被積函數(shù)在這些極點處留數(shù)的和并乘以 π , 結(jié)果為

其中

下面將討論相互作用振幅(47)式或(51)式及正反開弦對產(chǎn)生率(59)式的一般特性. 對每一具體p的相互作用一般特性(排斥還是吸引)的討論,可參考文獻(xiàn)[14]. 這里將主要相關(guān)結(jié)論總結(jié)一下.采用的約定為: 振幅大于零對應(yīng)吸引相互作用, 而振幅為負(fù)對應(yīng)排斥相互作用. 研究[14]發(fā)現(xiàn): 1)當(dāng)三個參數(shù)ν0,ν1,ν2至少有一個為零或其中有一個為虛數(shù)時, 對應(yīng)的相互作用為吸引; 2)僅當(dāng)這三參數(shù)都為實且都不為零時, 排斥相互作用才有可能, 即僅當(dāng)p=6時才有可能. 具體分兩種子情形來討論: a)ν0+ν1+ν2<2 , 這 里να ∈[0,1) ,α=0,1,2. 當(dāng)這三個參數(shù)中最大的一個小于另外兩個之和時, 對應(yīng)的相互作用為排斥; 反之, 相互作用則為吸引. b)ν0+ν1+ν2>2 . 不難驗證, 給定να ∈[0,1) , 三個參數(shù)中最大的只能小于另外兩個之和, 這時對應(yīng)的相互作用為吸引. 換句話說,這種情況下相互作用只能是吸引的. 另外一種特殊情況是ν0+ν1+ν2=2 , 對應(yīng)的相互作用為零.

下面解釋為何閉弦柱面振幅(47)式, 只要取前面提到的ν2=0 或ν2=ν1=0 或ν2=ν1=ν0=0 就可以得到p=p′ <5 各種情形下對應(yīng)的振幅.在利用D 膜邊界態(tài)計算平行放置且有一定間距的兩張同維度或不同維度的D 膜間柱面振幅時, 對應(yīng)每一個D 膜世界體的維度信息僅體現(xiàn)在它的M矩陣(9)式, 玻色零模(10)式以及物質(zhì)場RR 分部費米零模(11)式中. 其他的都與這一維度無關(guān). 首先來仔細(xì)考察該M矩陣. 為方便起見, 將其在這里重寫一下,

其中α,β標(biāo)記沿膜的方向而i,j標(biāo)記垂直該膜的方向. 比如, 作為一個例子, 先考慮D6 膜. 這里有α,β=0,1,···6 及i,j=7,8,9 . 對其他的偶數(shù)p<6的Dp膜, 有沿膜方向α′,β′=0,1,···p, 垂直膜方向i′,j′=p+1,···9?p. 對應(yīng)一般世界體電磁通量的Mp矩陣可以看成為D6 膜M6矩陣的一種特殊情形. 對偶數(shù)p<6 的Dp膜, 有

現(xiàn)將α′,β′=0,1,··· ,p擴(kuò)展到α,β=0,1,···6以及Fp到F6并將之取如下特別的形式,

基于這種特殊選擇, 當(dāng)對所有k=1,··· ,(6?p)/2對應(yīng)磁通量取極限該M6矩陣正好給出Mp矩陣. 下面來具體看看細(xì)節(jié). 對于所取特殊通量(62)式, 有

對所有k=1,··· ,(6?p)/2 取極限gk →∞, 上面的(M6)αβ=((Mp)α′β′,?δk′l′) , 其中k′,l′=p+1,···6 .這樣就有M6=((Mp)α′β′,?δi′j′)=Mp. 換句話說,Mp實際上可看成為D6世界體通量取上述特殊情況下M6的一種特殊形式而已. 同樣的討論也適合從p=5 得到奇p<5 的情形.

