考慮柱縱向鋼筋屈曲特征的修正材料本構(gòu)模型

楊 紅，耿南鋒，劉子珅

(1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400045；2.山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室(重慶大學(xué))，重慶 400030)

震害現(xiàn)象和試驗結(jié)果表明[1-4]，縱向受力鋼筋屈曲是混凝土柱受力后期的重要非線性特征之一。屈曲是指鋼筋受拉屈服并經(jīng)歷一定塑性伸長后，反向受壓時逐漸彎曲并向外鼓出，且縱筋的彎曲程度隨柱頂側(cè)移變形加大而逐漸加重，保護(hù)層混凝土剝落后甚至可觀察到縱筋在塑性鉸區(qū)反復(fù)壓彎、拉直的現(xiàn)象?？v筋屈曲會導(dǎo)致鋼筋混凝土柱抗震性能退化、承載能力降低，嚴(yán)重時可能引起構(gòu)件失效，并使構(gòu)件的修復(fù)、加固極為困難[1,4]。

將構(gòu)件控制截面按纖維進(jìn)行離散化是目前計算鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)、構(gòu)件非線性反應(yīng)的常用細(xì)化有限元分析方法，此時，必須分別采用合理的單軸材料本構(gòu)模型準(zhǔn)確描述混凝土、鋼筋的滯回受力性能[4-6]。對于屈曲鋼筋，采用纖維模型進(jìn)行分析時一般通過將彎曲的鋼筋視為未彎曲的等效單軸材料，同時修正鋼筋應(yīng)力-應(yīng)變模型以考慮屈曲效應(yīng)的影響。因此，建立能正確反映屈曲導(dǎo)致的局部非線性特征影響的鋼筋等效材料本構(gòu)模型是有限元計算結(jié)果真實、合理的基礎(chǔ)。

一些學(xué)者對鋼筋的屈曲受力性能進(jìn)行了研究。Monti 等[7]、Rodriguez 等[8]、Bae 等[9]、Kashani 等[10]通過單根鋼筋的單調(diào)或循環(huán)加載試驗研究了長徑比、初始偏心等因素對鋼筋屈曲受力性能的影響；Dhakal 等[11]采用細(xì)化有限元法研究了長徑比、屈服強(qiáng)度對屈曲的影響；Zong 等[12]采用“彈簧支承梁”模型分析了初始缺陷、箍筋強(qiáng)度、縱筋屈服強(qiáng)度等的影響。

在試驗、有限元分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，研究者普遍采用的考慮縱筋屈曲影響的簡化方法是[7,11,13-19]，根據(jù)屈曲縱筋在相鄰兩層箍筋之間的軸向力P、軸向變形δ分別計算鋼筋的平均應(yīng)力(σ=P/As，As為鋼筋的名義截面面積)、平均應(yīng)變(ε=δ/L，L為屈曲鋼筋的初始長度)，并通過修正σ-ε關(guān)系以近似考慮屈曲對鋼筋本構(gòu)模型的影響(即將屈曲鋼筋等效為未彎曲的單軸材料)。Monti 等[7]根據(jù)試驗結(jié)果提出的模型計算公式較復(fù)雜；Dhakal 等[11]建立的考慮長徑比、屈服強(qiáng)度影響的模型僅適用于單調(diào)加載；Gomes和Appleton[13]提出的模型力學(xué)概念清楚，但模擬效果差(以下稱G-A 模型)；Akkaya 等[14]在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)模型并對其進(jìn)行了驗證；OpenSees 中的Reinforcing Steel 單軸材料本構(gòu)模型[15]通過引入β、r和γ三個參數(shù)對G-A 模型進(jìn)行了改進(jìn)，但其參數(shù)β在程序中被固定為1.0(無法調(diào)節(jié)屈曲開始點的位置)；Kunnath 等[16]建議的修正模型無法考慮屈服強(qiáng)度對應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響；楊紅等[17]為提高使用效率對Reinforcing Steel 模型進(jìn)行了改進(jìn)；文獻(xiàn)[18]通過改進(jìn)屈曲力學(xué)模型提出了修正的G-A 模型；Urmson 等[19]通過分析屈曲鋼筋中間截面的彎矩表達(dá)式(以應(yīng)變比 y/ε ε和長徑比L/d為變量)，對屈曲受壓的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變骨架曲線進(jìn)行了修正。此外，劉子珅等[20]對屈曲鋼筋的變形特征進(jìn)行了分析，提出了三種基于橫向撓度判斷鋼筋屈曲開始點的方法。邢國華等[21]研究銹蝕鋼筋混凝土柱的壓-剪-彎修正有限元模型時考慮了縱筋屈曲效應(yīng)的影響。

