基于閉環(huán)控制的齒輪傳遞誤差研究

楊振虎

(山東勞動(dòng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能制造系，山東 濟(jì)南 250300)

閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是當(dāng)前工業(yè)制造機(jī)器中經(jīng)常用到的機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)齒輪傳遞誤差時(shí)，會(huì)立刻改變齒輪的傳動(dòng)比，導(dǎo)致系統(tǒng)噪聲增大，對(duì)系統(tǒng)的傳動(dòng)平穩(wěn)性產(chǎn)生消極影響[1]。因此研究閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的齒輪傳遞誤差十分重要。經(jīng)過實(shí)際調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，閉環(huán)齒輪傳動(dòng)過程中振動(dòng)和噪聲的主要來源是齒輪傳遞誤差，因此大量學(xué)者開始研究齒輪傳遞誤差。文獻(xiàn)[2]提出基于齒輪嚙合質(zhì)量的傳遞誤差問題，還分析了齒距嚙合偏差對(duì)齒輪傳遞誤差的影響程度，但沒有從閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)角度出發(fā)研究齒輪傳遞誤差。文獻(xiàn)[3]提出基于誤差耦合補(bǔ)償?shù)凝X輪傳動(dòng)誤差問題，能夠有效降低傳動(dòng)誤差，但未考慮齒輪同步傳遞誤差。

針對(duì)上述研究存在的問題，筆者從當(dāng)量嚙合傳遞誤差角度出發(fā)，研究閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的齒輪傳遞誤差，最終依照位置環(huán)誤差控制方法調(diào)節(jié)誤差初始相位，降低齒輪同步傳遞誤差，提升閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的平穩(wěn)性。

1 當(dāng)量嚙合傳遞誤差分析

1.1 當(dāng)量嚙合傳遞誤差參數(shù)計(jì)算

當(dāng)量嚙合誤差是一種等效誤差，主要由安裝誤差和齒輪制造誤差引起，當(dāng)量嚙合誤差嚙合線的延長(zhǎng)方向?yàn)檎较?，反之為?fù)方向。圖1為當(dāng)量嚙合誤差圖。

圖1 當(dāng)量嚙合誤差圖

(1)

(2)

式中：b為齒數(shù)。

(3)

(4)

(5)

假設(shè)嚙合線上存在齒輪安裝誤差wAij和制造誤差wZij的投影，可得到：

(6)

整個(gè)閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

從圖中可看出，該閉環(huán)齒輪系統(tǒng)中包含m個(gè)齒輪組，m≥2，且m是偶數(shù)。閉環(huán)齒輪系統(tǒng)中功率分流成Z1和Z2兩個(gè)支路。αij(Z1)、αji(Z1)、αij(Z2)、αji(Z2)分別為當(dāng)傳動(dòng)方向?yàn)閕j時(shí)x軸和傳動(dòng)方向之間不同的夾角，χij(Z1)、χji(Z1)、χij(Z2)和χji(Z2)分別為當(dāng)傳動(dòng)方向?yàn)閕j時(shí)x軸和嚙合線之間不同的夾角。相關(guān)角度的計(jì)算公式如下：

(7)

(8)

1.2 當(dāng)量嚙合傳遞誤差計(jì)算

理論轉(zhuǎn)角和實(shí)際轉(zhuǎn)角之間的差值為齒輪傳遞誤差，當(dāng)差值為正數(shù)時(shí)，理論轉(zhuǎn)角小于實(shí)際轉(zhuǎn)角，反之大于實(shí)際轉(zhuǎn)角。設(shè)閉環(huán)齒輪系統(tǒng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正向，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)向。此系統(tǒng)中齒輪安裝誤差和制造誤差構(gòu)成單個(gè)齒輪誤差，單個(gè)齒輪誤差Pi計(jì)算公式如下：

Pi=wAij+wZij

(9)

同時(shí)綜合相互嚙合的單個(gè)齒輪誤差得到一對(duì)齒輪副的誤差，該誤差計(jì)算公式如下：

(10)

式中：δ1為齒輪副的誤差；P1和P2分別為齒輪1和齒輪2的誤差；r2為齒輪2的基圓半徑。通過傳動(dòng)比將多個(gè)齒輪副誤差轉(zhuǎn)化到最后一個(gè)齒輪上得到齒輪傳遞誤差[3]，誤差δ計(jì)算公式如下：

(11)

