跨海橋梁高樁承臺(tái)波浪沖擊荷載概率模型

魏 凱，周 聰，徐 博

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁工程系，四川，成都 610031)

跨海橋梁作為“21 世紀(jì)海上絲綢之路”的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，起到互聯(lián)互通的作用，具有重要的戰(zhàn)略意義[1]。不同于陸地，復(fù)雜多變的海洋環(huán)境給橋梁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)帶來了新的挑戰(zhàn)[2－3]。高樁承臺(tái)作為常用的跨海橋梁基礎(chǔ)形式之一，廣泛應(yīng)用于東海大橋、杭州灣跨海大橋、港珠澳大橋等重大工程。極端波浪條件下，上部承臺(tái)結(jié)構(gòu)將承受強(qiáng)烈的波浪沖擊荷載作用[4]。2016 年臺(tái)風(fēng)“莫蘭蒂”期間，正在施工中的平潭海峽公鐵兩用跨海大橋高樁承臺(tái)就受到了極端波浪沖擊荷載作用。高樁承臺(tái)因?yàn)樯喜抠|(zhì)量大，側(cè)向剛度小，在波浪沖擊作用下，水平向的動(dòng)力響應(yīng)會(huì)明顯大于按照靜力方法算得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)[5]。結(jié)構(gòu)安全將因此受到嚴(yán)重威脅[6]。然而，目前關(guān)于極端波浪沖擊荷載時(shí)變規(guī)律的研究并不完善，難以對跨海橋梁高樁承臺(tái)的動(dòng)力分析提供有效指導(dǎo)。

蘭雅梅[7]研究發(fā)現(xiàn)，波浪作用于高樁承臺(tái)底部時(shí)的壓強(qiáng)分布與波浪周期、波陡及承臺(tái)凈空有關(guān)。任冰等[8]采用SOLA-VOF 方法，通過數(shù)值模擬，得到海洋平臺(tái)波浪沖擊荷載的時(shí)程曲線，主要針對波浪力的豎直分量，對水平分量的研究并不充分。

設(shè)計(jì)工作中，為簡化計(jì)算，許多規(guī)范都采用沖擊系數(shù)法計(jì)算波浪沖擊荷載的水平分量，如美國石油學(xué)會(huì)采用的(API 規(guī)范)[9]、挪威船級社采用的(DNV 規(guī)范)[10]、美國國家公路與運(yùn)輸學(xué)會(huì)標(biāo)準(zhǔn)采用的(AASHTO 規(guī)范)[11]。郭安薪等[12－13]基于水槽實(shí)驗(yàn)，提出了計(jì)算極端波浪作用下橋面板水平力、豎向力和彎矩最大值的解析公式，但上述方法均無法反映波浪沖擊荷載隨時(shí)間的變化歷程。

為反映波浪沖擊荷載隨時(shí)間變化的關(guān)系，波浪沖擊作用被修正為包含時(shí)間變量的形式[14]。Wienke等[15]把沖擊過程分為兩階段，并給出了各階段的波浪力時(shí)程和時(shí)間區(qū)間的理論計(jì)算公式。van Raaij等[14]通過擬合數(shù)值計(jì)算結(jié)果，提出了三段式時(shí)程模型描述海洋平臺(tái)受到的波浪沖擊荷載，并給出了各階段持續(xù)時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)值。這些研究雖然描述了波浪荷載的時(shí)程特性，但并未考慮波浪沖擊荷載顯著的隨機(jī)性，以均值、最大值等作為荷載代表值，無法準(zhǔn)確分析結(jié)構(gòu)可靠度。

Hattori 等[16]發(fā)現(xiàn)，波浪沖擊防波堤或直墻類結(jié)構(gòu)時(shí)，沖擊荷載峰值和沖擊上升段持續(xù)時(shí)間存在指數(shù)關(guān)系。但不同模型的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)存在較大差異。上述研究表明，采用概率方法描述隨機(jī)性明顯的波浪沖擊荷載更為合適。Copula 是一類將多個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布和他們各自的邊緣分布連接起來的函數(shù)[17]。Copula 函數(shù)能描述變量的相關(guān)性，且不受各變量的邊緣分布形式限制[18]。Serinaldi 等[19]就采用Copula 函數(shù)描述了波浪沖擊沿海橋梁橋面板時(shí)，沖擊荷載峰值和沖擊上升時(shí)間的關(guān)系。