以上各種考慮屈曲影響的鋼筋材料本構(gòu)模型多是基于試驗結(jié)果建立σ-ε的經(jīng)驗公式，或是對數(shù)值分析結(jié)果進(jìn)行現(xiàn)象學(xué)總結(jié)獲得σ-ε的簡化曲線，且文獻(xiàn)[17－18]直接采用G-A 模型的兩個基本假定，均缺乏受力機(jī)理分析。本文以G-A 模型為基礎(chǔ)，通過對鋼筋屈曲受力模型各基本假定的合理性、誤差進(jìn)行分析，從變形、受力特征出發(fā)建立了力學(xué)概念明確、模擬效果更優(yōu)的考慮屈曲影響的鋼筋材料本構(gòu)模型修正方法。

1 屈曲鋼筋的循環(huán)加載試驗 與有限元模擬

文獻(xiàn)[17]完成了36 個原狀鋼筋試件(測試段未進(jìn)行任何加工處理)考慮屈曲的循環(huán)拉壓試驗，本文首先采用基于截面纖維模型和非線性桿單元的有限元模型對各試件的試驗進(jìn)行了模擬。

1.1 試驗方法

各試驗均在INSTRON 電液侍服單軸材料試驗機(jī)(如圖1(a)所示)上完成。各鋼筋試件直徑分別為 12 mm、14 mm、16 mm、18 mm、20 mm、22 mm共6 種；試件的試驗段長度分別為100 mm、 150 mm共2 種，共進(jìn)行了36 個試件的屈曲受力性能試驗。

試驗采用的三種加載方法分別為：“拉-壓相等循環(huán)加載”和“拉-壓不等循環(huán)加載”(分別反映不同軸壓比時柱縱筋的受力特征)、完全受拉的“拉-拉循環(huán)加載”(反映梁縱筋的受力特征)。由于研究對象為柱縱筋，故本文僅分析拉-壓相等、拉-壓不等的24 個試件。

各試件均采用位移控制加載，直至鋼筋斷裂。試驗過程中，通過傳感器采集了INSTRON 試驗機(jī)對試件施加的軸向力P，采用百分表分別測量了屈曲鋼筋沿豎向的長度變化量ΔL、 鋼筋跨中截面的橫向屈曲位移(見圖1(b))。

圖1 試驗裝置與屈曲鋼筋的橫向屈曲位移測量方法 Fig.1 Testing equipment and lateral buckling displacements measuring method of buckled steel bars

1.2 屈曲鋼筋的簡化力學(xué)模型與有限元模擬方法

觀察圖2(a)發(fā)現(xiàn)，屈曲后鋼筋構(gòu)件可視為由中間截面分開的上、下兩根桿件，塑性變形和損傷主要集中在桿件兩端，符合集中塑性鉸模型的受力特點(見圖2(b))。因此，參考Dhakal 等[11]以及Massone等[22]的做法，將屈曲鋼筋簡化為由跨中截面分開的兩個集中塑性鉸桿單元，如圖2(c)的“單元1”和“單元2”所示。

圖2 屈曲鋼筋有限元模型示意圖 Fig.2 Schematic of FEM model of a buckled steel bar

圖2(c)的有限元模型中，單元1 和單元2 均采用OpenSees 中的Beam With Hinges Element 模擬，單元中部定義為彈性，單元端部的p1l和p2l為塑性鉸長度，根據(jù)各試件的損傷特點，結(jié)合Massone 等[22]和Scott 等[23]的建議，計算時取lp1=lp2= 5d/6 (d為鋼筋的初始直徑)。

兩單元端部控制截面采用纖維模型定義，各纖維均采用OpenSees 中的Reinforcing Steel 材料模型。模型通過桿件大變形模擬鋼筋的屈曲受力特征，故定義Reinforcing Steel 材料模型時疲勞參數(shù)、屈曲參數(shù)均取為0。

