內(nèi)置有擋板的矩形水箱阻尼比估算方法比較分析

鐘文坤，吳玖榮

(廣州大學(xué)-淡江大學(xué)工程結(jié)構(gòu)災(zāi)害與控制聯(lián)合研究中心，廣州大學(xué)，廣東，廣州 510006)

調(diào)頻液體阻尼器(Tuned Liquid Damper, TLD)作為一種有效的減振耗能裝置，具有成本低、便于安裝等優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)被越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于船舶、航天、海洋平臺(tái)、高層建筑等領(lǐng)域[1―3]。當(dāng)水箱受到較大的外部激勵(lì)時(shí)，容器內(nèi)的水會(huì)發(fā)生較大幅度晃動(dòng)，而激勵(lì)頻率與水箱自振頻率接近時(shí)，水箱內(nèi)水的晃動(dòng)會(huì)更加劇烈，進(jìn)而會(huì)影響到結(jié)構(gòu)的使用功能。由于純水提供的粘性阻尼較小，不能較好地抑制水的晃動(dòng)，為克服這一缺點(diǎn)，可以通過(guò)在水箱內(nèi)部設(shè)置障礙物如格柵、擋板、立柱等來(lái)提高TLD系統(tǒng)的阻尼比[4―7]。但水箱內(nèi)安裝障礙物后，在水發(fā)生晃蕩時(shí)，產(chǎn)生的動(dòng)力特性會(huì)非常復(fù)雜[8―10]，所以如何較準(zhǔn)確地估算出水箱TLD 系統(tǒng)的阻尼比仍是我們值得深入研究的課題。

對(duì)于水箱TLD 系統(tǒng)的阻尼比估算，可以采用能量耗散原理和虛功原理兩種方法。而對(duì)于內(nèi)置有擋板的矩形水箱TLD 系統(tǒng)阻尼比估算，大多數(shù)學(xué)者基本上都是采用能量耗散原理進(jìn)行推導(dǎo)。Warnitchai 等[7]提出矩形水箱底部中央位置垂直安裝有單塊擋板的阻尼比估算公式，并與純水箱系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)內(nèi)置擋板可以較明顯提高水箱系統(tǒng)的阻尼比；Isaacson 等[11]分別推導(dǎo)了底部中央位置垂直安裝有單塊擋板和左右側(cè)壁水平對(duì)稱(chēng)安裝有一對(duì)擋板的矩形水箱線性阻尼比估算公式，分別研究了垂直擋板的高度、水平擋板的安置高度、水深比等因素對(duì)系統(tǒng)阻尼比的影響，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，表明所推導(dǎo)的公式具有較好的估算效果；Faltinsen 等[12]利用能量耗散率方法分別推導(dǎo)了底部中央位置垂直安裝有單塊擋板和左右側(cè)壁水平對(duì)稱(chēng)安裝有一對(duì)擋板的矩形水箱線性阻尼比估算公式，并與Isaacson 所推導(dǎo)的公式進(jìn)行了對(duì)比。Goudarzi 等[13]推導(dǎo)了底部垂直安裝有兩塊擋板和左右側(cè)壁水平安裝有一對(duì)擋板的矩形水箱線性阻尼比估算公式，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)研究了兩塊垂直擋板不同間距下的系統(tǒng)阻尼比。而利用虛功原理來(lái)估算水箱系統(tǒng)的阻尼比，主要集中對(duì)于內(nèi)置格柵的水箱。Tait 等[14]把矩形水箱視為等效彈簧-質(zhì)量-阻尼線性系統(tǒng)，推導(dǎo)了隨機(jī)激勵(lì)和正弦激勵(lì)下內(nèi)置有多塊格柵的等效線性阻尼比計(jì)算公式，并討論了不同水深比、不同激勵(lì)幅度下水箱系統(tǒng)等效阻尼比的大小變化；Deng 等[15]建立了TLD 水箱系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的可調(diào)諧等效線性力學(xué)模型，并推導(dǎo)出具有任意幾何形狀如平底矩形、垂直圓柱形、水平圓柱形等多種水箱系統(tǒng)的阻尼比估算公式；Love 等[16]利用線性等效模型和非線性四階模型分別研究了矩形水箱內(nèi)部置有多排的十字立柱對(duì)水箱系統(tǒng)阻尼比的影響，并推導(dǎo)出阻尼比的估算公式；同時(shí)為了改進(jìn)傳統(tǒng)的TLD減振性能，他還設(shè)計(jì)了由TMD 和TLD 組成的新型減振器，并推導(dǎo)了該系統(tǒng)的阻尼比計(jì)算公式[17]；Tsao 等[18]提出一種填充多孔介質(zhì)的新型TLD 系統(tǒng)，建立其等效的力學(xué)系統(tǒng)，并推導(dǎo)出其對(duì)應(yīng)的阻尼比計(jì)算方法，與經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式相比，該阻尼比計(jì)算方法更具為簡(jiǎn)便。以往研究者基本上均是單獨(dú)采用能量耗散原理或虛功原理方法推導(dǎo)水箱系統(tǒng)的阻尼比估算公式，但對(duì)于此兩種研究方法間的區(qū)別與聯(lián)系還少有學(xué)者進(jìn)行過(guò)研究，同時(shí)激頻比也是影響水箱系統(tǒng)阻尼比的一個(gè)重要參數(shù)，不能忽略。