同樣的結(jié)論也適合R-R 零模對振幅的貢獻(xiàn)(43)式. 相關(guān)的具體討論及細(xì)節(jié)請參考文獻(xiàn)[14]中的附錄B. 這兩方面的考慮解釋了振幅(47)式中被積函數(shù)中的如下部分:一般來說, (64)式對p=p′=5 或6適用. 但只要對應(yīng)的通量取如(62)式的特殊形式并取相應(yīng)的極限,(64)式就會約化為p=p′ <5 情形下期待的表達(dá)式. 然而, 玻色零模(10)式的情況卻不一樣. 除整體因子外, 該零模的其他部分與所加通量無關(guān), 因此上述對M矩陣和R-R 零模的技巧在這里不適用. 正是如此, 該零模對振幅的貢獻(xiàn)正好給出了被積函數(shù)的如下因子

其中VNN=Vp+1標(biāo)記Dp膜的世界體的體積(NN 代表開弦的兩個端點同時滿足所謂紐曼邊界條件涉及世界體時空方向的個數(shù)), DD 代表開弦的兩個端點同時滿足狄里克萊邊界條件空間方向的個數(shù). 這里有DD = 9?p. 很顯然,p=p′ <5時振幅(47)式中的被積函數(shù)因子t?(9?p)/2是不可能通過取特殊通量及取相關(guān)極限從p=p′=5 或 6 獲得的. 由此解釋了柱面振幅(47)式為何對p=p′ <5情形也適用.

下面來討論開弦對產(chǎn)生率的可能增強效應(yīng), 目的是探討這種對產(chǎn)生在實驗室探測的可能性. 已有的一系列研究表明[8,10,11,13,14](后面將以p=3 情況為例從物理角度給予解釋), 給出最大增強效應(yīng)的電磁場具有如下形式:

這里電磁場張量矩陣為 ( 1+p)×(1+p) 的方陣. 不難看出, 這一形式的電磁場要求對這種形式的電磁場, 開弦對產(chǎn)生率(59)式的具體表達(dá)式為

一般來說, 我們只能對我們所生活的膜加電磁場, 對另外一張膜無法控制. 為簡單起見, 下面將另外一張膜上的電磁場設(shè)為零, 比如取另外, 目前實驗室能實現(xiàn)的直流電場和磁場相對弦尺度來說都非常小eE ≈這里me為電子的質(zhì)量(比如①我們沒有找到實驗室目前能實現(xiàn)直流電場極限的相關(guān)文獻(xiàn). 這里引用的是趙政國教授提供給我們的相關(guān)信息. 在此對他表示感謝.對磁場, 見參考文獻(xiàn)[29]). 通常在QED 中, 探測施溫格對需要的電場為對應(yīng)前面給出的E ≈1018V/m.如果取實驗允許的最低弦標(biāo)度約幾個TeV[30],有由(69)式 ,有因 此基于此,反映在這種情況下只有開弦最低模式對產(chǎn)生率有貢獻(xiàn). 對此,無量綱的開弦對產(chǎn)生率為

對p=3 , 開弦對產(chǎn)生率(70) 式可以用實驗室下的電場E和磁場B重新寫為

從D3膜觀察者的角度來說, 開弦端點表現(xiàn)為帶電粒子,m就是該粒子的質(zhì)量. 下面從弦理論角度來理解上述產(chǎn)生率. 在沒有電磁場時, 連接兩張D3 膜開弦的質(zhì)量譜為

這里p=(k,0) ,k為沿世界體方向的時空動量,NR和NNS分別為R 分部和NS分部的粒子數(shù)算子, 它們的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為:

先將產(chǎn)生率(71) 式與QED 相關(guān)的對產(chǎn)生率分別做一比較. 在電場和磁場同時出現(xiàn)時, 帶電QED 標(biāo)量對和QED 旋量對產(chǎn)生率分別為[31,32]:

而帶電矢量玻色子(比如W-玻色子)對產(chǎn)生率為[33]

以上式子中, 質(zhì)量的下標(biāo)代表的是該粒子的自旋即ms. 在沒有磁場時(B=0 ), 如果取所有的質(zhì)量相等為m, 不難檢驗有

上述結(jié)果表明, 如果所有自由度具有同樣的質(zhì)量(所帶電荷絕對值都為e), 在沒有磁場時每一個自由度正反荷對的產(chǎn)生率是一樣的. 這一結(jié)論可以從Wscalar=Wspinor/2=Wvector/3關(guān)系得出, 因一個標(biāo)量具有一個物理自由度, 一個旋量有兩個物理自由度, 而一個有質(zhì)量的矢量有三個物理自由度. 同時這也解釋了上面得到的W(1)與其他產(chǎn)生率的關(guān)系(78) 式. 再考慮另外一種情況, 即當(dāng)B/E很大時(對給定的E, 這意味著大磁場或有限的B但E ≈0). 這時有:

考察上面這些產(chǎn)生率, 首先發(fā)現(xiàn)它們的非指數(shù)因子完全與標(biāo)量對的一樣, 反映這種情況下對產(chǎn)生率的貢獻(xiàn)只有一個自由度對. 對指數(shù)因子, 所加磁場對標(biāo)量、旋量和矢量情形下的影響各不一樣, 但這里的W(1)與矢量情況完全一致. 下面將對這些差別和相同之處給出解釋. 為此, 考慮一個質(zhì)量為ms,自旋為S帶正電e的粒子放入弱磁場B背景中的運動, 其能譜為(見參考文獻(xiàn)[34])

其中g(shù)S(gyromagnetic ratio)為回旋磁比(這里gS=2 ),N為朗道能級. 對最低朗道能級(N=0 ),由(80) 式有最低的能量為

它們分別對應(yīng)B·S=0, B/2, B. 換句話說, 當(dāng)S ?=0時, 自旋沿著磁場方向的極化分量或自由度給出的是最低能量(對帶負(fù)電荷的粒子對應(yīng)自旋極化正好相反). 對自旋S=0 的標(biāo)量, 加上磁場后,其原有的能級提升, 源于該粒子在加磁場后零點運動的貢獻(xiàn); 對自旋S=1/2 的費米子, 自旋與磁場同方向極化的能級與磁場無關(guān), 仍由其靜止質(zhì)量決定, 但其與磁場相反方向的極化對應(yīng)的能量為對自旋S=1 , 自旋與磁場同方向的極化降低其原有能級, 而對于另外兩個極化B·S=0,?B, 對應(yīng)的能級都比原有的提高. 由于這里沒有考慮加電場, 因此可視為B/E →∞. 在這種情況下, 自旋S=1/2 的兩個極化對相應(yīng)的正反自由度對的產(chǎn)生來說, 它們的對產(chǎn)生率之比為e?2eB/E →0. 換句話來說, 任何相對最低能量態(tài)高的能量態(tài)對產(chǎn)生率都可以視為零. 也就是說, 最多只需要考慮最低能量極化的對產(chǎn)生率. 這一結(jié)論同樣適用自旋S=1 情況. 總結(jié)一下, 當(dāng)B/E很大時,對每一給定自旋, 只有自旋沿磁場方向這一極化對對產(chǎn)生率有貢獻(xiàn), 對應(yīng)的能量由(81) 式?jīng)Q定. 也就是說, 貢獻(xiàn)給對產(chǎn)生的只有一個自由度. 這解釋了為何(79) 式中各種自旋對產(chǎn)生率非指數(shù)因子完全一樣, 這同時也解釋了(79) 式中各種自旋對產(chǎn)生率中指數(shù)因子對磁場的關(guān)系. 當(dāng)B/E很大時, 不同自旋的對產(chǎn)生率可以統(tǒng)一表述為

其中ES對不同自旋對應(yīng)(81) 式中相關(guān)量. 上面的討論同時說明, 如果不同自旋的帶電粒子具有同樣的質(zhì)量, 當(dāng)B/E很大時, 最低能量的矢量極化對產(chǎn)生率將遠(yuǎn)大于標(biāo)量和旋量對產(chǎn)生率. 產(chǎn)生矢量粒子對將是最可能的. 這也解釋了為何在B/E大時,W(1)與矢量對產(chǎn)生率一致.

從前面的討論知道, 對產(chǎn)生率(71) 式實際上是5個帶電標(biāo)量對, 4個帶電旋量對以及1個帶電矢量對的貢獻(xiàn), 這些自由度都具有同樣的質(zhì)量. 由此, 當(dāng)取所有自由度具有同樣質(zhì)量m時, 我們期待有下列關(guān)系

可以利用弦理論計算結(jié)果(71) 式和場論計算結(jié)果(75) 式—(77) 式對(83) 式給予直接檢驗, 發(fā)現(xiàn)的確正確. 注意(83) 式左邊是弦理論計算結(jié)果而右邊是場論計算結(jié)果, 計算方式完全不同, 但物理上的考慮它們應(yīng)該一致. 這里驗證了的確如此,這也從另一個角度說明了計算的正確性, 理論上驗證了弦理論的自洽性.