式中：δm為第m個(gè)對(duì)齒輪副傳遞誤差；im-1為第(m-2)根軸到第(m-1)根軸的傳動(dòng)比。

2 同步傳遞誤差計(jì)算

閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，輸入軸的額定功率在第一個(gè)齒輪處將功率分流成兩個(gè)支路傳遞，兩個(gè)支路傳遞的功率在最后一個(gè)齒輪上匯合。傳遞過程中該系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)噪聲：一種是開環(huán)傳動(dòng)過程中支路傳遞誤差導(dǎo)致的，另一種是功率合流時(shí)齒輪傳動(dòng)不同步導(dǎo)致的。齒輪傳遞誤差僅能反映各個(gè)支路中單獨(dú)齒輪的準(zhǔn)確性和平穩(wěn)性[4]，為研究整個(gè)系統(tǒng)的平穩(wěn)性，需考慮齒輪的同步傳遞誤差,通過同步傳遞誤差可以反映多輸入齒輪傳動(dòng)時(shí)齒輪的同步性。同步傳遞誤差指整個(gè)齒輪傳動(dòng)過程中，當(dāng)單個(gè)齒輪接收到多個(gè)主動(dòng)齒輪傳遞的功率時(shí)，兩種齒輪之間傳遞誤差的差值[5]，公式表示為：

T=δZ1-δZ2

(12)

式中：T為同步傳遞誤差；δZ1和δZ2分別為Z1和Z2兩個(gè)支路的傳遞誤差。通過上述計(jì)算獲取了閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中齒輪傳遞誤差后[6]，應(yīng)采用位置控制方法控制閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的齒輪傳遞誤差，減少齒輪傳動(dòng)過程中出現(xiàn)的角度和位移偏移。

3 基于位置環(huán)PID的誤差控制方法

為實(shí)現(xiàn)對(duì)閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中齒輪傳遞誤差的控制，需采用位置環(huán)限定傳動(dòng)過程中齒輪的位移和角度，改變齒輪誤差初始相位。本文設(shè)計(jì)的位置環(huán)整體結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 位置環(huán)整體結(jié)構(gòu)

從圖可知，該位置環(huán)主要包含計(jì)算機(jī)、PID控制器、交流伺服驅(qū)動(dòng)電機(jī)(M)等部分。在齒輪傳動(dòng)過程中，應(yīng)采用光電碼盤將齒輪位置變換量轉(zhuǎn)換成相差分脈沖，并將其傳輸?shù)接?jì)算機(jī)中對(duì)脈沖進(jìn)行計(jì)數(shù)，向PID控制器提供反饋信號(hào)，如此就實(shí)現(xiàn)了位置反饋。采用脈沖計(jì)數(shù)獲取數(shù)字化信息位置，根據(jù)計(jì)算機(jī)計(jì)算反饋位置和實(shí)際位置之間的偏差數(shù)值，采用相應(yīng)的PID控制策略[7]，經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換成模擬控制電壓并傳輸?shù)浇涣魉欧?qū)動(dòng)機(jī)中，調(diào)節(jié)交流伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)情況，最終完成期望值的定位，實(shí)現(xiàn)對(duì)齒輪傳遞誤差的修正。

在閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，為調(diào)節(jié)傳遞誤差，需設(shè)置一定的PID參數(shù)，但是如果整個(gè)過程中多次設(shè)置參數(shù)[8]，會(huì)引起系統(tǒng)的超調(diào)和震蕩。為減少上述情況，PID控制過程中需采用積分分離的PID控制算法，當(dāng)齒輪傳遞既定位置大于齒輪傳遞實(shí)際位置和齒輪傳遞期望位置之間差值時(shí)，恢復(fù)積分校正環(huán)節(jié)[9]，降低系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，提升控制精準(zhǔn)度。

采用積分分離的PID算法時(shí)需設(shè)定積分分離閾值ε，比較ε和實(shí)際誤差，當(dāng)ε和實(shí)際誤差具有較大差異性時(shí)，需要采用PID算法對(duì)ε進(jìn)行調(diào)整。離散化的PID控制算法公式如下：

(13)

式中：W(l)為位置控制量，其中l(wèi)為采樣序號(hào)，l=0,1,2,…；lp為比例系數(shù)；li為積分系數(shù)；ld為微分系數(shù)[10]。

通過式(13)計(jì)算出齒輪傳動(dòng)過程中齒輪傳遞位置控制量，即可依照該位置控制量調(diào)整閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中齒輪誤差初始相位，降低齒輪傳動(dòng)過程中產(chǎn)生的傳遞誤差值和齒輪磨損程度。

4 實(shí)驗(yàn)方法測(cè)試

為驗(yàn)證該方法的有效性，需進(jìn)行實(shí)驗(yàn)檢測(cè)。實(shí)驗(yàn)選擇由6個(gè)齒輪組成的閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在某工廠內(nèi)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，實(shí)驗(yàn)選用的減速器中心距為155 mm；齒輪的傳動(dòng)比為3，齒輪齒數(shù)為8，齒面寬20 mm；動(dòng)力采用直流電機(jī)，電機(jī)的額定功率為40 kW,額定轉(zhuǎn)速為3 500 r/min。齒輪的材料為合金鋼，彈性模量為207 000 MPa，泊松比為0.35。在閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，輸入功率會(huì)在齒輪S1處分流，在S4處進(jìn)行功率合流，輸入功率是通過兩條相對(duì)獨(dú)立的支路進(jìn)行傳遞的，即支路Z1(S1(Z1),S2(Z1),S3(Z1),S4(Z1))和支路Z2(S1(Z2),S2(Z2),S3(Z2),S4(Z2))。將閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中齒輪的齒數(shù)設(shè)置為75，將壓力角設(shè)置為21°，傳動(dòng)比設(shè)置為1，統(tǒng)計(jì)誤差初始相位，結(jié)果見表1。

