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    基于積分方法的外掠平板湍流溫度場的解析解

    2020-06-03 10:55:50李開勇王翼鵬
    四川大學學報(自然科學版) 2020年3期
    關(guān)鍵詞:層流邊界層核心區(qū)

    李開勇, 趙 波, 王翼鵬

    (四川大學機械工程學院 空天動力燃燒與冷卻教育部工程研究中心, 成都 610065)

    1 引 言

    外掠平板湍流流動特性是研究湍流傳熱特性的基本問題之一,具有重要的理論意義和工程應用價值,比如航空發(fā)動機中高溫部件的冷卻,以及飛機機翼和高超音速航天器表面冷卻等[1-4]. 前人對外掠平板湍流問題的研究主要采用試驗和數(shù)值仿真分析的方法[5-11],采用理論研究方法的文獻還相對較少,主要包括:Sehulz-Jander[12]針對可壓縮湍流邊界層問題,用Walz處理湍流流場的積分方法來確定熱邊界層,但需熱流密度的積分作為已知邊界條件. Thomas[13]采用van-Driest壁面定律,用積分法研究了湍流外掠平板的對流換熱. Mautner[14]將非定常流動動量方程通過相似變換轉(zhuǎn)化為無量綱形式,提出一種動量積分方程的計算方法,但需壁面切應力作為輸入條件. Sucec[15]考慮尾流效應,采用積分法求解動量和能量方程,與不考慮尾流區(qū)影響相比,除嚴重的逆壓力梯度情況外,計算結(jié)果一致度較好. Khademi[16-17]利用積分法,將湍流邊界層劃分為層流底層和湍流核心區(qū),并采用多項式對速度場和溫度場加以近似,但實際計算中收斂性相對較差. 上述研究大多模型復雜、計算量大,或依賴先期試驗結(jié)果獲得輸入?yún)?shù),難以獲得一致的溫度場. 本文在前人研究基礎(chǔ)上,將湍流溫度邊界層劃分為層流底層和湍流核心區(qū),分別采用三次多項式和1/5次冪函數(shù)代表它們的溫度分布,利用積分方法獲得湍流熱邊界層溫度場的解析解,與以往的試驗和理論模型對比表明,本文提出的理論解具有較好的一致性,便于工程應用.

    2 理論數(shù)學模型

    2.1 能量積分方程組

    圖1為外掠平板湍流溫度邊界層示意,將其劃分為層流底層和湍流核心區(qū)[18-19],并假設(shè):不可壓縮流體且物性參數(shù)為常數(shù),零壓力梯度,忽略耗散熱,湍流從層流末端開始,取臨界雷諾數(shù)5×105[16-17],在湍流初始處(x=0)湍流邊界層中的層流底層厚度為零,湍流溫度邊界層的總厚度Δ*與該臨界位置處層流溫度邊界層厚度相等[14],如圖1.

    圖1 外掠平板湍流溫度邊界層示意圖Fig.1 Schematic of turbulent thermal boundary layer flows over a flat plate

    圖2為湍流控制體積示意圖,區(qū)域1-2-3-4為層流底層,3-4-5-6為湍流核心區(qū),l是流體厚度,dx是沿x方向微元. 采用與層流邊界層完全類似的積分方法[14-15],得能量積分方程如下

    (1)

    式中ρ為流體密度,cP為定壓比熱容,μ為動力粘度,λ是導熱系數(shù),T和u為主流區(qū)流速和溫度,Ts為壁面溫度,u1和T1、u2和T2分別為層流底層、湍流核心區(qū)的速度和溫度,uL和TL分別為速度和溫度邊界層中層流底層外緣處的速度和溫度,δ1(Δ1)是速度(溫度)邊界層中層流底層厚度,δ(Δ)是湍流速度(溫度)邊界層的總厚度,如圖1和圖2. 需特殊說明的是,因dx極小,認為dx距離內(nèi)溫度邊界層層流底層厚度沿x方向不變,并忽略速度和溫度邊界層中層流底層處的速度差異.