在結(jié)束本節(jié)前, 探討產(chǎn)生率(71) 式是否有觀測效應(yīng). 由于該系統(tǒng)在加電場和磁場前是超對稱的, 歐洲核子中心大型強子對撞機目前沒有發(fā)現(xiàn)超對稱, 因此該公式中的質(zhì)量參數(shù)m應(yīng)該不小于TeV. 而實驗室的電場和磁場eE ≈eB ≈10?8m2e遠(yuǎn)小于TeV, 因此在這種實驗室條件下不可能探測到開弦端點給出的正反電荷對.

因此, 要尋求探測開弦對產(chǎn)生的可能性, 需要考慮沒有加電磁場下的非超對稱膜系統(tǒng). 如果這樣的系統(tǒng)可以有一個有效標(biāo)度與實驗室可以實現(xiàn)的電場的標(biāo)度可比擬, 探測對應(yīng)的對產(chǎn)生就成為可能. 將在下一節(jié)中探討這種可能性.

4 相互作用振幅及其特性: p ?=p′ 情形

本節(jié)將首先計算兩個平行放置、有一定間距y、空間維度不一樣的Dp膜和 Dp′膜間的相互作用, 其中每一個都帶其膜上的一般常電磁通量. 不失一般性, 可以假設(shè)p>p′. 有p ?p′=κ=2,4,6且p6 . 本節(jié)將推廣上節(jié)使用的計算技巧從而可以利用前節(jié)p=p′計算的柱面(cylinder)振幅獲得本節(jié)p?=p′對應(yīng)的振幅. 一旦獲得了該柱面振幅,同樣可以用一個雅可比變換得到相應(yīng)的開弦單圈環(huán)帶(annulus)振幅, 討論相關(guān)振幅的特性并在有電場出現(xiàn)的情況下討論對應(yīng)的開弦對產(chǎn)生及探測的可能性.

上述提到的計算技巧應(yīng)用到這里就是把 Dp′膜上的一般通量按上節(jié)中把一個Dp膜(p<5 )上的通量擴(kuò)展到D5 或D6 膜上通量的類似方式,擴(kuò)展到Dp膜上的通量換句話說, 首先把Dp′膜上的通量做如下擴(kuò)展:

其 中α,β=0,1,··· ,p;α′,β′=0,1,···p′及κ=2,4,6 . 與上節(jié)(p=p′)的情況一樣, 在計算的最后只要對每一個k=1,··· ,κ/2 對應(yīng)的磁通取極限這樣的擴(kuò)展就不會改變由(9)式給出當(dāng)前情況下對應(yīng)的矩陣以及物質(zhì)場RR 分部零模對振幅的貢獻(xiàn). 進(jìn)一步, 對物質(zhì)玻色場零模做同樣的考慮時, 與前一節(jié)不一樣, 這里得到了意外的結(jié)果. 下面來對此給予具體的解釋. 按常規(guī), 如同(65)式一樣, 這里物質(zhì)玻色場零模對振幅的貢獻(xiàn)為

對目前的情形, 有VNN=Vp′+1和 DD=9?p. 如果采用前面提到的技巧, 則有

比較這兩者, 可以注意到一個好的特點, 即兩者對t的依賴關(guān)系完全一樣. 它們的差別發(fā)生在對t無關(guān)的部分. 由(84)式 , 當(dāng)對每一個k=1,··· ,κ/2對應(yīng)的磁通量取極限有由此有

其中p?p′=κ且耦合前面的系數(shù)標(biāo)記著 Dp′膜以其張力為單位的量子化荷N. 換句話說, 有

即

由此, (86) 式可表述為

在上面(93)式的第一個等式中Γp,p是用擴(kuò)展的通量((84) 式)得到的柱面振幅(47)式 , 在第二個等式中用了Vp+1=Vp′+1Vκ以及(92)式,在第三個等式中用了表達(dá)式以及Cn繼續(xù)由(48)式給出. 另外, 在上面取了必要的極限(k=1,···κ/2 ), 前節(jié)中有關(guān)να的討論同樣適用這里. 顯然上面的柱面振幅的基本結(jié)構(gòu)與前節(jié)討論的p=p′情形一致. 由此我們期待同樣的振幅特性, 比如相互作用的本質(zhì)(吸引還是排斥)以及可能的不穩(wěn)定性. 相關(guān)的討論見文獻(xiàn)[14]且結(jié)論與前節(jié)p=p′時一致, 這里不再重復(fù). 對這里考慮的系統(tǒng), 我們也期待一些新的特點出現(xiàn), 將在本節(jié)的后面給予討論.