基于此本文以某一矩形水箱為研究對(duì)象，假定水箱受到的底部外加激勵(lì)為正弦位移(加速度)激勵(lì)，利用能量耗散原理和虛功原理兩種方法，分別推導(dǎo)了底部安裝有多塊垂直擋板和左右側(cè)壁安裝有多組水平擋板的矩形水箱線性阻尼比估算公式，并與已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，還分析了激頻比對(duì)水箱系統(tǒng)阻尼比的影響。

1 基本理論

1.1 流體勢(shì)流理論

假定水是不可壓縮、無(wú)粘性及無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的理想流體，則由流體力學(xué)[19]可知，水箱內(nèi)液體的速度勢(shì)函數(shù)φ(x,y,z,t)滿足拉普拉斯方程：

忽略y方向，只考慮x、z兩個(gè)方向的二維矩形水箱，如圖1 所示。水的運(yùn)動(dòng)需滿足如下邊界條件：

圖1 二維矩形水箱 Fig.1 2-D rectangular water tank

水箱左右側(cè)壁(x=0，x=L)：

式中， ( , , )u x z t為水的水平運(yùn)動(dòng)速度。

水箱底部(z=-h)：

式中，w(x,z,t)為水的豎向運(yùn)動(dòng)速度。

對(duì)于自由液面的線性化邊界層條件為：

聯(lián)立方程組式(1)～式(4)，滿足上述邊界條件的速度勢(shì)函數(shù)可以表示為：

1.2 擋板的阻力計(jì)算

當(dāng)水箱受到外部激勵(lì)作用時(shí)，水箱水會(huì)產(chǎn)生晃動(dòng)，根據(jù)Morison[20]公式，水箱內(nèi)的擋板dz段所受到的阻力dF部分可表示為：

式中：vri(x,z,t)表示為流向擋板的水平入射速度或垂直入射速度；ρ為水的密度；DC表示為擋板的阻力系數(shù)，可表示為[12]：

式中：Vrm為vri(x,z,t)的最大值；T為水箱的晃蕩周期；lb為擋板的高度。

2 底部安裝有垂直擋板的矩形水箱 系統(tǒng)阻尼比分析

只考慮x、z兩個(gè)方向的維度，對(duì)于如圖2 所示的僅在底部安裝有多塊垂直擋板的矩形水箱，在以下推導(dǎo)過(guò)程中，假定液體是線性運(yùn)動(dòng)且只考慮一階模態(tài)，并忽略擋板對(duì)矩形水箱固有頻率的影響。