1.3 有限元計算結(jié)果

圖3 為部分鋼筋試件的σ-ε試驗結(jié)果與有限元計算結(jié)果對比，圖中試件D12-150-1 的編號含義為：鋼筋直徑為12 mm、自由段長度為150 mm、試驗采用第一種加載方法(即拉-壓相等循環(huán)加載)，其他試件類似。由圖3 可見OpenSees 的模擬結(jié)果誤差小，這確保了有限元計算結(jié)果的合理性。有限元模擬存在的主要誤差是在后期的循環(huán)加載過程中與最大拉應(yīng)變對應(yīng)的平均應(yīng)力值略大于試驗實測結(jié)果，主要是由于Reinforcing Steel 材料本構(gòu)的疲勞參數(shù)已設(shè)為0，未考慮鋼筋因低周疲勞損傷導(dǎo)致的強(qiáng)度衰減。

圖3 鋼筋試件σ-ε 曲線的試驗與有限元計算結(jié)果對比 Fig.3 Comparison of experimental and computational σ-ε curves of steel bar specimens

圖4 為部分試件跨中截面的橫向屈曲位移的有限元計算結(jié)果與試驗測量結(jié)果對比，兩者的曲線形狀、峰值和谷值大小基本相同，這進(jìn)一步證明了有限元模擬結(jié)果的有效性。因此，有限元計算得到的每循環(huán)最大拉、壓平均應(yīng)變對應(yīng)的中間節(jié)點側(cè)向位移值較為準(zhǔn)確(與試驗結(jié)果相比差異小)，說明該有限元模型可以較真實地再現(xiàn)隨著加載位移幅值增大(或橫坐標(biāo)“數(shù)據(jù)采集點序列”逐漸加大)，鋼筋中間節(jié)點的側(cè)向位移峰值不斷增大(或鋼筋彎曲程度逐漸加重)的特征。

圖4 鋼筋試件屈曲橫向位移曲線試驗與計算結(jié)果對比 Fig.4 Comparison of experimental and computational lateral buckling displacement curves of steel bar specimens

2 G-A 模型的計算公式與基本假定

G-A 模型[13]有明確的力學(xué)概念，故本文以G-A模型為基礎(chǔ)對屈曲鋼筋的σ-ε模型進(jìn)行改進(jìn)。

如圖5 所示，G-A 模型是以相鄰兩箍筋之間縱筋屈曲后的塑性機(jī)構(gòu)平衡為基礎(chǔ)建立的簡化理論分析模型，圖中L為鋼筋的初始長度，δ為鋼筋端部縱向位移，θ為剛性轉(zhuǎn)角，w為中間節(jié)點的橫向位移。

圖5 屈曲縱筋的受力平衡關(guān)系[13] Fig.5 Equilibrium relationship of a buckled bar[13]

忽略鋼筋軸向變形，w、δ和θ之間的幾何關(guān)系為：

忽略高階無窮小項，由式(1)和式(2)可得：

G-A 模型假定屈曲鋼筋的塑性變形全部集中在端部截面與中間截面，且均為全截面塑性狀態(tài)，式中Mp為鋼筋的截面塑性彎矩。將鋼筋視為圓形截面并忽略軸力作用，可以得到：

式中：Zp為截面的塑性模量；σy為鋼筋的屈服強(qiáng)度；d為鋼筋直徑。

由式(4)和式(5)可得：

將相鄰箍筋間屈曲縱筋的平均應(yīng)變定義為ε=δ/L，平均應(yīng)力定義為σ=P/As，則不考慮軸力影響時有：

將式(7)用于整體σ-ε關(guān)系曲線時，其中的應(yīng)力是以零應(yīng)力點為參考的，即ε-ε0，其中ε0為零應(yīng)力點處的應(yīng)變。因此，σ-ε關(guān)系可變換為：

如果計算屈曲鋼筋中間截面塑性彎矩時考慮軸力的作用，則可以得到：

故考慮軸力的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變關(guān)系為：

Gomes和Appleton[13]通過比較考慮和不考慮軸力與彎矩間相互作用時的σ-ε骨架曲線發(fā)現(xiàn)，ε較小時兩種方法的計算結(jié)果有一定差別，但ε較大時差別很小。因此原始G-A 模型采用了式(8)所示的簡化關(guān)系。

式(8)為G-A 模型給出的屈曲鋼筋應(yīng)力計算表達(dá)式的初始形式，為方便程序編制，一般可將其改寫為式(12)，其中Ω為原始G-A 模型的比例系數(shù)。

