初中平面幾何折疊問題解題策略

徐飛雷

摘?要：本文聚焦初中數(shù)學平面幾何的折疊問題，根據(jù)折疊過程中的基本性質(zhì)，總結了三種解題技巧，學生的直觀想象能力和邏輯推理能力等數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：折疊問題;軸對稱;解題策略

中圖分類號：G633.63文獻標識碼：A ????文章編號：1992-7711（2020）07-072-2

“折疊”作為圖形的三大運動之一，題型多樣，變換靈活，多以折疊問題為主要載體綜合其他幾何圖形的知識進行考察。因“圖形復雜”、“關系復雜”而成為中難題，學生在緊張的考試過程中解有關“折疊”的問題，一旦不能做到胸有成竹，便會產(chǎn)生浮躁的情緒，只有了解了折疊問題的本質(zhì)，才能迅速找到破解折疊問題的方法。

“折疊”的本質(zhì)是“軸對稱”，因此，畫一個圖形折疊后的圖形，是采用畫軸對稱圖形的方法：先畫出各個點的對稱點，再連結對應的線段。一般情況下，畫圖的方法，就揭示了圖形的性質(zhì)，折疊前后的兩個圖像是全等的;折痕所在直線為全等圖形的對稱軸;對稱點的連線被對稱軸垂直平分等，合理運用這些性質(zhì)就能找到解題的方法。

本人結合教學實際，總結了“折疊”問題的三種解題策略。

策略一、利用“折疊前后的兩個圖形全等”的性質(zhì)

這是初中數(shù)學中“折疊問題”使用的最多的一種解題思路，利用折疊前后的圖形相互重合，是全等形，得到對應的線段、角、面積、周長等都相等，那么，如何在這么多相等的量中找到有用的等量關系呢？一般情況下，條件和結論中描述到的量會用到它的等量，圖形中已經(jīng)能夠確定的量會用到它的等量，這些量之間的關系較為復雜，因此在思考問題時一定要學會標注圖形，這樣可以幫助我們理清邊角的關系，快速找到解題思路。

此題折疊過程較為簡單，沿AD進行折疊，可以直觀的看出折疊前后的兩個全等三角形，再根據(jù)其他條件，進行簡單推理證明，即可得到線段間的等量關系。

策略二、利用“對稱點的連線被對稱軸垂直平分”的性質(zhì)

這也是初中數(shù)學中“折疊問題”常用的一種解題思路，因此在解決有關折疊問題時，如果策略一不能解決問題，往往要考慮連接對稱點，利用“對稱點的連線被對稱軸垂直平分”這一定理來解決問題，特別的，當題目中涉及到“對稱點的連線”或“折痕線段”時，一般要優(yōu)先考慮用此法。

解決折疊問題，不僅需要了解折疊的過程，還需要把握折疊的基本性質(zhì)，即“全等”和“垂直”。這道題需要添加輔助線才能構造出圖4，以折疊為載體，考察了折疊的性質(zhì)，勾股定理、相似的判定與性質(zhì)，把要求的線段放到三角形中，利用相似來求解。

策略三、利用“反折疊圖形”的思路

最近幾年有關折疊問題的新題中，經(jīng)常會看到“相對運動”的思想，即“反折疊”，它是指把一個圖形按與原折疊方向相反的方向折疊。如：原圖形畫出了折痕右邊的部分折疊到左邊后的圖形，“反折疊”圖形就是畫出折痕左邊的部分折疊到右邊后的圖形。

“折疊”的本質(zhì)是“軸對稱”，折痕是一條穿過圖形的對稱軸，沿著折痕把一個圖形“從左往右折”和“從右往左折”得出的圖形是完全相同的。原題給出的折疊圖形往往只有一半圖形的對稱圖形，另一半圖形的對稱圖形不會畫出來，這就為解題設置了障礙，使關鍵點無法找到對稱點，化解之法就是再畫出另一半圖形的對稱圖形，這樣，就得到了整個圖形關于折痕的完整對稱圖形。一般情況下，出現(xiàn)“折疊后某直線滿足某某條件”（如：折疊后“某某線經(jīng)過某點”或“某某弧與某某線相切”等）時，可用“反折疊”思路解決問題。

學會解題的過程就是學會處理條件的過程。以上三種策略概括了解“折疊問題”的三種思路，在解答折疊問題時，往往會遇到勾股定理、全等以及相似的知識。同時需要學生能直觀想象出折疊這一過程，在腦海中復原，找到折疊前后的變量與不變量，注重探究過程，培養(yǎng)邏輯推理能力，使學生逐漸掌握折疊這類問題的實質(zhì)，這需要教師在教學過程中始終堅持。

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（作者單位：鎮(zhèn)江第一外國語學校，江蘇 鎮(zhèn)江212000）