表1 誤差初始相位

實(shí)際檢驗(yàn)過程中應(yīng)通過誤差初始相位研究齒輪傳遞誤差和同步誤差，探析傳遞誤差和同步誤差的特點(diǎn)，同時(shí)檢測(cè)本文方法的控制效果。

4.1 實(shí)際控制效果分析

為驗(yàn)證本文方法對(duì)閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中齒輪傳遞誤差控制效果，系統(tǒng)中兩個(gè)支路分別采用本文方法和傳統(tǒng)方法控制齒輪傳遞誤差，探析在相同工況條件下6個(gè)月后兩個(gè)支路中齒輪的實(shí)際控制效果，結(jié)果如圖4所示。

從圖中可以看出，用本文方法控制控制的齒輪未出現(xiàn)顯著磨損，而用傳統(tǒng)方法控制的齒輪磨損程度較為嚴(yán)重，對(duì)比結(jié)果證明本文方法效果較好。

4.2 當(dāng)量嚙合傳遞誤差和同步誤差特點(diǎn)

為研究當(dāng)量嚙合傳遞誤差和同步誤差與時(shí)間的關(guān)系，需采用本文方法分析當(dāng)量嚙合傳遞誤差和同步傳遞誤差特點(diǎn)，在實(shí)驗(yàn)工況條件下的結(jié)果如圖5所示。

圖4 實(shí)際效果圖

圖5 傳遞誤差變化規(guī)律

從圖可知，兩個(gè)支路齒輪傳遞誤差都以高頻和低頻隨時(shí)間呈周期性變化，同時(shí)可以看出兩個(gè)支路齒輪傳遞誤差不同步，且兩個(gè)支路齒輪傳遞誤差中的最大瞬時(shí)傳遞誤差不一致，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，同步傳遞誤差中存在耦合作用，因此采用位置環(huán)誤差控制方法控制齒輪傳遞誤差。

4.3 控制結(jié)果

本文通過PID控制算法調(diào)節(jié)齒輪切向誤差初始相位，實(shí)現(xiàn)對(duì)閉環(huán)傳動(dòng)系統(tǒng)中的齒輪傳遞誤差的調(diào)節(jié)，控制后的誤差初始相位見表2，控制后的同步傳遞誤差變化規(guī)律如圖6所示。

表2 控制后各誤差初始相位

從表2中可以看出，使用本文方法控制閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)后，系統(tǒng)中各個(gè)齒輪誤差初始相位相差0或者是π，各個(gè)齒輪之間傳遞誤差耦合情況較好，同時(shí)從圖6中可以看出，采用本文方法控制后齒輪同步傳遞誤差為0.151 8 rad，與控制前相比，同步傳遞誤差降低到98.69%，說明本文方法效果較好。

圖6 齒輪同步傳遞誤差變化規(guī)律

4.4 本文方法穩(wěn)定性

為驗(yàn)證本文方法的穩(wěn)定性，需選取不同齒長(zhǎng)和齒高方向的采樣點(diǎn)，分別選取9個(gè)和5個(gè)，檢測(cè)采用本文方法控制后系統(tǒng)中齒輪凸面和凹面法向偏差，檢測(cè)結(jié)果見表3和表4。

從表3和表4可以看出，經(jīng)過本文方法控制后齒輪最大法向偏差絕對(duì)值是0.023 6 mm，且整個(gè)系統(tǒng)中各個(gè)齒輪齒面偏差變化較為均勻，說明該方法穩(wěn)定性較好。

表3 齒輪法向偏差(凹面) μm

表4 齒輪法向偏差(凸面) μm

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究基于閉環(huán)控制的齒輪傳遞誤差，實(shí)驗(yàn)選取包含六個(gè)齒輪的閉環(huán)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，證明了本文方法能夠有效控制齒輪傳遞誤差，控制穩(wěn)定性較好。原因在于該方法在分析當(dāng)量嚙合傳遞誤差、安裝誤差和制造誤差、同步傳遞誤差的基礎(chǔ)上，采用位置環(huán)PID控制方法計(jì)算齒輪傳遞位置控制量，實(shí)現(xiàn)基于閉環(huán)控制的齒輪傳遞誤差控制方法。采用該方法能夠減小齒輪傳遞誤差與噪聲，提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提高制造效率，促進(jìn)綜合效益的大幅度提升。