3 原始G-A 模型幾何關(guān)系的修正

3.1 對G-A 模型幾何關(guān)系的第一種修正方法

以處于圖6(a)所示某屈曲狀態(tài)的鋼筋為例，其頂端豎向位移δ、桿件軸向變形ε′均會引起中間節(jié)點側(cè)向位移，同時考慮兩類貢獻(xiàn)的中間節(jié)點側(cè)向位移在圖6 中用w′表示，并用Δw表示單元軸向變形對中間節(jié)點側(cè)向位移的影響。如圖6(b)所示，若不考慮軸向變形、僅在δ作用下，中間節(jié)點將產(chǎn)生側(cè)向位移GAw-(這即是G-A 模型的幾何關(guān)系基本假定)。在圖6(b)基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮單元軸向變形ε′影響，若桿件承受壓力，單元長度縮短將導(dǎo)致GAw-減小至w′，則wΔ 為負(fù)，如圖6(c)所示；若單元承受拉力、桿件長度伸長，將導(dǎo)致GAw-增加至w′，則Δw為正(見圖6(d))。因此，可用 Δw/w0表示ε′對中間節(jié)點側(cè)向位移w0的貢獻(xiàn)。

圖6 中間節(jié)點側(cè)向位移的構(gòu)成示意 Fig.6 Composition of lateral displacement of mid-span node

提取各試件的有限元計算結(jié)果后，可按式(12)～式(14)計算 0/w wΔ ，其中0w為圖2(c)所示有限元模型中間節(jié)點2 的側(cè)向位移的數(shù)值計算結(jié)果。

根 據(jù) 計 算 結(jié) 果 繪 制ε/εy- Δw/w0和ε/εy-wG-A/w0關(guān)系曲線，結(jié)果如圖7 所示。可見，兩試件的 Δw/w0和wG-A/w0隨應(yīng)變比ε/εy的變化規(guī)律是類似的，當(dāng)ε/εy較小時，Δw/w0為負(fù)值，且絕對值很大，說明屈曲鋼筋軸向壓縮使跨中側(cè)向位移在GAw-的基礎(chǔ)上明顯減?。浑S著加載的進(jìn)行(y/ε ε增大)，ε′對0w的影響逐漸減小，頂端節(jié)點的豎向位移δ(或平均應(yīng)變ε)成為決定0w的主要因素。與D20-100-1 相比，試件D20-100-2 的 0/w wΔ由負(fù)值轉(zhuǎn)為正值所對應(yīng)的 y/ε ε更小。

圖8 為拉-壓相等、拉-壓不等循環(huán)加載下典型試件的 y/ε ε-0/w wΔ 關(guān)系計算結(jié)果匯總。圖8 表明，隨長徑比增加，相同 y/ε ε對應(yīng)的 0/w wΔ 值一般相應(yīng)增大。在圖8(a)中，拉-壓相等循環(huán)加載試件的軸向變形ε′僅在最后幾級加載過程中使跨中側(cè)向位移有少量增加，其他多數(shù)時刻ε′均使跨中側(cè)向位移變小。圖8(b)中，拉-壓不等試件隨長徑比增加，軸向壓縮變形的貢獻(xiàn)減小、軸向拉伸變形的貢獻(xiàn)增大，y/ε ε較大時ε′對加大跨中側(cè)向位移的貢獻(xiàn)明顯增大。

圖7 屈曲鋼筋的 ε /ε y- Δw /w0和 ε /ε y- wG - A /w0關(guān)系 Fig.7 Relationship of ε /ε y- Δw /w0 and ε /ε y - wG - A /w0 of buckled steel bars

圖8 典型鋼筋試件的 y/ε ε - 0/w wΔ 關(guān)系 Fig.8 y/ε ε - 0/w wΔ relationship of representative specimens

綜合圖7 和圖8 的分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，拉-壓相等試件與拉-壓不等試件的屈曲變形特征存在差異。與 拉-壓不等試件相比，拉-壓相等試件屈曲程度較小時軸向壓縮對0w減少的貢獻(xiàn)相對更大、屈曲程度較大時軸向拉伸對0w增加的貢獻(xiàn)相對更小。與拉-壓不等試件的計算結(jié)果相比，y/ε ε較小時拉-壓相等試件通過G-A 模型的幾何關(guān)系基本假定計算得到的wG-A與OpenSees 計算得到的w0差距更大，ε/εy較大時wG-A與w0更接近。