有了閉弦樹圖柱面振幅(94) 式, 對應(yīng)的開弦單圈環(huán)帶振幅可從該式第一個等式通過一個標(biāo)準(zhǔn)的雅可比變換得到(具體見前節(jié)). 該開弦單圈環(huán)帶振幅為

這里Zn繼續(xù)由(52) 式給出. 該開弦單圈環(huán)帶振幅可以用來分析小y時的行為, 比如快子不穩(wěn)定性以及當(dāng)ν0為虛數(shù)的時候該系統(tǒng)通過產(chǎn)生開弦對衰變的情況. 下面就這兩方面進(jìn)行討論.

這里驗證當(dāng)ν0,ν1和ν2都為實且ν0+ν1+ν2<2時, 如果這三個磁參數(shù)最大的大于另外兩個之和, 對應(yīng)的相互作用為吸引. 這時當(dāng)膜間間距小于一定值時就會出現(xiàn)快子不穩(wěn)定性. 當(dāng)ν0+ν1+ν2>2時, 盡管這時最大的參數(shù)只能小于兩個之和且相互作用只能是吸引, 同樣也有快子不穩(wěn)定性出現(xiàn). 由于振幅(95) 式對ν0,ν1,ν2是對稱的, 不失一般性, 可以假定我們知道να ∈[0,1) (α=0,1,2 ). 首先考慮ν0+ν1+ν2<2和ν2>ν0+ν1. 這時振幅的被積函數(shù)對t→∞表現(xiàn)為

這里

對這種情形, 取D3 和D1 膜上的通量分別為:

對上述通量, 由(94)式第二等式得到(ν2=0 )閉弦柱面振幅為

其中|z|=e?πt, 參數(shù)和ν1由下面相應(yīng)的公式 確定

這里

我們希望指出, 這里的衰變率以及對產(chǎn)生率對應(yīng)一般表達(dá)式(97)式和(99)式取p=3,p′=1,ν2=0以及通量為(97)式的特殊情形.

有了上面的開弦對產(chǎn)生率, 下面來討論實驗上探測這種開弦對產(chǎn)生的可能性. 假設(shè)這里的D3膜就是人們生活的(1 + 3)維時空. 對這樣的D3/D1系統(tǒng), 只能控制D3 膜上(實驗室)的電場和磁場, 對D1 上的電場無法控制. 為簡單起見, 設(shè)定相對弦尺度, D3 膜上實驗室電場和磁場都很小, 即和由此, 從(102) 式有和ν1?1/2 . 注意 到以及開弦對產(chǎn)生率(106) 式成為

在討論產(chǎn)生率(107) 式的用處之前, 先來確定該產(chǎn)生率起源于哪些開弦模式. 為方便這里的討論, 采用本節(jié)開始用的技巧, 即把這里的D1 有效地看成帶一個沿2和3方向無窮大的磁通的D3 膜. 該磁通的具體形式如下:

這里p=(k,0) , 其中k是沿膜方向上的動量,NR和NNS分別是標(biāo)準(zhǔn)的R分部和NS 分部的粒子數(shù)算子, 它們的具體形式分別為:

