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    “二元一次方程組”復習課教學設計及反思

    2020-06-03 08:50:16謝蓓蓓
    初中生世界·初中教學研究 2020年4期
    關(guān)鍵詞:二元一次方程組消元方程組

    謝蓓蓓

    【教學目標及重難點】

    1.構(gòu)建本章的知識結(jié)構(gòu)。

    2.經(jīng)歷“問題情境一建立模型一求解一解釋與應用”的學習過程,加深理解相關(guān)數(shù)學知識。

    3.通過思考、交流等活動,體會類比、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般等數(shù)學思維方式。

    【教學過程】

    一、環(huán)節(jié)一:創(chuàng)設問題情境

    問題1:將一根100cm的繩子剪成兩段,兩段的長度分別是多少?

    師:同學們,老師手中有一根長為100cm的繩子。如果我將它剪成兩段,你們知道這兩段分別是多長嗎?

    生:不知道。

    師:為什么?

    生:情況太多了,有可能是50cm和50cm,也有可能是40cm和60cm……

    生:不一定是整數(shù),也有可能是10.5cm和89.5cm。

    師:嗯,確實情況比較多。大家還有什么想法?

    生:我覺得這其實就是一個二元一次方程式。設兩段繩子的長度分別是xcm和ycm,就可以得到x+y=100,而這個方程的解有無數(shù)組,所以情況也有無數(shù)種。

    師:眼光獨到!這位同學將現(xiàn)實生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學中的方程模型,這是一個數(shù)學建模的過程。而二元一次方程的解有無數(shù)個,也正好解釋了繩子兩段的長度有無數(shù)種可能。

    問題2:怎樣使兩段繩子的長度只有一種可能?

    師:大家能不能想個辦法,使兩段繩子的長度只有一種可能?

    生:添加一個條件,就可以再得到一個二元一次方程,將其與前面的方程構(gòu)成二元一次方程組。二元一次方程組的解是唯一的。

    師:非常好!下面,就請各位同學自己添加一個條件,解決這個問題。

    (學生在學習單上演算3分鐘后,陸續(xù)舉手。)

    生:我添加的條件是兩段繩子的長度相同,也就是x=y,算出兩段繩子的長度都是50cm。

    生:我添加的條件是一段繩子比另一段長10cm,列出了方程組x+y=100,x-y=10。然后算出一段繩子的長度為55cm,另一段繩子的長度為45cm。

    生:我添加的條件是一段繩子的長度是另

    一段的4倍,列出了方程組x+y=100,x=4y。然后算出一段繩子的長度為80cm,另一段繩子的長度為20cm。

    二、環(huán)節(jié)二:再解方程組

    問題3:如何解方程組?

    師:大家剛剛是用什么方法來解方程絹的呢?

    生:加減法。

    生:代入法。

    師:這都是我們常用的方法。解二元一次方程組的基本思路是什么?

    生(齊):消元。

    師:消元的目的是什么?

    生:使其轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

    師:所以說,一元一次方程才是我們解題的根本。

    師:請大家解一下方程組3x-2y=8,6x+7y=5。說說都有哪些方法。

    (一名學生板演,其他學生在學習單上書寫。板演的學生出現(xiàn)錯誤,另一名學生指出,并在教師允許下,上臺幫助同學修改錯誤。)

    師:剛剛他使用的是什么方法?

    生(齊):加減法。

    師:還有其他方法嗎?

    生(齊):代入法。

    師:你們?yōu)槭裁床挥么敕ǎ?/p>

    生:x和y的系數(shù)都不是1,變形時會出現(xiàn)分數(shù)形式,用代入法比較麻煩。

    師:分析得不錯。請大家再仔細觀察一下x和y的系數(shù),有沒有其他發(fā)現(xiàn)?

    生:第2個方程中的x的系數(shù)是第1個方程中的x的系數(shù)的2倍,我們可以將3x看作一個整體,由方程1得3x=8+2y,代入方程2。

    師:這位同學運用了整體思想,非常棒!我們知道,解二元一次方程組的基本思路是消元,只要我們能想出辦法,使二元變成一元,問題就可以迎刃而解。大家再想一想,還有沒有其他方法呢?

    (學生演算后,進行小組展示。略。)

    師:剛剛的解法都很精彩,同學們利用“構(gòu)造”和“換元”等方法實現(xiàn)了“消元”。所以說,解題無定法,只要能將二元轉(zhuǎn)化為一元就可以了。

    三、環(huán)節(jié)三:活動探究

    問題4:針對這根100cm的繩子,大家還有哪些想法?

    (學生獨立思考,組內(nèi)交流;小組派代表進行匯報。)

    生:我們小組想要把這根繩子剪成三段,設最長的那段為xcm,最短的那段為ycm,剩下的那段為zcm,這樣就可以得到三元一次方程x+y+z=100。

    師:由二元到三元,不錯!你們想怎么研究三元一次方程呢?