圖2 底部安裝有垂直擋板的矩形水箱 Fig.2 Rectangular water tank with vertical baffles

2.1 虛功原理

只考慮矩形水箱的一階晃動(dòng)模態(tài)，把式(5)代入 式(7)，則單塊擋板上dz段的阻力dVDiF可表示為：

對(duì)速度勢(shì)函數(shù)進(jìn)行積分，則廣義虛水平位移1qδ可表示為：

假定水箱底部安裝有n塊高度為lb的垂直擋板，則作用在所有擋板上阻力所做的虛功為Wδ：

把式(10)、式(11)代入式(12)得：

式中，VnQ為：

式中，VΔ 、VnΘ分別為：

對(duì)式(15)進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：

式(14)表示非線性阻尼力，可通過(guò)求得與等效線性阻尼力的最小誤差來(lái)用廣義的線性阻尼力代替，非線性與線性阻尼力的誤差ε可以表示為[21]：

最小誤差應(yīng)滿足：

式中，E( )表示期望值，對(duì)該式進(jìn)一步化簡(jiǎn)，可得廣義線性化阻尼：

水箱在正弦激勵(lì)作用下，線性的廣義阻尼可進(jìn)一步表示為：

式中，q為液體一階晃動(dòng)模態(tài)下的廣義波高幅值。則線性化的廣義阻尼比表示為：

Tait[22]等把水箱內(nèi)的液體視為等效質(zhì)量塊，建立了等效線性化的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，如圖3 所示。該系統(tǒng)在一階模態(tài)下，運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：X˙˙表示水箱底部外加激勵(lì)的加速度；rx表示等效質(zhì)量塊相對(duì)于水箱的位移，其等效質(zhì)量、等效阻尼和等效剛度分別表示為式(24)～式(26)[7]：

圖3 水箱TLD 等效力學(xué)模型 Fig.3 Equivalent mechanical model of a TLD system

式(26)中，1ω為水箱一階固有頻率：

對(duì)式(23)進(jìn)行化簡(jiǎn)得：

矩形水箱的等效阻尼比可表示為[23]：

式中，Γ為模態(tài)參與因子，可表示為[17]：

基于虛功原理，可得到底部安裝垂直擋板的矩形水箱的線性阻尼比 eqVξ計(jì)算公式，即：

式中，x0為矩形水箱對(duì)應(yīng)的等效線性模型的相對(duì)水平位移幅值，可表示為式(33)[14]：

式中，X0為底部正弦激勵(lì)的位移幅值。

2.2 能量耗散原理

為便于計(jì)算矩形水箱的能量耗散率，假設(shè)水箱底部無(wú)外部激勵(lì)時(shí)，單塊擋板以速度uri(x,z,t)在四周靜止的液體中做周期為T(mén)的振蕩運(yùn)動(dòng)，則單塊擋板所做的功ViW為：

若矩形水箱底部垂直安裝有n(n= 1,2,…) 塊擋板，則一個(gè)振蕩周期T內(nèi)水箱系統(tǒng)的能量耗散率DBV等于所有擋板做的功除以T[12]，即：

擋板對(duì)于箱內(nèi)液體的相對(duì)水平速度可表示為：

式中，A0為水箱側(cè)壁的最大波高幅值。把式(36)代入式(35)中，得：

分別再對(duì)式(39)和式(40)進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：

在水箱內(nèi)，能量耗散率DBV等于液體動(dòng)能和勢(shì)能的衰減速率E-˙[12]，即：

式中，E為動(dòng)能和勢(shì)能的總和，對(duì)于二維的矩形水箱且液體流動(dòng)是線性的，則可表示為[12]：

另 1=ω ω，可得到底部安裝有垂直擋板的矩形水箱線性阻尼比Vξ計(jì)算公式，即：

3 側(cè)壁上安裝有水平擋板的矩形 水箱系統(tǒng)阻尼比分析

只考慮x、z兩個(gè)方向的維度，對(duì)于側(cè)壁安裝有多塊水平擋板的矩形水箱，如圖4 所示。以下推導(dǎo)過(guò)程中，假設(shè)的條件與僅有垂直擋板的情形一致。