當(dāng)y=0 , 每一個這種連接兩張D3 膜的超對稱開弦, 除有無窮多的質(zhì)量不為零的模式外, 還擁有16個無質(zhì)量模式, 其中8個為玻色自由度( 8B),8個為費米自由度( 8F). 如果用D3 膜來描述這16個無質(zhì)量自由度, 它們對應(yīng)D= 4,N= 4 超對稱U(2)規(guī)范理論中一個U(2)生存元. 當(dāng)y?=0 ,該生存元將破缺, 對應(yīng)的無質(zhì)量 8B(1個無質(zhì)量的矢量, 6個標(biāo)量)將獲得質(zhì)量, 成為1個有質(zhì)量的矢量, 5個有質(zhì)量的標(biāo)量(其中的一個無質(zhì)量標(biāo)量獲得真空期望值, 給出y?=0 ). 8個無質(zhì)量 8F將成為4個4 維有質(zhì)量Majorana 費米子. 當(dāng)y=0→y ?=0,U(2)→U(1)×U(1) , 其中有兩個生存元破缺, 對應(yīng)的是兩根開弦(正反開弦對)的無質(zhì)量模式獲得質(zhì)量, 沒有破缺的兩個U(1), 一個對應(yīng)的是人們生活的D3, 另一個對應(yīng)的是等效的D3. 從D3 膜上看, 一根開弦的16個( 8B+8F)有質(zhì)量自由度每一個帶有對應(yīng)的沒有破缺的U(1)正電荷,另一根的16個( 8B+8F)自由度的每一個帶負(fù)電荷, 構(gòu)成了16對正反粒子對, 其中1個矢量正反粒子對, 5個標(biāo)量正反粒子對, 4個Majorana 正反旋量粒子對. 所有的這32個自由度都具有同樣的質(zhì) 量m=Tfy=y/(2πα′) , 對 應(yīng) (110)式 中NR=0, NNS=1/2. 所有這些自由度具有同樣的質(zhì)量源于規(guī)范對稱破缺前后超對稱沒有變化.

這里磁參數(shù)ν1由(109)式給定, 朗道能級沿23-向的自旋算子為

以及NS 分部沒有磁場的質(zhì)量譜為

現(xiàn)在

對自旋S=1 的態(tài)給出的質(zhì)量為零, 而y?=0 給出的質(zhì)量為非零. 后者也對應(yīng)上面提到的規(guī)范對稱性破缺U(2)→U(1)×U(1) , 其中矢量玻色子的質(zhì)量m=y/(2πα′) .

由(117)式和(118)式不難看出, 自旋S=1的態(tài)具有最低能量, 為

其中ν1/2 通常稱為快子移動(tachyonic shift). 不難考察, 該最低能量就是接著開弦產(chǎn)生率(107)式后定義的有效質(zhì)量meff. 這也暗示開弦對產(chǎn)生率(107)式來源于一對具有上述能量的正反矢量極化模式. 其他模式以及其他自旋的各種極化模式對的貢獻(xiàn)在和的情況下都趨于零. 下面來解釋為何

與前節(jié)有關(guān)D3/D3 系統(tǒng)的討論不同[13], 即使對系統(tǒng)D3/D1 中的D3 膜上不加任何磁場, 也有一個固有的ν1=1/2 . 這里的D1, 如上面的討論,等效地可看成一個帶無窮大磁通的D3. 正是如此,有因此在 2 (8F+8B) 中, 僅有一對具有相同最低能量或有效質(zhì)量的正反矢量極化對產(chǎn)生率有貢獻(xiàn), 給出產(chǎn)生率(107)式.

考慮探測這種對產(chǎn)生, 在生活的D3 膜上的實驗室加共線的電場和磁場(100). 通常實驗室的電場和磁場相對弦尺度(至少具有TeV 量級, 見文獻(xiàn)[32]以及文獻(xiàn)[13]中的討論)都很小, 因此一般有以及從 (102)式有ν1?1/2 (因?qū)τ谶@種實驗室所加的電場和磁場, 這里把前節(jié)中D3/D3 系統(tǒng)的開弦對產(chǎn)生率(71)式, QED 有質(zhì)量帶電矢量場對產(chǎn)生率(77)式[33]和這里計算的D3/D1 系統(tǒng)的產(chǎn)生率(107)式列在下面來做一個對比,

其中假定所有的模式都有相同的質(zhì)量m. 由前節(jié)的討論知,W(1)是D=4 ,N=4 有質(zhì)量超對稱規(guī)范理論的對產(chǎn)生率, 包括5個帶電標(biāo)量對, 4個帶電旋量對和1個帶電矢量對的貢獻(xiàn), 而QED 計算的Wvector僅包括1個矢量對的貢獻(xiàn). 所以這兩者的差異可以理解, 由(83)得以反映. 盡管W(1)是從弦理論計算得到的, 但在極限下, 它與 D =4 ,N=4有質(zhì)量帶電規(guī)范理論的計算結(jié)果應(yīng)該一樣.但有所不同. 從本節(jié)上面的討論知, 對其貢獻(xiàn)的只有一對具有最低能量的正反矢量模式, 而不是矢量場的三對模式. 由前節(jié)的討論知道, 如果B/E ?1, 也只有一對最低能量的矢量模式對W(1)和Wvector有貢獻(xiàn), 且

