基于積分方法的外掠平板湍流溫度場的解析解

李開勇, 趙 波, 王翼鵬

(四川大學機械工程學院 空天動力燃燒與冷卻教育部工程研究中心, 成都 610065)

1 引 言

外掠平板湍流流動特性是研究湍流傳熱特性的基本問題之一，具有重要的理論意義和工程應用價值，比如航空發(fā)動機中高溫部件的冷卻，以及飛機機翼和高超音速航天器表面冷卻等[1-4]. 前人對外掠平板湍流問題的研究主要采用試驗和數(shù)值仿真分析的方法[5-11]，采用理論研究方法的文獻還相對較少，主要包括：Sehulz-Jander[12]針對可壓縮湍流邊界層問題，用Walz處理湍流流場的積分方法來確定熱邊界層，但需熱流密度的積分作為已知邊界條件. Thomas[13]采用van-Driest壁面定律，用積分法研究了湍流外掠平板的對流換熱. Mautner[14]將非定常流動動量方程通過相似變換轉(zhuǎn)化為無量綱形式，提出一種動量積分方程的計算方法，但需壁面切應力作為輸入條件. Sucec[15]考慮尾流效應，采用積分法求解動量和能量方程，與不考慮尾流區(qū)影響相比，除嚴重的逆壓力梯度情況外，計算結(jié)果一致度較好. Khademi[16-17]利用積分法，將湍流邊界層劃分為層流底層和湍流核心區(qū)，并采用多項式對速度場和溫度場加以近似，但實際計算中收斂性相對較差. 上述研究大多模型復雜、計算量大，或依賴先期試驗結(jié)果獲得輸入?yún)?shù)，難以獲得一致的溫度場. 本文在前人研究基礎(chǔ)上，將湍流溫度邊界層劃分為層流底層和湍流核心區(qū)，分別采用三次多項式和1/5次冪函數(shù)代表它們的溫度分布，利用積分方法獲得湍流熱邊界層溫度場的解析解，與以往的試驗和理論模型對比表明，本文提出的理論解具有較好的一致性，便于工程應用.

2 理論數(shù)學模型

2.1 能量積分方程組

圖1為外掠平板湍流溫度邊界層示意，將其劃分為層流底層和湍流核心區(qū)[18-19]，并假設(shè)：不可壓縮流體且物性參數(shù)為常數(shù)，零壓力梯度，忽略耗散熱，湍流從層流末端開始，取臨界雷諾數(shù)5×105[16-17]，在湍流初始處(x=0)湍流邊界層中的層流底層厚度為零，湍流溫度邊界層的總厚度Δ*與該臨界位置處層流溫度邊界層厚度相等[14]，如圖1.

圖1 外掠平板湍流溫度邊界層示意圖Fig.1 Schematic of turbulent thermal boundary layer flows over a flat plate

圖2為湍流控制體積示意圖，區(qū)域1-2-3-4為層流底層，3-4-5-6為湍流核心區(qū)，l是流體厚度，dx是沿x方向微元. 采用與層流邊界層完全類似的積分方法[14-15]，得能量積分方程如下

(1)

式中ρ為流體密度，cP為定壓比熱容，μ為動力粘度，λ是導熱系數(shù)，T和u為主流區(qū)流速和溫度，Ts為壁面溫度，u1和T1、u2和T2分別為層流底層、湍流核心區(qū)的速度和溫度，uL和TL分別為速度和溫度邊界層中層流底層外緣處的速度和溫度，δ1(Δ1)是速度(溫度)邊界層中層流底層厚度，δ(Δ)是湍流速度(溫度)邊界層的總厚度，如圖1和圖2. 需特殊說明的是，因dx極小，認為dx距離內(nèi)溫度邊界層層流底層厚度沿x方向不變，并忽略速度和溫度邊界層中層流底層處的速度差異.

圖2 外掠平板湍流的控制體積Fig.2 The control volume of turbulent flows over a flat plate

2.2 溫度分布函數(shù)

認為湍流邊界層沿x方向具有相似的速度和溫度分布[14]，經(jīng)反復計算比較，決定采用三次多項式和1/5次冪函數(shù)分別代表層流底層和湍流核心區(qū)的速度和溫度分布：

(2)

(3)

式中θ=T-Ts, θ1=T1-Ts, θ2=T2-Ts, θ=T-Ts.

此外，湍流邊界層內(nèi)的邊界條件為：T1|y=0=Ts, T2|y=Δ=T,式中μt為湍流動力粘度，at為湍流熱擴散率. 根據(jù)普朗特混合長度理論，有其中l(wèi)=0.41y,而湍流熱擴散率取湍流普朗特數(shù)Prt=0.82[18]. 由上述邊界條件可確定溫度分布函數(shù)(3)的系數(shù)為和b5=Δ-1/5. 速度分布函數(shù)的詳細模型將另具文報道.

2.3 積分方程組求解

3 結(jié)果討論

3.1 溫度場的理論分布

圖3是本文溫度解析解與Blackwell[18]的試驗結(jié)果對比情況，發(fā)現(xiàn)無論在層流底層還是湍流核心區(qū)二者均符合得較好，最大相對誤差僅為0.2%.

圖3 本文溫度解析解與以往試驗結(jié)果比較Fig.3 Comparison between the proposed analytical solutions of temperature and the existing experiment measurements

由圖可見，溫度在近壁面區(qū)域變化極快，溫度梯度劇烈，隨著遠離壁面程度增加溫度梯度持續(xù)減小，直至主流區(qū)后溫度不再發(fā)生變化.

圖4是本文溫度解析解與普朗特-泰勒二層理論模型[18, 21]的對比情況，可見在y+≤100的范圍內(nèi)，本文解析解與普朗特-泰勒二層模型符合得較為滿意，包括在層流底層和湍流核心區(qū)交界處，二者最大相對誤差為3.7%.

圖4 本文解析解與普朗特-泰勒二層理論模型的比較Fig.4 Comparison between the proposed analytical solutions of temperature and the Prandtl-Taylor's turbulent two-layer theoretical model

圖5給出對應不同位置的雷諾數(shù)(Re)變化時，溫度沿流體厚度方向的理論分布. 如圖，隨著湍流溫度邊界層的不斷發(fā)展，溫度邊界層逐漸變厚，層流底層和湍流核心區(qū)的溫度梯度也隨之減小.

圖5 雷諾數(shù)變化時的溫度理論分布Fig.5 Temperature fields for different Reynolds numbers

3. 2 對熱換熱特性分析

圖6 本文解析解確定的斯坦頓數(shù)與試驗比較Fig.6 Comparison between the proposed analytical solutions of Stanton numbers and the existing experiment measurements

4 結(jié) 論

利用積分方法，將湍流溫度邊界層劃分為層流底層和湍流核心區(qū)兩部分，分別采用三次多項式和1/5次冪函數(shù)對溫度分布進行描述，針對外掠平板湍流溫度場進行理論研究，建立了溫度邊界層的能量積分方程，通過四階龍格-庫塔算法獲得溫度場的解析解，并與以往的試驗、理論和經(jīng)驗結(jié)果進行了對比驗證分析. 結(jié)果表明，本文獲得的溫度場解析解與Blackwell試驗、普朗特-泰勒二層理論模型和Moffat和Kays的St數(shù)試驗結(jié)果最大相對誤差分別為0.2%、3.7%和7.6%，證明了理論模型的準確性. 此外，該模型還有易于計算、便于使用等優(yōu)點，同時為后續(xù)多孔表面的噴注/吸出等邊界層控制、氣膜和發(fā)散冷卻等對流換熱特性研究奠定了理論基礎(chǔ).