一類非線性薛定諤方程解的衰減估計

韓琦悅， 李春花

( 延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

非線性薛定諤方程

在光學(xué)領(lǐng)域中具有重要應(yīng)用[1].方程中v是一個未知的復(fù)值函數(shù),v=v(t,x)，t≥0，x∈R;p>1;μ(t)是一個實值函數(shù);λ∈C.若λ=-1,μ(t)=a≤0， 則有

(1)

式中t≥0，x∈R，p>1.2009年, M.Ohta等[2]研究了方程(1)的大初值整體解的存在性和不存在性.2016年, Jin等[3]研究了方程

(2)

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)m,s為非負(fù)實數(shù)，定義Sobolev空間為

為了表述方便，本文簡記Hm,0(R)=Hm(R).

(3)

引理2[4]設(shè)u∈X1,∞是方程(3)的整體解，則有:

2 主要結(jié)果及其證明

證明在定理1條件下，由文獻(xiàn)[4]知方程(2)存在唯一整體解v(t,x)∈X1,∞.下面應(yīng)用文獻(xiàn)[3]的方法證明方程(2)整體解的衰減估計.

(4)

在方程(4)兩邊同時作用FU(-t), 則有

其中

(5)

(6)

將式(6)代入式(5)，得

(7)

將上式代入式(7)，則存在η>0使得

(8)

(9)

將上式代入式(9)得

(10)