圖4 側(cè)壁安裝水平擋板的矩形水箱 Fig.4 Rectangular water tank with horizontal baffles

3.1 虛功原理

把上一節(jié)矩形水箱底部安裝有垂直擋板的阻尼比推導(dǎo)方式，推廣到水箱側(cè)壁上安裝有水平擋板的工況，則擋板上dx段的阻力dHDiF可表示為：

對(duì)速度勢(shì)函數(shù)進(jìn)行積分，則廣義虛水平位移1qδ可為：

若水箱左右側(cè)壁對(duì)稱(chēng)安裝有2n(n= 1,2,… ) 塊水平擋板，則所有阻力所做的虛功δW為：

把式(46)～式(47)代入式(48)得：

式(49)中，HnQ為：

式(50)中HΔ 、HnΞ分別為：

當(dāng)矩形水箱底部受到正弦激勵(lì)時(shí)，與帶垂直擋板工況的推導(dǎo)方法類(lèi)似，用廣義線性化阻尼力來(lái)代替非線性阻尼力，最后得到矩形水箱左右側(cè)壁對(duì)稱(chēng)安裝水平2n(n= 1,2,…) 塊擋板的線性阻尼比ξHeq計(jì)算公式：

3.2 能量耗散原理

同理，把底部安裝垂直擋板的矩形水箱阻尼比推導(dǎo)方法，推廣到側(cè)壁安裝有水平擋板，若水箱左右側(cè)壁對(duì)稱(chēng)安裝有2n(n= 1,2,…) 塊水平擋板，則所有擋板在一個(gè)振蕩周期T內(nèi)的能量耗散率DBH可以表示為[3]：

擋板對(duì)于箱內(nèi)液體的相對(duì)垂直速度wri(x,z i,t)可表示為：

把式(54)代入式(55)中，得：

在水箱內(nèi)，能量耗散率DBH等于液體動(dòng)能和勢(shì)能的衰減速率E-˙[12]，即：

另ω=ω1，則矩形水箱左右側(cè)壁對(duì)稱(chēng)安裝有2n(n= 1,2,…) 塊水平擋板的線性阻尼比ξH計(jì)算公式可化簡(jiǎn)為：

4 結(jié)果分析

由上述的推導(dǎo)結(jié)果可知，當(dāng)矩形水箱受到正弦激勵(lì)時(shí)，利用能量耗散原理推導(dǎo)的公式中，水箱側(cè)壁的波高幅值A(chǔ)0是影響阻尼比大小的其中一個(gè)主要因素，而利用虛功原理推導(dǎo)的公式中，沒(méi)有體現(xiàn)出側(cè)壁波高幅值的影響，取而代之的是矩形水箱等效線性模型的相對(duì)水平位移幅值x0，而x0又與外激勵(lì)幅值X0有關(guān)。為進(jìn)一步分析兩種方法的差異性，引入矩形水箱等效線性模型的相對(duì)水平位移xr與液體波高q的關(guān)系式[16]：

若已知水箱側(cè)壁波高幅值A(chǔ)0，則由式(62)進(jìn)一步得到x0，即：

把式(63)代入式(31)化簡(jiǎn)得到：

同樣，把式(63)代入式(53)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得到：

可見(jiàn)通過(guò)以上的化簡(jiǎn)，式(64)與式(45)一致，式(65)與式(53)一致，即利用能量耗散原理推導(dǎo)的公式與利用虛功原理推導(dǎo)的公式具有一致性。所以，若已知作用在水箱底部的外加位移激勵(lì)幅值X0，直接利用虛功原理推導(dǎo)的公式來(lái)計(jì)算矩形水箱的線性阻尼比會(huì)更加方便，若由實(shí)驗(yàn)直接測(cè)得水箱側(cè)壁的波高幅值A(chǔ)0，利用能量耗散原理推導(dǎo)的公式來(lái)計(jì)算矩形水箱的線性阻尼比會(huì)更加簡(jiǎn)便。但是需要注意的是，從利用能量法推導(dǎo)的計(jì)算公式來(lái)看，阻尼比的大小沒(méi)有直接體現(xiàn)出與激頻比的關(guān)系，而隱含在波高幅值A(chǔ)0中，而利用虛功原理將TLD 等效線性化后推導(dǎo)的阻尼比計(jì)算公式卻能直接通過(guò)x0體現(xiàn)出與激頻比的關(guān)系。

當(dāng)擋板的尺寸較小時(shí)，由擋板所產(chǎn)生的阻尼也比較小，在此種情況下則不能忽略水的粘性阻尼影響，此時(shí)僅由水產(chǎn)生的阻尼比計(jì)算公式為[24]：