由于從理論上推導(dǎo)GAw-與0w的關(guān)系較為復(fù)雜，本文根據(jù)上述計算結(jié)果，考慮長徑比 /L d的影響，經(jīng)回歸分析，得到了0/w L與GA/wL- 的關(guān)系式(用于后文修正G-A 模型的GAw-)，見式(15)和式(16)，其回歸效果如圖9 所示，圖中直線為6 種不同 /L d取值的回歸公式計算結(jié)果。

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

圖9 屈曲鋼筋的 wG - A /L 與 w0 /L 關(guān)系回歸結(jié)果 Fig.9 Regression result of relationship between wG - A /L and w0 /L of buckled steel bars

3.2 對G-A 模型幾何關(guān)系的第二種修正方法

采用圖10 所示方法也可修正屈曲鋼筋的幾何特征。如圖10(d)所示，頂端節(jié)點豎向位移δ由兩部分組成：一是由桿件軸向變形ε′引起的豎向位移δΔ ，如圖10(b)所示；二是由中間節(jié)點側(cè)向位移0w引起的豎向位移latδ，如圖 10(c)所示。因此有δ=δlat+Δδ(見圖10(d))。若桿件承受壓(拉)力、長度縮短(伸長)，則Δδ為負(fù)(正)。因此，可根據(jù)δlat/δ和 Δδ/δ的計算結(jié)果分析屈曲鋼筋頂部端節(jié)點豎向位移的組成方式。

提取有限元計算結(jié)果，并按下式計算δlat/δ和Δδ/δ，其中δ為圖2(c)所示有限元模型頂端節(jié)點3 的豎向位移的數(shù)值計算結(jié)果。

圖10 頂端節(jié)點縱向位移的構(gòu)成示意 Fig. 10 Composition of longitudinal displacement of top node

圖11 為根據(jù)計算結(jié)果繪制的ε/εy-δlat/δ和ε/εy- Δδ/δ關(guān)系曲線。圖11 表明，ε/εy較小時，頂端節(jié)點豎向位移δ主要由軸向變形ε′提供；隨著屈曲程度增加、中間節(jié)點側(cè)向位移0w增大，0w對δ的貢獻(xiàn)逐漸增加，在中、后期甚至?xí)穰摩?反向(δΔ ＜0)，這是桿件產(chǎn)生較大不可恢復(fù)塑性拉伸變形導(dǎo)致的。

圖11 屈曲鋼筋的 y/ε ε - lat /δ δ 和 y/ε ε - /δ δΔ 關(guān)系 Fig.11 Relationship of y/ε ε - lat /δ δ and y/ε ε - /δ δΔ of buckled steel bars

圖12 為典型試件的ε/εy- Δδ/δ關(guān)系計算結(jié)果匯總。對拉-壓相等試件而言，長徑比較小(L/d＜8)的試件，桿件軸向變形ε′對δ的貢獻(xiàn)隨ε/εy增加而減小、Δw的貢獻(xiàn)則逐漸增大；中等長徑比(8＜ /L d＜11)試件，ε′對δ的貢獻(xiàn)隨 y/ε ε增加而增大；較大長徑比( /L d＞11)試件，ε′主要為拉長，對δ的影響隨 y/ε ε加大而增加。與拉-壓相等試件相比，拉-壓不等試件經(jīng)歷的拉應(yīng)變相對更大，故同一循環(huán)受拉、受壓產(chǎn)生的軸向變形的差值更大，因此在圖12(b)中，ε′更快地從壓縮轉(zhuǎn)變?yōu)槔L，且其對δ的貢獻(xiàn)也更大。

圖12 典型鋼筋試件的 y/ε ε - /δ δΔ 關(guān)系 Fig.12 y/ε ε - /δ δΔ relationship of representative specimens

拉-壓相等試件： 拉-壓不等試件：

圖13 屈曲鋼筋的 latε 與ε 關(guān)系回歸結(jié)果 Fig.13 Regression result of relationship between latε and ε of buckled steel bars