因此，本文以跨海大橋高樁承臺(tái)為研究對象，通過試驗(yàn)和理論分析手段，開展如下工作：1) 進(jìn)行極端波浪沖擊高樁承臺(tái)尺縮模型的水槽試驗(yàn)；2) 基于試驗(yàn)結(jié)果，建立了波浪沖擊荷載時(shí)程模型，探明波浪沖擊荷載水平分量的時(shí)變規(guī)律；3) 以Copula理論為基礎(chǔ)，建立了沖擊荷載峰值和沖擊上升段持續(xù)時(shí)間的聯(lián)合概率模型。

1 高樁承臺(tái)波浪沖擊水槽試驗(yàn)

1.1 水槽試驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文以平潭海峽公鐵兩用跨海大橋所用的高樁承臺(tái)為研究對象。該承臺(tái)為36 m×24 m×13.5 m 的長方體，依據(jù)1∶90 的縮尺比加工試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。在西南交通大學(xué)深水大跨橋梁實(shí)驗(yàn)室的長60 m、寬2 m、高1.8 m 的中型波流水槽中開展波浪沖擊高樁承臺(tái)的模型試驗(yàn)。試驗(yàn)?zāi)Ｐ筒贾糜诰嘣觳C(jī)27.95 m 處，模型安裝如圖1 所示。水深取90 cm，模型凈空s(承臺(tái)底面與靜水面之間的距離)分別取0 cm、2 cm、4 cm。

圖1 模型安裝 Fig.1 Model installation

試驗(yàn)中入射波采用Strokes 五階波。為造出波峰尖而陡的非線性極端波浪，在試驗(yàn)中選取給定波高下的周期最短波陡最大的波浪條件。為此，首先對試驗(yàn)水槽進(jìn)行極端規(guī)則波浪條件率定，選取波高H為9 cm、12 cm、15 cm、18 cm、21 cm。通過不斷縮短波浪周期，直到造出的波浪達(dá)到破碎極限，繼續(xù)縮短則會(huì)造成波浪破碎，此周期即為該波高條件下的極端波浪周期率，得出的不同極端波浪條件下的波高、周期關(guān)系如式(1)。將選定的波高H代入式(1)，求得相應(yīng)波高條件下的最短周期T為0.91 s、1.04 s、1.15 s、1.25 s、1.35 s。

根據(jù)不同凈空、波浪條件組合確定15 組試驗(yàn)工況，如表1 所示。

選用采樣頻率為1000 Hz 的六分量測力天平采集模型受到的沖擊力水平分量。為獲得模型受波浪作用時(shí)的周圍液面變化情況，將采樣頻率為100 Hz的波高儀分別布置在承臺(tái)后方(WG4)及兩側(cè) (WG2、WG3) 10 cm 處。在空水槽測試中，將波高儀WG1安裝于WG4 前方2 m 處以監(jiān)測波浪條件，當(dāng)試驗(yàn)?zāi)Ｐ桶惭b就位后，將WG1 重新安裝于承臺(tái)前方40 cm 處。模型及儀器布置如圖2 所示。

本試驗(yàn)波浪條件符合Stokes 五階波浪理論，根據(jù)該理論計(jì)算波面歷時(shí)曲線并與空水槽試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，如圖3 所示。由圖知，對于試驗(yàn)采用的五種波浪條件，試驗(yàn)和理論的吻合較好，且波浪傳播的穩(wěn)定性高，波峰與波谷未發(fā)生明顯的抬升與下降情況，試驗(yàn)水槽可以滿足本文波浪試驗(yàn)要求。