式中：ν為水的粘度性系數(shù)；b為水箱的寬度；SC為水的表面光滑因子，通常取1。

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所推導(dǎo)的公式的準(zhǔn)確性與否，本小節(jié)將與Isaacson[11]測(cè)得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。Isaacson 利用振動(dòng)臺(tái)對(duì)矩形水箱開(kāi)展了試驗(yàn)，如圖5 所示，矩形水箱為有機(jī)玻璃制作，被固定在臺(tái)面上，當(dāng)水箱受到荷載激勵(lì)時(shí)水會(huì)發(fā)生晃動(dòng)，其阻尼比可以通過(guò)側(cè)壁處自由液面波高的自由振動(dòng)衰減曲線計(jì)算得到，而水箱側(cè)壁處自由液面的波高則通過(guò)波高儀測(cè)量得到。

圖5 矩形水箱振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)圖 Fig.5 View of tank model mounted on shake table

矩形水箱受到的荷載激勵(lì)為正弦位移激勵(lì)，且激勵(lì)頻比μ=1，水箱尺寸為0.5 m×0.5 m×0.5 m，水深比h/L=0.5，側(cè)壁對(duì)稱(chēng)安裝的水平擋板尺寸為lb=40 mm，進(jìn)行了水平擋板在相對(duì)位置為0.6h、0.7h、0.8h的三組實(shí)驗(yàn)；水箱底部安裝的垂直擋板位于L/2 處，進(jìn)行了垂直擋板高度為0.1h、0.2h、0.3h的三組實(shí)驗(yàn)；對(duì)于側(cè)壁對(duì)稱(chēng)安裝水平擋板的水箱，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的側(cè)壁波高幅值為0.1h，對(duì)于水箱底部安裝垂直擋板的水箱，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的側(cè)壁波高幅值為0.2h，對(duì)比結(jié)果如圖6～圖7 所示。

圖6 線性阻尼比隨垂直擋板高度變化的實(shí)驗(yàn)值與 預(yù)測(cè)值比較圖(垂直擋板) Fig.6 Variations of predicted and measured linear damping ratios with various relative vertical baffle heights (h/L=0.25)

圖7 隨擋板相對(duì)位置變化的線性阻尼比實(shí)驗(yàn)值與 預(yù)測(cè)值比較圖(水平擋板) Fig.7 Variations of predicted and measured linear damping ratios with various relative horizontal baffle locations (h/L=0.25 and lb/L=0.08)

由圖6 可知，對(duì)于底部安裝有單塊垂直擋板的矩形水箱線性阻尼比，其值隨擋板高度的增大而增大；當(dāng)垂直擋板相對(duì)高度lb/h＜0.35 時(shí)，用本文公式估算的值與 Faltinsen 估算的值比較接近，當(dāng)lb/h＞0.35 時(shí)，用本文公式估算的值要大于Faltinsen估算的值，而這兩者值在0.1＜lb/h＜0.5 上都小于Isaacson 估算的值；在lb/h=0.1 處，本文公式估算的值、Isaacson 估算的值與Faltinsen 估算的值基本上與實(shí)驗(yàn)值一致，在lb/h=0.2、lb/h=0.3 處，本文公式估算的值與Faltinsen 估算的值較接近于實(shí)驗(yàn)值，而Isaacson 估算的值要大于實(shí)驗(yàn)值。

由圖7 可知，對(duì)于側(cè)壁安裝對(duì)稱(chēng)水平擋板的矩形水箱線性阻尼比，其值隨擋板相對(duì)高度位置的增大而增大；當(dāng)水平擋板位置z＜0.6h時(shí)，利用本文公式估算的值、Isaacson 估算的值與Faltinsen 估算的值，三者基本一致。當(dāng)z＞0.6h時(shí)，利用本文公式估算的值要小于Isaacson 與Faltinsen 估算的值；擋板位置z在0.6h處，三者所估算的值基本與實(shí)驗(yàn)值基本一致，但在0.7h、0.8h處，本文公式所估算的值要小于其他兩者的值，而三者的值都要大于實(shí)驗(yàn)值。其主要原因可能是擋板靠近液面時(shí)，會(huì)出砰擊現(xiàn)象，而使得用線性阻尼比估算的公式會(huì)高估矩形水箱的阻尼比。由圖6～圖7 可知，與安裝垂直擋板相比，安裝水平擋板會(huì)產(chǎn)生更高的阻尼比。