4 原始G-A 模型 pM 基本假定的修正

采用兩種方法對G-A 模型假定的屈曲鋼筋中間關(guān)鍵截面的全截面塑性彎矩 pM進(jìn)行修正。

4.1 對G-A 模型 pM 假定的第一種修正方法

G-A 模型按全截面塑性假定進(jìn)行計算，對于給定直徑和屈服強(qiáng)度的鋼筋來說，pM為一定值。

圖14 是兩個鋼筋試件 (直徑20 mm、 長度100 mm)的ε/εy-Mp/M0散點圖計算結(jié)果，其中M0是按圖2(c)所示有限元模型計算所得的屈曲鋼筋跨中截面彎矩，pM則按G-A 模型給出的式(5)進(jìn)行計算。圖14 表明，單根鋼筋循環(huán)加載時鋼筋截面是逐漸進(jìn)入塑性狀態(tài)的，其截面彎矩在加載過程中不斷變化，且在屈曲程度不嚴(yán)重(應(yīng)變比ε/εy小于4～6)時，Mp遠(yuǎn)大于M0(約為2 倍～6 倍)，可見Mp會導(dǎo)致明顯誤差，這與文獻(xiàn)[17]的理論分析結(jié)果是一致的，因此有必要對Mp進(jìn)行修正。

圖14 鋼筋試件的 y/ε ε - p 0/M M 散點圖 Fig.14 y/ε ε - p 0/M M scatter plot of specimens

根據(jù)各鋼筋試件的 y/ε ε-0p/M M計算結(jié)果，考慮應(yīng)變比和長徑比影響，經(jīng)回歸分析，可得到式(21)和式 (22)的修正方法，其散點圖和回歸效果如 圖15 所示，圖中曲線為5 種不同 /L d取值的回歸 公式計算結(jié)果。

圖15 典型鋼筋試件最大壓應(yīng)變處的 y/ε ε - 0 p/M M 關(guān)系 Fig.15 y/ε ε - 0 p/M M relationship at maximum compression strain of representative specimens

4.2 對G-A 模型 pM 假定的第二種修正方法

第二種方法仍沿用全截面塑性假定，但考慮軸力影響、中性軸位置的變化，經(jīng)理論推導(dǎo)和回歸分析得到中間截面的彎矩修正系數(shù)。

G-A 模型按式(10)計算塑性彎矩 pM′時可考慮軸力的影響，其中θ取值與中性軸位置有關(guān)，故本文首先根據(jù)有限元計算結(jié)果對中性軸位置進(jìn)行分析。圖16 是屈曲鋼筋在各級加載循環(huán)下最大壓應(yīng)變處中間截面的應(yīng)力分布規(guī)律(圖中實線)，為方便回歸計算，可采用圖中虛線所示的簡化應(yīng)力分布進(jìn)行分析，可見中性軸位置并非如G-A 模型假定是固定的，隨著屈曲程度加重(或 y/ε ε加大)中性軸逐漸向y軸正向移動。

圖16 鋼筋試件最大壓應(yīng)變處截面應(yīng)力分布及簡化 Fig.16 Stress distribution and idealization along cross section at maximum compression strain of specimens

采用參數(shù)naxx定義中性軸位置，naxx等于中性軸距離鋼筋截面圓心的長度，統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)naxx主要與 y/ε ε和長徑比L/D有關(guān)，經(jīng)回歸分析，可得

如下中性軸位置naxx的計算式(式中r為鋼筋半徑)。 拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

將式(10)改寫為參數(shù)naxx的形式，則考慮軸力影響的 pM′修正表達(dá)式為：

將式(23)和式(24)代入式(26)，可得：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

由于考慮軸力影響的全截面塑性應(yīng)力分布與試件跨中截面的實際應(yīng)力分布形式(見圖16)仍存在一定差距(與各鋼筋纖維屈服后強(qiáng)化程度不同有關(guān))，為提高精度，本文引入修正系數(shù)α=M0/Mp′ ，并根據(jù)各鋼筋試件的有限元計算結(jié)果回歸得到了α的計算表達(dá)式：

因此，同時考慮中性軸位置變化、截面應(yīng)力分布特征的彎矩修正系數(shù)為ΩM2=α(Mp′ /Mp)。

5 G-A 模型σ-ε 關(guān)系式的修正

基于前文所述的方法，可對G-A 模型的幾何關(guān)系和跨中全截面塑性假定進(jìn)行修正。

1) 幾何關(guān)系修正

a) 跨中側(cè)向位移GAw-的修正系數(shù) wΩ

修正系數(shù)Ωw=w0/wG-A，將式(15)和式(16)分別代入 wΩ的定義式，可得：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

b) 頂端豎向平均應(yīng)變GAε-的修正系數(shù) εΩ

修正系數(shù)Ωε=εlat/ε，式中ε為按G-A 模型計算的平均應(yīng)變，將式(19)和式(20)分別代入 εΩ的定義式，可得：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