由上面的討論可知, 如果我們生活的世界可以看成為一張D3 膜且其附近(沿其垂直方向)有一張D1 膜, 就有可能探測到這種開弦對. 從D3 膜上的觀測者來說, 實際探測的是正反粒子對即正反開弦對在D3 膜上的兩個帶正反荷的端點, 比如由此給出的電流. 要探測到這種對, 要求該D3 與D1 間的間距一方面這種要求使得D3 膜上任何實驗室宏觀區(qū)域上的均勻電場和磁場都可以看成計算中使用的均勻電場和磁場(因這樣的宏觀尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于膜間距y), 但另一方面這一要求對實現(xiàn)這樣要求的D3/D1 系統(tǒng)提出了挑戰(zhàn). 在快子凝聚發(fā)生前y>y0, D3和D1間的相互作用一般是吸引的, 這從(101)式或(103)式不難看出. 這一吸引力總可以使比較大的y能夠達(dá)到y(tǒng)?y0. 我們期待在量子引力起主導(dǎo)作用期間, 比如宇宙極早期, D3 和D1都會充滿10維時空. 在宇宙演化到今天(物質(zhì)為主以后),D3和D1間的吸引可能早已讓y達(dá)到y(tǒng)0, 并經(jīng)歷了快子凝聚, 形成了所謂1/2 BPS (D1, D3)束縛態(tài). 換句話說, D3 膜附近目前還存在這種D1 的幾率應(yīng)該不大, 這也使得探測這種正反開弦對不可能那么容易, 更細(xì)節(jié)的討論見文獻(xiàn)[15].

5 討論與總結(jié)

本文系統(tǒng)地討論了作者之一及其合作者近10年來關(guān)于平行放置、有一定間距且?guī)б话闶澜珞w常電磁通量的兩個D 膜間的相互作用及其特性的研究工作. 這兩個D 膜的空間維度可以一樣, 也可以不一樣, 比如一個為Dp膜, 另一個為 Dp′膜,且不失一般性, 假設(shè)為保證在弱弦耦合情況下, 相關(guān)的D 膜在不遠(yuǎn)小于弦尺度下可以看成是剛性的, 則要求

對這樣的兩張D膜間的閉弦柱面振幅的一般表達(dá)式為

其中Cn繼續(xù)由(48)式給定. 對每一對p和p′(p?p′=0,2,4,6 及p6 ), 對應(yīng)的振幅, 如前兩節(jié)描述的, 可以看成上面一般公式(122)式的特殊情形. 對應(yīng)的開弦單圈環(huán)帶振幅可以由(122)式通過所謂雅可比變換t →t′=1/t以及對應(yīng)的θ1函數(shù)和Dedekindη函數(shù)關(guān)系(55)式給出為

上面已經(jīng)去掉開弦變量t上的一撇, 且Zn也繼續(xù)由(52)式給定. 如果三參數(shù)ν0,ν1,ν2其中之一, 比如ν0,是虛的, 對應(yīng)的系統(tǒng)要經(jīng)歷所謂的開弦對產(chǎn)生過程. 對應(yīng)系統(tǒng)的衰變率為

基于上述公式, 討論了振幅的相關(guān)特性, 比如膜間相互作用特性(吸引或排斥), 開弦快子不穩(wěn)定性, 開弦對產(chǎn)生及其增強效應(yīng). 當(dāng)p′p=6 且ν0,ν1,ν2三參數(shù)都為非零實數(shù)以及ν0+ν1+ν2<2時,如果其中最大的參數(shù)大于另外兩個參數(shù)之和, 對應(yīng)的相互作用為吸引, 反之則為排斥. 當(dāng)相互作用為吸引且兩膜間的間距小于一定距離時, 開弦快子不穩(wěn)定性就會出現(xiàn). 如果相互作用為排斥, 則沒有快子不穩(wěn)定性. 然而, 當(dāng)ν0+ν1+ν2>2時, 這時最大的參數(shù)只能小于其余兩個之和且相互作用是吸引的, 同樣也有快子不穩(wěn)定出現(xiàn). 當(dāng)p′p<6時, 膜間相互作用只能是吸引. 相關(guān)的物理原因已在正文中討論, 這里不再重復(fù).