由上述可知，本文利用能量耗散原理與虛功原理兩種方法，所推導(dǎo)的矩形水箱的線性阻尼比計(jì)算公式具有較好的估算效果。

4.2 激頻比對(duì)阻尼比的影響

激頻比也是水箱阻尼比的重要影響因素之一，根據(jù)式(31)、式(53)，以下給出不同激頻比作用下矩形水箱的阻尼比值，假定水箱的尺寸為0.5 m× 0.5 m×0.5 m，外激勵(lì)為正弦激勵(lì)且激勵(lì)幅值為20mm，結(jié)果如圖8 所示。

圖8 不同激頻比作用下矩形水箱的線性阻尼比估算值 Fig.8 Variation of predicted normalized damping ratio with various frequency ratios

由圖8 可知，當(dāng)激頻比μ=1 時(shí)，分別安裝有垂直擋板和水平擋板的矩形水箱的線性阻尼比都達(dá)到最大值，而在μ=0.9～1.0、μ=1.0～1.1 兩個(gè)區(qū)間內(nèi)，阻尼比變化幅度較劇烈，說(shuō)明激頻比對(duì)矩形水箱的阻尼比影響較大，不可忽視，而直接采用激頻比μ=1.0 時(shí)的值，很容易高估矩形水箱的阻尼比值。

4.3 能量耗散原理對(duì)比

本文在利用能量耗散原理推導(dǎo)矩形水箱的線性阻尼比公式時(shí)，采用的方法是借鑒于Faltinsen 的推導(dǎo)方法，但兩者之間又存在一定的差異性，忽略水的粘性阻尼，下面對(duì)此進(jìn)一步分析。

4.3.1 底部安裝有垂直擋板的水箱系統(tǒng)阻尼比

Faltinsen[12]利用能量耗散原理推導(dǎo)了水箱底部安裝有單塊垂直擋板(擋板在x=L/2 位置處)的阻尼比計(jì)算公式，表示為：

在Faltinsen 的推導(dǎo)過(guò)程中，簡(jiǎn)化了擋板z方向上的速度計(jì)算方法，并采用z= -h處的速度值代替擋板任意z方向上的速度值。在本文第2.2 小節(jié)，在推導(dǎo)水箱底部安裝有任意塊垂直擋板的矩形水箱的阻尼比過(guò)程中，考慮了液體x方向的相對(duì)水平速度沿z方向的變化，為比較兩公式之間的差異，令式(64)中x=L/2 則可化簡(jiǎn)為：

以下給出兩種方法計(jì)算底部安裝有單塊垂直擋板的矩形水箱的歸一化阻尼比隨水深比變化的曲線圖，如圖9 所示。

圖9 矩形水箱底部垂直擋板高度引起的歸一化阻尼比隨水深比變化的比較圖 Fig.9 Variation of normalized damping ratio with various liquid depth ratios and different vertical baffle heights

由圖9 可知：當(dāng)lb/h位于某一定值時(shí)，由圖9(a)～圖9(c)可以看出，采用本文推導(dǎo)的公式估算的系統(tǒng)阻尼比與Faltinsen 估算的值相比，兩者之間的差值與外加激勵(lì)的最大波幅無(wú)關(guān)；由圖9(d)可知，擋板的高度小于0.2h時(shí)，本文推導(dǎo)的公式估算的值與Faltinsen 估算的值基本一致；擋板的高度大于0.2h時(shí)，F(xiàn)altinsen 計(jì)算的值小于本文計(jì)算的值，兩者之間的差值隨lb/h的增大而增大。顯然，當(dāng)擋板的高度較大時(shí)，考慮液體x方向的相對(duì)水平速度沿z方向的變化來(lái)估算水箱的阻尼比會(huì)更加合理。但垂直擋板高度較大時(shí)，采用本文公式估算來(lái)水箱的線性阻尼比時(shí)，還需考慮擋板對(duì)水箱最低固有頻率的 影響。

