踩點(diǎn)答對題 自信得滿分

文 周漢斌

（作者單位：江蘇省東臺市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

中考要想取得高分，攻克最后的兩道綜合題是關(guān)鍵。其中，幾何綜合題一般分三小題呈現(xiàn)，滿分12分。近年來，這類題往往以動(dòng)態(tài)幾何形式出現(xiàn)，在圖形的變換過程中，探究圖形中某些不變的因素，把操作、觀察、探求、計(jì)算和證明融合在一起。在答題時(shí)我們要調(diào)節(jié)好心態(tài)，心中默念“壓軸題不需要拿滿分，但要拿到能拿到的分”。下面以2019年濟(jì)南中考第26題為例分析說明。

小圓同學(xué)對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究。

（一）猜測探究

在△ABC中，AB=AC，M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線段AM繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度，得到線段AN，連接NB。

（1）如圖1，若M是線段BC上的任意一點(diǎn)，請直接寫出∠NAB與∠MAC的數(shù)量關(guān)系是________，NB與MC的數(shù)量關(guān)系是 ；

圖1

（2）如圖2，點(diǎn)E是AB延長線上一點(diǎn)，若M是∠CBE內(nèi)部射線BD上任意一點(diǎn)，連接MC，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由。

圖2

（二）拓展應(yīng)用

如圖3，在△A1B1C1中，A1B1=8，∠A1B1C1=60°，∠B1A1C1=75°，P是B1C1上的任意點(diǎn)，連接A1P，將A1P繞點(diǎn)A1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)75°，得到線段A1Q，連接B1Q。求線段B1Q長度的最小值。

圖3

此題位于整卷倒數(shù)第2題的位置，是考查幾何變換的一道綜合題，有較大的難度，也是一道區(qū)分度明顯的壓軸題，解答的原則是分步取分。

【分析（一）（1）】如圖1，

∵∠MAN=∠CAB，

∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，

∴∠NAB=∠MAC。

∵AB=AC，AN=AM，

又∠NAB=∠MAC，

∴△NAB≌△MAC（SAS），

∴BN=CM。

故答案為∠NAB=∠MAC，BN=CM。

【點(diǎn)評】填對一空得2分，兩空共4分，壓軸題不是每一個(gè)問題都很難，認(rèn)真讀題審題，思考一下，還是能輕松拿分的，解題的自信很重要。

【分析（一）（2）】（1）中結(jié)論仍然成立，第（2）問的證明方法也與（1）類似，（1）是為（2）引路的。

如圖2中，（1）中結(jié)論仍然成立。

理由：∵∠MAN=∠CAB，

∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，

∴∠NAB=∠MAC，

又∵AB=AC，AN=AM，

∴△NAB≌△MAC（SAS），

∴BN=CM。

【點(diǎn)評】一道試題有幾個(gè)小題，題目之間必然有關(guān)聯(lián)，如本題的（1）（2）兩問之間是呈現(xiàn)遞進(jìn)關(guān)系的，（1）是（2）的特例，（2）是（1）的一般情況，因此做（2）時(shí)不妨看看（1），（1）（2）比一比，思路自然產(chǎn)生。

【分析（二）】題目明確指出：“拓展應(yīng)用”，也就是利用（一），解決（二），因此我們就要在（二）中尋找（一）的影子，一旦找出，（二）就不難解決了。（一）中的△ABC是等腰三角形，因此我們在A1C1上截取A1N=A1B1，連接PN，如圖 4，出現(xiàn)了（一），模仿之：

圖4

∵∠C1A1B1=∠PA1Q，

∴∠QA1B1=∠PA1N，

又∵A1Q=A1P，A1B1=AN，

∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），

∴B1Q=PN。

要求線段B1Q長度的最小值，則轉(zhuǎn)化為求PN長度的最小值。聯(lián)想到垂線段最短，即當(dāng)PN垂直B1C1時(shí)PN的值最小。為此作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M，如圖5。

在Rt△A1B1M中，

在 Rt△NHC1中，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P與H重合時(shí)，PN的值最小，

∴QB1的最小值為。

圖5

【點(diǎn)評】最后的4分，是全題的亮點(diǎn)。將A1P繞點(diǎn)A1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)75°，得到線段A1Q。動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生，點(diǎn)P動(dòng)則點(diǎn)Q動(dòng)，點(diǎn)P是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是從動(dòng)點(diǎn)，因此點(diǎn)P在線段B1C1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也應(yīng)該在某線段上運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)Q是由點(diǎn)P繞點(diǎn)A1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)75°得到的，因此點(diǎn)Q的路徑是線段B1C1繞點(diǎn)A1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)75°得到的（如圖5）。要求線段QB1的最小值，由于點(diǎn)B1的位置是確定的，而點(diǎn)Q的路徑是一條線段，線段最小值當(dāng)然是根據(jù)垂線段最短來確定，但這個(gè)最小值如何求，則難以下手。題目的“拓展應(yīng)用”暗示我們?nèi)?gòu)造（一）中的模型，利用（一）的結(jié)論解決問題。根據(jù)這個(gè)暗示，不難添加輔助線，構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)化問題。我們要善于揣摩命題者的意圖，尋找命題專家不經(jīng)意中透露的信息，一旦想到暗語，壓軸題也是不難破解的。