一類高分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性

禾丁予

(天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 天津 300350)

(2010 MSC 34A08,34B15)

1 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程在粘彈性力學(xué)、非牛頓流體力學(xué)、高分子材料和自動(dòng)控制理論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2].近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性研究也取得了重大進(jìn)展[3-10].如，文獻(xiàn)[8]研究了以下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題

2 預(yù)備知識(shí)

定義2.1[1]函數(shù)y:(0，)→R的階數(shù)為α>0的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義2.2函數(shù)y:(0，)→R的階數(shù)為α>0的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

y(t)=C0+C1t+…+Cn-1tn-1，

其中 Ci∈R,i=0,1,…,n-1,n如定義2.2所述.

引理2.4設(shè)y∈Cn(0,1)∩L(0,1)有α>0階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).則

Cn-1tn-1，

其中 Ci∈R,i=0,1, …, n-1,n如定義2.2所述.

記

(2)

其中h=0,1,…,n-1. 選取適當(dāng)?shù)摩?使得

(3)

引理2.5設(shè)y∈C[0,1]，n-1<α≤n，n≥3，λ∈R+，m∈{1,2,…,n-2}.若(3)式成立，則邊值問(wèn)題

有唯一解

(7)

證明 設(shè)u為方程(4)的解.由引理2.4知

Cn-1tn-1，Ci∈R，0≤i≤n-1

(8)

(8)式可以變形為

Cn-1tn-1]eλt.

上式兩邊在0到t上積分可得

(9)

由(5)式可得

Ci=0,i=0,1,2,…,m-2,m+1,…,n-2,

且λCm-1-mCm=0.將上式代入(9)式可得

由Ph(t)的表達(dá)式(2)計(jì)算得

所以

(10)

由邊值條件(6)可得

因此

證畢.

證明 僅證(ii).

證畢.

引理2.8(Banach壓縮映像原理[10]) 設(shè)(X,‖·‖)是一個(gè)Banach空間，Ω?X是一個(gè)非空閉集，且T:Ω→Ω.若存在α∈[0,1)使得對(duì)任意的x,y∈Ω，有‖Tx-Ty‖≤α‖x-y‖，則有唯一的x*∈Ω，使得Tx*=x*，即 x*是算子T的唯一不動(dòng)點(diǎn).

3 主要結(jié)果

令E=C1[0,1].取范數(shù)

則(E，‖·‖)為Banach空間.定義

令

引理3.1算子T:E→E為全連續(xù)算子.

證明 由函數(shù)f的連續(xù)性可知，算子T連續(xù).設(shè)Ω?E為有界集，則存在常數(shù)N>0，使得對(duì)任意的u∈Ω，有‖u‖≤N.記

L=max{|f(t,u,v)|,(t,u,v)∈[0,1]×[0,

N]×[0,N]}.

由引理2.6，對(duì)任意的u∈Ω，有

所以T(Ω)一致有界.

另一方面，設(shè)0≤t1

所以T(Ω)等度連續(xù).由Arzela-Ascoli定理知，算子T全連續(xù).證畢.

記

2+M2}.

定理3.2設(shè)f:(0,1)×R×R→R是連續(xù)函數(shù)，且存在非負(fù)連續(xù)函數(shù)ρ0，ρ1，ρ2使得

|f(t，u，v)|≤ρ0(t)+ρ1(t)|u|+ρ2(t)|v|，

t∈[0,1]，u，v∈R，

且滿足

則邊值問(wèn)題(1) 至少存在一個(gè)解.

證明 由引理3.1知算子T:E→E為全連續(xù)算子.下證集合V={u∈E:u=μTu，0≤μ≤1}有界.對(duì)任意的u∈V，t∈[0,1]，有

u(t)=μTu(t)，u′(t)=μ(Tu)′(t).

放縮得

|u(t)|+ρ2(t)|u′(t)|)，

|u(t)|+ρ2(t)|u′(t)|).

因此，

‖u‖≤

所以集合V是有界的.由引理2.7，算子T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即邊值問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)解.證畢.

定理3.3設(shè)f:(0,1)×R×R→R是連續(xù)函數(shù)，且存在非負(fù)連續(xù)函數(shù)γ1，γ2，使得

|f(t，u1，v1)-f(t，u2，v2)|≤

γ1(t)|u1-u2|+γ2(t)|v1-v2|，

t∈[0,1]，ui，vi∈R，i=1，2.

且滿足

則邊值問(wèn)題(1)有唯一解.

Br={u∈E:‖u‖≤r}，

其中

先證T(Br)?Br.對(duì)任意的u∈Br，有

同理

因此‖Tu‖≤r.

另一方面，對(duì)任意的u,v∈Br，t∈[0,1]，有

同理

則

4 例 子

例4.1考慮邊值問(wèn)題

f(t，u，u′)=k1(t)sinu+k2(t)sinu′+g(t).

計(jì)算可得

M1=1，M2=1.6150，

A1=1.3823，A2=2.2384.

又因?yàn)?/p>

|f(t，u，u′)|≤|k1(t)||u|+

|k2(t)||u′|+|g(t)|，

由定理3.2，只要

該邊值問(wèn)題就至少存在一個(gè)解.

例4.2考慮邊值問(wèn)題

計(jì)算可得

M1=1，M2=1.3540.

A1=0.3893，A2=0.5442.

另外，我們有

|f(t，u，u′)-f(t，v，v′)|≤

取

則有

0.6601<1.

由定理3.3，該邊值問(wèn)題有唯一解.