4.3.2 側(cè)壁安裝有水平擋板的水箱系統(tǒng)阻尼比

同樣，F(xiàn)altinsen[12]在推導(dǎo)矩形水箱左右側(cè)壁安裝兩塊水平擋板(擋板在zi=Hbi位置處)的阻尼比計(jì)算公式過(guò)程中，簡(jiǎn)化了擋板x方向上的速度計(jì)算方法，并統(tǒng)一采用擋板在x=0 處的速度值代替其沿x方向的變化，最終表示為：

在本文第3.2 小節(jié)中，在推導(dǎo)水箱阻尼比計(jì)算公式過(guò)程中，考慮了液體z方向的相對(duì)速度沿x方向的變化與激頻比的影響，為比較兩公式之間的差異，令式(50)中zi=Hbi則可化簡(jiǎn)為：

以下給出兩種方法計(jì)算水箱左右側(cè)壁安裝有兩塊水平擋板時(shí)，水箱系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的歸一化阻尼比隨水深比變化的曲線圖，如圖10 所示。

圖10 矩形水箱側(cè)壁水平擋板引起的歸一化阻尼比 隨水深比變化的比較圖 Fig.10 Variation of normalized damping ratio with various liquid depth ratios and different horizontal baffle lengths

由圖10 可知，當(dāng)lb/L=0.05 時(shí)，本文推導(dǎo)的公式計(jì)算的值與Faltinsen 計(jì)算的值基本一致；當(dāng)lb/L增大至0.15 時(shí)，本文推導(dǎo)的公式計(jì)算的值小于Faltinsen 計(jì)算的值，兩者之間的差值隨Hb的增大而越來(lái)越明顯。顯然，當(dāng)lb的長(zhǎng)度越來(lái)越大時(shí)，液體z方向的相對(duì)速度沿x方向的變化也越來(lái)越明顯，進(jìn)而對(duì)水箱的阻尼比影響也越來(lái)越大，所以考慮該因素的影響來(lái)估算水箱的阻尼比會(huì)更加合理。但水平擋板長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí)，采用本文公式來(lái)估算水箱的線性阻尼比時(shí)，還需要考慮擋板對(duì)水箱最低固有頻率的影響。

5 結(jié)論

通過(guò)以上對(duì)于內(nèi)置有水平和垂直擋板的矩形水箱受到正弦激勵(lì)時(shí)的線性阻尼比研究，得到以下結(jié)論：

(1) 對(duì)于底部安裝垂直擋板的矩形水箱和左右側(cè)壁安裝對(duì)稱(chēng)水平擋板的矩形水箱，本文分別采用能量耗散原理和虛功原理對(duì)其線性阻尼比估算，兩種不同方法推導(dǎo)的結(jié)果具有一致性，且具有較好的估算效果，在利用本文所建議的公式時(shí)，可以根據(jù)外加激勵(lì)幅值還是水箱側(cè)壁波高幅值為已知條件，來(lái)選用相應(yīng)的內(nèi)置有水平和垂直擋板的水箱TLD系統(tǒng)線性阻尼比估算方法；

(2) 在外加激勵(lì)和其它條件相同的情況下，水箱側(cè)壁安裝水平擋板同比底部安裝垂直擋板相比，前者可以產(chǎn)生更高的線性附加阻尼比；

(3) 激頻比對(duì)矩形水箱的阻尼比影響較大，不可忽視，而直接采用激頻比μ=1 時(shí)的值，容易高估矩形水箱的阻尼比值。

(4) 采用能量耗散原理推導(dǎo)矩形水箱的線性阻尼比公式，本文考慮了設(shè)置垂直擋板時(shí)液體x方向的相對(duì)水平速度沿z方向的變化，或是設(shè)置水平擋板時(shí)液體z方向的相對(duì)速度沿x方向的變化，以此來(lái)估算水箱的線性阻尼比，同F(xiàn)altinsen 的建議公式相比，得到的阻尼比估算結(jié)果更加合理。