2) 跨中截面彎矩 pM的修正

a)pM的第一種修正方法(M1Ω)

彎矩Mp的修正系數(shù)ΩM1=M0/Mp，根據(jù)式(21)和式(22)以及 M1Ω的定義式，可得：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

b)pM的第二種修正方法(M2Ω )

彎矩Mp的修正系數(shù)ΩM2=αMp′ /Mp，根據(jù) 式(27)～式(29)以及 M2Ω的定義式，可得：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

在同一坐標(biāo)系下計算并繪制由上述4 個修正系數(shù)(Ω i,i=1, 2, 3, 4)得到的-ε曲線，并與G-A 模型、OpenSees 模擬結(jié)果、以及根據(jù)試驗數(shù)據(jù)得到的σ-ε曲線進(jìn)行比較，可對比、判斷四種修正系數(shù)的效果。圖17 以拉-壓相等循環(huán)加載的鋼筋試件18-150-1、拉壓不等試件18-150-2 為例給出了計算結(jié)果的對比，圖中虛線為試驗所得屈曲鋼筋的σ-ε滯回曲線，粗黑點為各級加載循環(huán)下與最大壓應(yīng)變對應(yīng)的平均應(yīng)力試驗結(jié)果。

圖17 各方法修正的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變骨架線對比 Fig.17 Comparison of average stress-strain skeleton curves modified by different methods

因此，對于原始G-A 模型的σ-ε關(guān)系(式(12))，本文建議采用如下方法進(jìn)行修正：

拉-壓相等試件：

拉-壓不等試件：

式中：εΩ按式(32)、式(33)計算；M1Ω按式(34)、式(35)進(jìn)行計算。

6 修正G-A 模型的程序?qū)崿F(xiàn)及校核

如前所述，Kunnath 等[16]以及文獻(xiàn)[17－18]建議的修正方法并未考慮G-A 模型的理論誤差，其修正方法是基于現(xiàn)象學(xué)而提出，引入的參數(shù)缺乏受力機(jī)理分析。本文基于屈曲鋼筋的變形規(guī)律、受力特征提出了修正G-A 模型。

6.1 修正G-A 模型的程序?qū)崿F(xiàn)

在OpenSees 平臺上，定義新的單軸材料模型Modified G-A Steel Material，通過編制相應(yīng)的子程序?qū)⑿拚鼼-A 模型在OpenSees 中予以實現(xiàn)。

OpenSees 的單軸材料模型Reinforcing Steel Material 可考慮屈曲效應(yīng)[15]，其采用的是Kunnath 等建議的基于原始G-A 模型的修正屈曲模型[16]。文獻(xiàn)[17]為方便使用將Reinforcing Steel Material 模型的三個外部輸入?yún)?shù)(β、r和γ)簡化為一個參數(shù)。經(jīng)試算后本文發(fā)現(xiàn)，對于一些試件，這種方法計算得到的平均應(yīng)力在第三、四象限(反向受壓的加載過程)退化過于嚴(yán)重，故本文在編制修正G-A 模型的子程序時除采用參數(shù)β用于調(diào)整屈曲骨架線與未屈曲σ-ε骨架線的交點位置外，還保留了參數(shù)r，將其用于調(diào)節(jié)屈曲骨架線與未屈曲骨架線之間的位置。

6.2 修正G-A 模型的校核

在OpenSees 平臺上，分別采用文獻(xiàn)[17]的屈曲鋼筋循環(huán)拉壓試驗、Monti 等的試驗[7]得到的σ-ε曲線試驗結(jié)果(詳見圖18～圖19 中的虛線)，對本文建議的修正G-A 模型進(jìn)行了校核。

建立有限元模型時，屈曲鋼筋采用桁架單元(Truss)單元模擬，截面劃分時將鋼筋定義為單根纖維(Fiber)，鋼筋纖維則分別采用三種單軸材料模型進(jìn)行定義，即原始G-A 模型、Reinforcing Steel Material 模型(后文圖中表示為“RSM 模型模擬”)以及Modified G-A Steel Material(即修正G-A模型)，各單軸材料模型除了考慮屈曲效應(yīng)外，還采用相同的方法和參數(shù)取值考慮了低周疲勞效應(yīng)。

圖18 基于文獻(xiàn)[17]屈曲鋼筋試驗結(jié)果的σ-ε曲線模擬結(jié)果對比 Fig.18 Comparison of computational σ-ε curves based on experiments of buckled steel bars in reference [17]