    圖2 外掠平板湍流的控制體積Fig.2 The control volume of turbulent flows over a flat plate

    2.2 溫度分布函數(shù)

    認為湍流邊界層沿x方向具有相似的速度和溫度分布[14],經(jīng)反復計算比較,決定采用三次多項式和1/5次冪函數(shù)分別代表層流底層和湍流核心區(qū)的速度和溫度分布:

    (2)

    (3)

    式中θ=T-Ts, θ1=T1-Ts, θ2=T2-Ts, θ=T-Ts.

    此外,湍流邊界層內(nèi)的邊界條件為:T1|y=0=Ts, T2|y=Δ=T,式中μt為湍流動力粘度,at為湍流熱擴散率. 根據(jù)普朗特混合長度理論,有其中l(wèi)=0.41y,而湍流熱擴散率取湍流普朗特數(shù)Prt=0.82[18]. 由上述邊界條件可確定溫度分布函數(shù)(3)的系數(shù)為和b5=Δ-1/5. 速度分布函數(shù)的詳細模型將另具文報道.

    2.3 積分方程組求解

    3 結(jié)果討論

    3.1 溫度場的理論分布

    圖3是本文溫度解析解與Blackwell[18]的試驗結(jié)果對比情況,發(fā)現(xiàn)無論在層流底層還是湍流核心區(qū)二者均符合得較好,最大相對誤差僅為0.2%.

    圖3 本文溫度解析解與以往試驗結(jié)果比較Fig.3 Comparison between the proposed analytical solutions of temperature and the existing experiment measurements

    由圖可見,溫度在近壁面區(qū)域變化極快,溫度梯度劇烈,隨著遠離壁面程度增加溫度梯度持續(xù)減小,直至主流區(qū)后溫度不再發(fā)生變化.

    圖4是本文溫度解析解與普朗特-泰勒二層理論模型[18, 21]的對比情況,可見在y+≤100的范圍內(nèi),本文解析解與普朗特-泰勒二層模型符合得較為滿意,包括在層流底層和湍流核心區(qū)交界處,二者最大相對誤差為3.7%.

    圖4 本文解析解與普朗特-泰勒二層理論模型的比較Fig.4 Comparison between the proposed analytical solutions of temperature and the Prandtl-Taylor's turbulent two-layer theoretical model

    圖5給出對應不同位置的雷諾數(shù)(Re)變化時,溫度沿流體厚度方向的理論分布. 如圖,隨著湍流溫度邊界層的不斷發(fā)展,溫度邊界層逐漸變厚,層流底層和湍流核心區(qū)的溫度梯度也隨之減小.

    圖5 雷諾數(shù)變化時的溫度理論分布Fig.5 Temperature fields for different Reynolds numbers

    3. 2 對熱換熱特性分析

    圖6 本文解析解確定的斯坦頓數(shù)與試驗比較Fig.6 Comparison between the proposed analytical solutions of Stanton numbers and the existing experiment measurements

    4 結(jié) 論

    利用積分方法,將湍流溫度邊界層劃分為層流底層和湍流核心區(qū)兩部分,分別采用三次多項式和1/5次冪函數(shù)對溫度分布進行描述,針對外掠平板湍流溫度場進行理論研究,建立了溫度邊界層的能量積分方程,通過四階龍格-庫塔算法獲得溫度場的解析解,并與以往的試驗、理論和經(jīng)驗結(jié)果進行了對比驗證分析. 結(jié)果表明,本文獲得的溫度場解析解與Blackwell試驗、普朗特-泰勒二層理論模型和Moffat和Kays的St數(shù)試驗結(jié)果最大相對誤差分別為0.2%、3.7%和7.6%,證明了理論模型的準確性. 此外,該模型還有易于計算、便于使用等優(yōu)點,同時為后續(xù)多孔表面的噴注/吸出等邊界層控制、氣膜和發(fā)散冷卻等對流換熱特性研究奠定了理論基礎(chǔ).

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