從二次函數(shù)角度理解函數(shù)恒成立和存在性問題

摘要：高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)一直是教學(xué)中的重點，也是難點，尤其是函數(shù)中的恒成立問題和存在性問題.很多看似復(fù)雜的函數(shù)問題，都可以通過分析，轉(zhuǎn)化成恒成立問題或者存在性問題. 本問題以我們熟悉的二次函數(shù)為例，來分析恒成立問題和存在性問題，理解恒成立問題和存在性問題的本質(zhì)，進而研究更為復(fù)雜和隱含的函數(shù)問題.

關(guān)鍵詞：高中函數(shù) 恒成立問題 存在性問題

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)一直是教學(xué)中的重點，也是難點，尤其是函數(shù)中的恒成立問題和存在性問題. 我們從高二下學(xué)期開始接函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，利用導(dǎo)數(shù)工具來研究函數(shù)的性質(zhì)，特別是一些復(fù)雜的函數(shù)，如超越函數(shù). 在實際教學(xué)中，如果題目中只讓求函數(shù)的單調(diào)性，最值，即使是比較復(fù)雜的函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)工具，我們是可以完成的. 可是，函數(shù)問題通常需要將問題等價變形，轉(zhuǎn)化成求利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，例如函數(shù)中的恒成立問題和存在性問題，這才是難點和痛點. 如何突破呢？函數(shù)貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，對于函數(shù)中的恒成立問題和存在性問題，能否從高一就開始滲透它的思想方法，慢慢突破呢？其實，這個問題，高一就有涉及. 下面，以熟悉的二次函數(shù)為例，從二次函數(shù)角度出發(fā)，理解函數(shù)中的恒成立問題和存在性問題.

一、函數(shù)中的恒成立問題

例1 一元二次不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍.

本題出自新教材課本必修一58頁的練習(xí)題6.

分析 首先我們把問題歸類，這是數(shù)學(xué)中的哪一類問題？從不同的角度出發(fā)，導(dǎo)致解法不一樣. 本題有兩個思路：一是一元二次不等式問題，二是函數(shù)中的恒成立問題.

思路一 一元二次不等式問題

分析 借助于二次函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，解一元二次不等式. 題目中要求一元二次不等式的解集為，因此，對應(yīng)二次函數(shù)圖象需滿足開口朝下，與x軸無交點.

分析 從函數(shù)的函數(shù)值角度理解不等式問題，的解集為，即對任意，函數(shù)的函數(shù)值小于0恒成立. 要求所有的函數(shù)值都小于0，顯然無法實現(xiàn)把所有的函數(shù)值都算出來，讓其都小于0的操作. 怎么辦呢？仔細分析，我們只需讓函數(shù)的最大值小于0即可. 因此，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，且最大值小于0.

從函數(shù)的函數(shù)值角度理解例1，它是函數(shù)中的恒成立問題，以例1為例，函數(shù)中的恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題. 我們也可將題目中的的范圍縮小，例如，任意，一元二次不等式恒成立. 此題如果按照思路一的解法，從一元二次不等式角度理解，問題不容易解決. 如果按照思路二的解法，從函數(shù)的恒成立問題理解，則問題比較容易解. 題變理不變，那么問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上，函數(shù)的最大值問題.

從我們熟悉的二次函數(shù)入手，理解函數(shù)中的恒成立問題，將其轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題. 因此只要會求函數(shù)的最值，恒成立問題就可以解決. 函數(shù)的恒成立問題，涉及數(shù)學(xué)中的“無窮”問題，通過上述轉(zhuǎn)化，我們將無窮問題轉(zhuǎn)化為具體可操作的有限過程，這就是數(shù)學(xué)的力量.

二、函數(shù)中的存在性問題

例2 若存在，使得關(guān)于的不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.

從函數(shù)角度理解例2，它是函數(shù)中的存在性問題，以例2為例，函數(shù)中的存在性問題也可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

從我們熟悉的二次函數(shù)入手，理解函數(shù)中的存在性問題，將其轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題. 因此只要會求函數(shù)的最值，存在性問題就可以解決.

上述問題中的例1和例2是函數(shù)中的恒成立問題和存在性問題，以我們熟悉的二次函數(shù)為載體，通過分析，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，便于理解與接受. 希望通過這樣的分析，為后續(xù)遇到的復(fù)雜函數(shù)的恒成立問題和存在問題奠定基礎(chǔ).

東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校， 肖志偉 北京