表1 試驗(yàn)工況 Table 1 Experimental conditions

圖2 模型及儀器布置 Fig.2 Model and instrument layout

圖3 空水槽造波驗(yàn)證 Fig.3 Wave making verification of empty flume

1.2 數(shù)據(jù)處理

對各工況下試驗(yàn)穩(wěn)定段的波浪沖擊荷載時(shí)程進(jìn)行頻域分析。依據(jù)分析結(jié)果，分別以結(jié)構(gòu)自振的上限、下限頻率15.48 Hz 和12.44 Hz 為截?cái)囝l率，采用3 階Butterworth 低通濾波器進(jìn)行濾波，消除結(jié)構(gòu)自振干擾。由圖4 可知，當(dāng)截?cái)囝l率為結(jié)構(gòu)自振的下限頻率時(shí)，噪聲基本被過濾。因此，采用下限頻率的濾波結(jié)果。在波浪即將離開承臺(tái)時(shí)，水體作用于承臺(tái)后部，產(chǎn)生負(fù)向波浪力。由于波面下降，承臺(tái)快速與水體分離。因而，負(fù)向波浪力不僅數(shù)值較小，而且持續(xù)時(shí)間較短。同時(shí)，在負(fù)向波浪力中未見沖擊成分，故不納入考慮范圍。截取荷載時(shí)程中的正向部分，提取正向荷載時(shí)程中的沖擊荷載峰值、沖擊上升段持續(xù)時(shí)間及沖擊持續(xù)時(shí)間用于分析。

圖4 原始數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果對比 Fig.4 Raw data and filtered data was compared

2 波浪沖擊荷載時(shí)程模型

基于沖擊荷載峰值和沖擊上升段持續(xù)時(shí)間對截取的正向波浪沖擊荷載時(shí)程進(jìn)行歸一化處理。同一工況，不同來波的沖擊荷載時(shí)程形狀如圖5 所示。

為反映圖5 所示的沖擊荷載時(shí)變規(guī)律，將波浪沖擊荷載時(shí)程表示為沖擊荷載峰值Fxmax與時(shí)變函數(shù)f(tr,td,t)的乘積，基本形式如下：

式中：Fx(t)為隨時(shí)間變化的沖擊荷載；tr為沖擊上升段持續(xù)時(shí)間；td為沖擊持續(xù)時(shí)間。

如圖5 所示，同一工況下，不同來波歸一化后的沖擊荷載時(shí)程呈現(xiàn)明顯的不對稱性。進(jìn)一步觀察可發(fā)現(xiàn)波浪沖擊上升段的時(shí)程可采用三角函數(shù)的組合形式來近似，而下降段可采用冪函數(shù)來近似。因而，沖擊荷載的時(shí)變特性可表述為式(3)的分段函數(shù)形式。只需確定沖擊荷載峰值、沖擊上升段持續(xù)時(shí)間及沖擊持續(xù)時(shí)間即可確定沖擊過程。由圖3 可知，式(3)擬合效果較好。

圖5 歸一化的波浪沖擊荷載時(shí)程 Fig.5 Normalized time history curve of wave impact

為確定沖擊過程，對沖擊荷載峰值、沖擊上升段持續(xù)時(shí)間及沖擊持續(xù)時(shí)間進(jìn)一步研究。在已有研究基礎(chǔ)上，通過分析實(shí)驗(yàn)中的參數(shù)變量，發(fā)現(xiàn)沖擊荷載峰值主要與波峰高度ηmax(波峰距靜水面的高度)、承臺(tái)底面凈空s以及承臺(tái)迎水面寬度a相關(guān)。采用量綱分析法，確定沖擊荷載峰值計(jì)算公式：

式中：Cs為無量綱系數(shù)；ρ ga(ηmax-s)2為初始峰值。通過最小二乘法得到Cs的最佳估計(jì)值為0.374。

對于tr和td，分析它們的散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)二者存在較強(qiáng)正相關(guān)性，線性相關(guān)系數(shù)ρ= 0.9047，因而由沖擊上升段持續(xù)時(shí)間tr就可確定沖擊持續(xù)時(shí)間td。通過回歸分析可得式(5)：

將式(5)代入式(3)可得簡化的時(shí)變函數(shù)f：

由圖6 可知，沖擊荷載峰值和沖擊上升段持續(xù)時(shí)間均具有離散性，式(4)和式(5)無法對此進(jìn)行有效描述。若取Cs=1.6，雖能充分保證結(jié)構(gòu)的可靠性， 卻無法兼顧經(jīng)濟(jì)性。

圖6 沖擊荷載峰值和沖擊上升段持續(xù)時(shí)間的線性擬合 Fig.6 Linear fitting of impact maxima and rise time