圖19 基于文獻(xiàn)[7]屈曲鋼筋試驗結(jié)果的σ-ε曲線模擬結(jié)果對比 Fig.19 Comparison of computational σ-ε curves based on experiments of buckled steel bars in reference [7]

圖18～圖19為部分不同長徑比鋼筋試件的有限元計算結(jié)果與試驗結(jié)果對比。文獻(xiàn)[17]的相關(guān)材料參數(shù)取值見前文。對于Monti 等的試驗[7]，根據(jù)文獻(xiàn)[7]給出的相關(guān)材料參數(shù)取值，有限元計算時Esh=0.04Es，εsh=0.01。由于Monti 等的試驗[7]缺乏部分確定低周疲勞模型的相關(guān)參數(shù)(如鋼筋直徑)， 其有限元分析暫忽略疲勞效應(yīng)的影響，這導(dǎo)致有限元模擬結(jié)果的誤差有所增大。Reinforcing Steel Material 模型的源程序中參數(shù)β在被固定為1.0，用戶無法調(diào)節(jié)屈曲開始點的位置，且參數(shù)r和γ對卸載及反向受拉段的平均應(yīng)力-平均應(yīng)變曲線的調(diào)整相互影響，故圖18～圖19 的RSM 模型計算結(jié)果均是經(jīng)過反復(fù)試算后所得到的最優(yōu)結(jié)果。

圖18 與圖19 的對比結(jié)果表明，原始G-A 模型的模擬結(jié)果較差，特別是 /L d較小的試件，在第三、四象限模擬結(jié)果與試驗結(jié)果差別較大；Reinforcing Steel Material 模型的模擬效果相對于G-A 模型有明顯改善，但仍存在不可忽視的誤差；修正G-A 模型不僅在每級循環(huán)最大壓應(yīng)變處模擬結(jié)果更準(zhǔn)確，而且從最大拉、壓應(yīng)變處卸載后反向再加載曲線也與試驗結(jié)果更吻合，顯然其模擬效果優(yōu)于前述兩個模型。

分析結(jié)果表明，修正G-A 模型效果最優(yōu)，但與試驗結(jié)果相比仍存在誤差，這與修正G-A 模型采用圖5 所示簡化三塑性鉸力學(xué)模型等有關(guān)，有待研究更合理的屈曲模型對其進(jìn)行改進(jìn)。應(yīng)用分析時，對L/d較小的鋼筋，建議采用修正G-A 模型；L/d較大時，若不需考察RC 試件受力后期的承載力退化規(guī)律，可采用更簡化的原始G-A 模型進(jìn)行計算。

7 結(jié)論

基于有限元分析結(jié)果，對G-A 模型的幾何關(guān)系和截面彎矩進(jìn)行修正，建立了屈曲鋼筋的修正材料模型。

(1) 有限元分析結(jié)果表明，屈曲鋼筋的跨中截面應(yīng)力分布與G-A 模型采用的全截面塑性基本假定差別較大。循環(huán)加載初期、應(yīng)變比較小時截面彎矩遠(yuǎn)小于全截面塑性彎矩 pM；加載后期部分纖維進(jìn)入強(qiáng)化，且中性軸向受壓側(cè)移動，其截面彎矩大于 pM。

(2) 可采用兩種方法修正G-A 模型采用的全截面塑性基本假定：① 基于彎矩比-應(yīng)變比有限元計算結(jié)果，經(jīng)回歸分析得到彎矩修正系數(shù)；② 沿用全截面塑性彎矩，但考慮中性軸位置變化、軸力影響等得到彎矩修正系數(shù)。

(3) G-A 模型的幾何關(guān)系忽略了軸向變形影響，導(dǎo)致屈曲鋼筋跨中側(cè)向位移計算結(jié)果存在明顯誤差。

(4) 可采用兩種方法修正G-A 模型的幾何關(guān)系：① 將屈曲鋼筋的中間節(jié)點側(cè)向位移分解為由頂端豎向位移引起的側(cè)移和由軸向變形引起的側(cè)移；② 將頂端豎向位移分解為由中間節(jié)點側(cè)向位移引起的變形、由軸向變形引起的變形兩部分。

(5) 多組屈曲鋼筋試驗的校核分析結(jié)果表明，修正G-A 模型的計算結(jié)果明顯優(yōu)于原始G-A 模型。