思想在前 計(jì)算在后

文 張 鋒（特級(jí)教師）

數(shù)學(xué)之所以有生命力，就在于它有趣；數(shù)學(xué)之所以有趣，就在于它對(duì)思維的啟迪。概率統(tǒng)計(jì)中的問(wèn)題同樣也是如此。下面我們一起來(lái)看兩個(gè)典型的數(shù)學(xué)思想在概率題中的應(yīng)用。

一、方程思想

方程思想，就是利用問(wèn)題中已知量與未知量之間的等量關(guān)系列出方程，從而得以解決問(wèn)題的一種思想方法。與概率有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，有時(shí)可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)概率的定義列出方程來(lái)解決。

例1在一個(gè)不透明的袋子中裝有2個(gè)黃球，3個(gè)黑球和5個(gè)紅球，它們除顏色外其他都相同?，F(xiàn)再將若干個(gè)紅球放入袋中，與原來(lái)的10個(gè)球混合在一起，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)是紅球的概率為-請(qǐng)求出后來(lái)放入袋中的紅球的個(gè)數(shù)。

【分析】原來(lái)口袋中有10個(gè)球，其中紅球5個(gè)，設(shè)再往口袋中放入x個(gè)紅球，則現(xiàn)在紅球數(shù)為（x+5）個(gè)，球的總數(shù)為（x+10）個(gè)。根據(jù)概率的意義，紅球個(gè)數(shù)與球總個(gè)數(shù)的比值等于摸到紅球的概率列出方程，解方程便可求出后來(lái)放入口袋中的紅球個(gè)數(shù)。

解：設(shè)放入x個(gè)紅球，由題意得，解得x=5。經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原方程的根，且符合題意。

【小結(jié)】本題通過(guò)設(shè)紅球的個(gè)數(shù)，根據(jù)等可能性概率的計(jì)算公式列出方程，體現(xiàn)了方程思想在解決概率問(wèn)題中的應(yīng)用。

二、數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是在研究過(guò)程中，把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)，使隱蔽的問(wèn)題“明顯”化，抽象的問(wèn)題“直觀(guān)”化，復(fù)雜的問(wèn)題“簡(jiǎn)單”化的一種解題思路。同學(xué)們?cè)谟龅接嘘P(guān)圖形的概率計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于涉及兩步或兩步以上的隨機(jī)事件的概率問(wèn)題，可以畫(huà)樹(shù)狀圖（或列表）進(jìn)行求解。

例2如圖1，四邊形ABCD是菱形，E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)，隨機(jī)向菱形ABCD內(nèi)擲一粒米，則米粒落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率是________。

圖1

【分析】∵四邊形ABCD是菱形，E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)，易證得四邊形EFGH是矩形，且∴四邊形EFGH的面積為。

答案：。

【小結(jié)】解決本題的關(guān)鍵是先證得順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，再借助三角形中位線(xiàn)找到矩形的邊長(zhǎng)與菱形對(duì)角線(xiàn)的關(guān)系，進(jìn)而找到矩形面積與菱形面積的關(guān)系，最后計(jì)算面積比求得概率。

小試牛刀

1.在一個(gè)不透明的袋子中裝有僅顏色不同的10個(gè)小球，其中紅球4個(gè)，黑球6個(gè)。

（1）先從袋子中取出m（m＞1）個(gè)紅球，再?gòu)拇又须S機(jī)摸出1個(gè)球，將“摸出黑球”記為事件A。請(qǐng)完成下列表格：

事件A m的值必然事件 隨機(jī)事件

（2）先從袋子中取出m個(gè)紅球，再放入m個(gè)同樣的黑球并搖勻，若隨機(jī)摸出1個(gè)球是黑球的概率等于，求m的值。

2.如圖2，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，EF、GH過(guò)點(diǎn)O，且點(diǎn)E、H在邊AB上，點(diǎn)G、F在邊CD上，向平行四邊形ABCD內(nèi)部投擲飛鏢（每次都落在內(nèi)部，且落在內(nèi)部的任何一處的機(jī)會(huì)均等）。則飛鏢恰好落在陰影區(qū)域的概率為_(kāi)_______。

答案：1.（1）4，2或3；（2）2。。

圖2