當(dāng)三參數(shù)ν0,ν1,ν2其中之一為虛數(shù)時, 對應(yīng)的系統(tǒng)將通過產(chǎn)生開弦對衰變. 這體現(xiàn)在開弦單圈振幅有一個虛部. 不失一般性, 取其中振幅虛部的出現(xiàn)源于所加的電場. 當(dāng)所加的電場達(dá)到其臨界值時, 有這時不難從(125)式看出開弦對產(chǎn)生率變?yōu)闊o窮大, 開弦對這時將雪崩式地產(chǎn)生, 給出系統(tǒng)的另一種不穩(wěn)定性. 對于一般的非臨界電場, 開弦對產(chǎn)生率在加一定的磁場時會有增強效應(yīng). 這種增強效應(yīng)從弦理論角度來看, 與加磁場時出現(xiàn)的快子移動有關(guān), 在一般情況下為|其中ν1,ν2∈[0,1) . 這一移動的出現(xiàn), 可以把有些開弦態(tài)的質(zhì)量平方減小正是由于這些虛開弦模式對的質(zhì)量減少, 使得它們在加同樣電場的情況下更容易從虛對被拉成實的正反開弦對.

因快子移動越大, 增強效應(yīng)越大. 基于此, 我們希望保留ν1和ν2中最大的一個, 而取相應(yīng)的磁場使得其中小的一個為零, 這樣給出的快子移動|ν1?ν2|/2 為最大. 不失一般性, 通常取ν2=0 .現(xiàn)在的問題是加什么樣的電場和磁場可以給出最大的增強效應(yīng).

在實際實驗室情況下, 由于所加電場和磁場相對弦尺度都很小, 因此很小. 從(98)式不難看出,根據(jù)第三節(jié)討論的情形, 這時也有ν1?1 , 且D3/D3 系統(tǒng)會給出最大開弦對產(chǎn)生率. 但由于該系統(tǒng)在加實驗室電場和磁場前保持一般時空超對稱, 因此連接這兩個D3的最低開弦質(zhì)量應(yīng)不小于幾個TeV[32], 遠(yuǎn)大于實驗室電場或磁場對應(yīng)的標(biāo)度. 換句話說, 實驗室所加的電場和磁場不可能使虛的開弦對成為實的, 從而不能被探測到. 第3節(jié)仔細(xì)討論了這種情況. 在第4 節(jié)中, 討論了p?p′=2 系統(tǒng). 我們發(fā)現(xiàn)對D3/D1系統(tǒng), 即使在D3 上不加任何電磁場, D1 對連接D3 和D1 間開弦所起的作用相當(dāng)于加了一個弦尺度的磁場使得ν1/2=1/4 , 因此可以給出一個大的增強效應(yīng). 也正是由于這樣一個大的等效磁場的出現(xiàn), 使得開弦最低質(zhì)量譜中的有質(zhì)量帶電矢量模的其中一個極化的質(zhì)量被壓低(對反開弦對應(yīng)的是反極化模式), 給出一個可以比較小的等效質(zhì)量, 從而使得所加實驗室電場給出的eE可以與該等效質(zhì)量的平方相比擬, 因此有可能產(chǎn)生對應(yīng)矢量模式的正反極化對. 第4節(jié)給出了詳細(xì)的討論. 我們希望強調(diào)對應(yīng)的產(chǎn)生率與所加電場和磁場的關(guān)系完全不同于通常QED 的計算結(jié)果, 因此可以看成為一種弦理論的特征行為. 如果我們的確驗證了這種行為, 比如驗證由正反極化模式給出的電流與實驗室所加電場和磁場的關(guān)系符合計算, 這對弦理論是一種檢驗, 同時也預(yù)言了額外維的存在. 另外, 我們要強調(diào)的是每一個矢量極化模式的實際質(zhì)量至少為TeV, 其能被探測的原因是由于D1 給出一個大的等效磁場從而把該質(zhì)量壓低到一個比較小的等效質(zhì)量. 然而, 如文獻(xiàn)[15]中討論的, 要實現(xiàn)這種探測還是有一定難度的, 主要是實現(xiàn)所期待的D3/D1 系統(tǒng)并不容易.

作者之一(盧建新)感謝寧波、Shibaji Roy、徐山杉、魏然、賈強、吳子昊和祝笑穎對本綜述部分內(nèi)容的合作.