同時(shí)，已有研究表明沖擊荷載峰值Fxmax與沖擊上升段持續(xù)時(shí)間tr并非完全獨(dú)立，存在一定的負(fù)相關(guān)性[20－21]。因而，采用Copula 函數(shù)建立沖擊荷載峰值Fxmax和沖擊上升段持續(xù)時(shí)間tr的聯(lián)合概率分布，以描述它們之間的聯(lián)系。

3 基于Copula 的波浪沖擊荷載概率模型

根據(jù)二元分布Sklar[22]定理，基于二維Copula理論的聯(lián)合概率模型如下：

式中，G(Fxmax)、T(tr)為H(Fxmax,tr)的邊緣分布。若G(Fxmax)、T(tr)連續(xù)，則C唯一確定。

3.1 邊緣分布

建立聯(lián)合概率模型需要確定沖擊荷載峰值和沖擊上升段持續(xù)時(shí)間的邊緣分布形式。先將它們進(jìn)行無量綱處理。沖擊荷載峰值的無量綱量可由式(4)直接寫出：

據(jù)試驗(yàn)可知，沖擊上升段持續(xù)時(shí)間與波高，波浪周期、承臺(tái)底部凈空有關(guān)。試驗(yàn)中，周期與波高采用了指定關(guān)系。在其他條件不變的情況下，沖擊上升段持續(xù)時(shí)間僅與周期和凈空有關(guān)，其無量綱量為：

式中：T為波浪周期；s為凈空；d為水深。

分別采用Gamma 分布、廣義極值(GEV)分布、Generalized Pareto(GP)分布、Inverse Gaussian 分布、Lognormal 分布、Rayleigh 分布、t-Location-Scale分布等對無量綱沖擊荷載峰值和無量綱沖擊上升段持續(xù)時(shí)間進(jìn)行擬合，運(yùn)用極大似然法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，結(jié)果如表2 和圖7 所示。

如圖7 所示，不同概率模型對無量綱沖擊荷載峰值和無量綱沖擊上升段持續(xù)時(shí)間的概率分布擬合效果參差不齊。采用K-S檢驗(yàn)遴選擬合度最高的概率分布模型。由表3 可知，無量綱沖擊荷載峰值滿足GEV 分布，其函數(shù)表達(dá)如下：

表2 概率密度函數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果 Table 2 Probability density function parameter estimation result

式中，k= 0.123，μ= 0.425，σ= 0.138。

由表4 可知，無量綱沖擊上升段持續(xù)時(shí)間最符合Beta 分布，其函數(shù)表達(dá)如下：

式中，a= 20.625，b= 67.031。

3.2 Copula 函數(shù)的確定

選取Gaussian Copula、t Copula、Frank Copula、Farile-Gumbel-Morgenstern (FGM) Copula、 AMH Copula等10種應(yīng)用廣泛的阿基米德Copula函數(shù)族，采用Bayes 方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)[23]，具體方法如下：

假 設(shè)Θ表 示 參 數(shù)θ= (θ1,θ2,…,θk)的 可 能 取值，則相應(yīng)的先驗(yàn)概率分布為pi=P(Θ=θi)。令ε為觀測結(jié)果，利用觀測結(jié)果修正參數(shù)θ的先驗(yàn)假定分布，依據(jù)條件概率公式可得：

圖7 不同聯(lián)合概率模型擬合結(jié)果對比 Fig.7 Fitting results of different joint probability model was compared

表3 無量綱沖擊荷載峰值各理論概率分布K-S 檢驗(yàn)結(jié)果 Table 3 K-S test results of different theoretical probability distributions of non-dimensional wave impact maxima

表4 無量綱沖擊荷載上升段持續(xù)時(shí)間各理論 概率分布K-S 檢驗(yàn)結(jié)果 Table 4 K-S test results of different theoretical probability distributions of non-dimensional rise time

將 先 驗(yàn)、后 驗(yàn) 概 率 分 別 記 為P′ (Θ=θi)和P′(Θ=θi)，則式(2)可寫為：

Θ的期望值即為參數(shù)θ的Bayes 估計(jì)結(jié)果：

連續(xù)分布情況下，假設(shè)θ為連續(xù)隨機(jī)變量，其先驗(yàn)概率密度函數(shù)為 ( )f θ′ ，則θ的先驗(yàn)概率表達(dá)為P(θi＜θ＜θ i+Δθ) =f′(θ)Δθ，經(jīng)觀測結(jié)果ε修正后，其后驗(yàn)概率如下：