    生:我們參照了二元一次方程的解題過程。因為三元一次方程也有無數(shù)個解,所以我們添加了兩個條件:第一個條件是最長的那段繩子是其余兩段之和,第二個條件是最長的繩子比最短的繩子長30cm,這樣就可以得到三元一次方程組x+y+z=100,x=y+z,x-y=30。

    師:根據(jù)實際問題,列出三元一次方程,再添加條件,列出三元一次方程組,不錯!下面呢?

    生:我們可以解三元一次方程組。先將第二個式子分別代入其他兩個式子,消去x,然后解出y和z,最后再求x。我們算出這個方程組的解為x=50,y= 20,z=30。

    師:厲害了!你們是怎么想到的?

    生:這和解二元一次方程組是一樣的,用的還是代入法和加減法,把三元變成二元就行了。

    師:非常精彩!說到底還是要用“消元”的方法,將三元轉(zhuǎn)化為二元,二元轉(zhuǎn)化為一元。如果是四元一次方程絹,你們能不能解?

    生:可以!把四元轉(zhuǎn)化為三元,三元轉(zhuǎn)化為二元,二元轉(zhuǎn)化為一元!

    師:非常好!哪怕是多元方程,我們也可以采用轉(zhuǎn)化的方法來解決。

    師:大家還有沒有其他的思路?

    生:我們小組想將這根繩子圍成一個長方形。

    師:不錯的想法。然后怎么研究呢?

    生:可以圍成的長方形有無數(shù)個,周長都是100,面積卻不相同。我們在思考,怎么才能圍成最大面積的長方形呢?

    師:這個問題問得好!由數(shù)想到形,由確定的數(shù)值想到不確定的數(shù)值,再想到最值,你們組很棒!你們找到最大面積的長方形了嗎?

    生:我們感覺同成正方形的時候,面積最大,然后也舉了一些例子,發(fā)現(xiàn)確實如此。

    師:先進行猜想,然后舉些特例,這都是研究數(shù)學問題的常用方法。不過要驗證這個猜想,我們必須進行證明。你們組可以嗎?

    生:我們暫時還沒想到辦法。

    師:那么,其他組的同學能解決這個問題嗎?

    生:設長方形的長和寬分別是xcm和ycm,則x+y=50,面積可以表示為xy,也就是x(50-x)=-x2+50x,可以將-x2+50x進行配方,變成一(x-25)2+625。當x=25時,最大面積是625,而x等于25,y也等于25,證明此時的圖形正好是個正方形。

    師:你太厲害了!說說你是怎么想的?

    生:設出未知數(shù),表示出長方形的面積,這樣就把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。

    師:對,將實際問題通過設未知數(shù)的方式進行建模。這是方程模型嗎?

    生(齊):不是。

    師:這其實是我們后面要學習的函數(shù)模型。

    生:上一章我們學習了完全平方公式,此時就可以利用配方的辦法求出最大值了。

    師:非常好!兩位同學帶領我們經(jīng)歷了從特殊到一般,從猜想到證明,從方程到函數(shù)的學習過程。

    四、環(huán)節(jié)四:總結(jié)與提升

    問題5:本節(jié)課的收獲是什么?

    師:學習了本節(jié)課之后,大家有什么新的感悟嗎?

    生:解二元一次方程組還可以采用構(gòu)造和換元等方法,目的是消元,實質(zhì)是轉(zhuǎn)化。掌握了這些方法后,我還能解三元甚至多元一次方程組。

    生:我們可以將實際問題轉(zhuǎn)化為方程模型或者函數(shù)模型來解決。

    生:我覺得以后再學習新的方程時,都可以按照“實際問題一建立方程模型一解方程一回到實際問題”的步驟去研究。

    師:這個想法不錯,我們可以采耳義-以貫之的數(shù)學思維去解決新問題!

    【教學反思】

    在數(shù)學課堂上,教師創(chuàng)設一個一以貫之的問題情境,可以讓學生不斷進行深入、連貫的思考,感受數(shù)學思維,掌握數(shù)學方法。本節(jié)課是“二元一次方程組”的復習課,筆者改變以往做題講題的教學方式,創(chuàng)設了“一根繩子”的問題情境,使之成為不同知識點之間的紐帶,在不同的教學內(nèi)容中發(fā)揮價值。

    在課堂教學中,教師的問題直接決定了學生的思維的方向和深度。問題1、2、3,不僅能夠讓學生掌握“實際問題一方程問題一解方程一實際問題”這一知識研究的外在路徑,更能讓他們領悟數(shù)學建模以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學思維的內(nèi)在路徑。在此基礎上,教師提出問題4,可以促進學生的思維繼續(xù)生長。有的學生借助二元一次方程的經(jīng)驗,解決了三元一次方程等方程類問題;有的學生由數(shù)想到形,提出問題后,建立了新的數(shù)學模型。整節(jié)課通過問題驅(qū)動,使學生在思考和探究的過程中,優(yōu)化和完善了數(shù)學思維。

    (作者單位:江蘇省南京外國語學校仙林分校麒麟中學)

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