則參數(shù)θ經(jīng)Bayes 更新后的估值如下：

通常，后驗(yàn)分布很難求得，數(shù)值方法常常是唯一可行和有效的方法?？刹捎肕onte Carlo 模擬(MCS)進(jìn)行大量模擬，最終得到后驗(yàn)概率的近似分布。各Copula 函數(shù)參數(shù)估計(jì)值如表5 所示。

采用均方根誤差法(RMSE)、AIC 信息準(zhǔn)則法、BIC 信息準(zhǔn)則法對Copula 函數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度評價(jià)，選取擬合度最高的Copula 函數(shù)。由表6 可知，F(xiàn)GM Copula 函數(shù)的擬合效果最佳，其函數(shù)形式如下：

式中，θ=-1 .0000。

表5 各Copula 函數(shù)參數(shù)估計(jì)值 Table 5 Estimated value of each Copula function parameters

表6 各Copula 函數(shù)的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果 Table 6 Test results of goodness of fit for different Copula functions

3.3 聯(lián)合概率分布

采用FGM Copula 函數(shù)建立無量綱沖擊荷載峰值與無量綱沖擊上升段持續(xù)時(shí)間的聯(lián)合概率模型。聯(lián)合概率密度和聯(lián)合概率分布如圖8 所示，聯(lián)合概率分布等值線如圖9 所示。

圖8 聯(lián)合概率密度及聯(lián)合概率分布 Fig.8 Joint probability density and joint probability distribution

圖9 聯(lián)合概率分布等值線 Fig.9 Contour of joint probability distribution

圖8(a)表示在波浪條件和結(jié)構(gòu)參數(shù)給定的情況下，不同的Fxmax和tr組合出現(xiàn)的概率，再通過波浪荷載時(shí)程模型，就可得到不同波浪沖擊荷載出現(xiàn)的概率。

由圖8(b)和圖9 可得，在波浪條件和結(jié)構(gòu)參數(shù)給定的情況下，F(xiàn)xmax和tr的組合在一個(gè)確定的累計(jì)概率下的取值范圍。Fxmax和tr在0.1～0.9 不同累計(jì)概率下的關(guān)系，均符合圖9 中對應(yīng)的等值線。

4 結(jié)論

為研究極端波浪作用于高樁承臺(tái)時(shí)波浪沖擊荷載水平分量的時(shí)變規(guī)律，進(jìn)行了以平潭海峽公鐵兩用跨海大橋?yàn)樵偷某呖s模型水槽實(shí)驗(yàn)。對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，提出了基于沖擊荷載峰值和沖擊上升段持續(xù)時(shí)間的波浪沖擊荷載時(shí)程模型。并對其中參數(shù)進(jìn)行分析，為描述沖擊過程的隨機(jī)性、沖擊荷載峰值與沖擊上升段持續(xù)時(shí)間的關(guān)系，基于Copula理論，建立了聯(lián)合概率模型。主要得到了以下結(jié)論：

(1) 承臺(tái)底部凈空為0 cm、2 cm、4 cm 時(shí)，波浪沖擊荷載水平分量的時(shí)程呈現(xiàn)明顯的不對稱性，采用分段函數(shù)進(jìn)行描述，其中上升段采用三角函數(shù)的組合形式，下降段采用冪函數(shù)形式。

(2) 波浪沖擊荷載具有明顯的隨機(jī)性，無量綱沖擊荷載峰值符合廣義極值分布，無量綱沖擊上升段持續(xù)時(shí)間符合Beta 分布。

(3) FGM Copula 函數(shù)能較好描述無量綱沖擊荷載峰值和無量綱沖擊上升段持續(xù)時(shí)間的聯(lián)合概率分布。

本研究探明了極端波浪作用下波浪沖擊荷載水平分量的時(shí)變特性，并對沖擊荷載峰值和沖擊上升段持續(xù)時(shí)間的隨機(jī)性進(jìn)行描述。對高樁承臺(tái)的波浪荷載設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析具有重要價(jià)值。