基于一類廣義三階KdV方程的精確解探討

李奇芳

(山西財(cái)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 山西 太原 030031)

1 研究背景

在自然科學(xué)和工程技術(shù)里，不少現(xiàn)象不能采用線性模型描述，如大幅度擺動(dòng)，自激震蕩，電路的機(jī)理等.所以，近年來，對非線性問題的研究在物理，化學(xué)，生物，數(shù)學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛而深入的開展，特別是尋找非線性方程的精確解受到廣泛關(guān)注.由于非線性現(xiàn)象與非線性偏微分方程有著密切的聯(lián)系，非線性偏微分方程的精確解在許多的科技領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，因此，為了更好的理解自然界中眾多的非線性現(xiàn)象的機(jī)制，必須知道與這些非線性現(xiàn)象相符的非線性偏微分方程的精確解。郭婷婷等人(2017)提出運(yùn)用雙Bell多項(xiàng)式確定KdV方程的雙線性，并求得其遞推公式[1]。郭峰等人(2018)提出利用平均值離散梯度的模式驗(yàn)證KdV方程組能量守恒理論的正確性[2]。趙露等人(2018)通過簡化的雙典型方法測試雙模KdV方程中的線性及非線性參數(shù)，從而得到精確解[3]?；诖?，可以看出，利用KdV方程算法求解非線性模型，并用這種方法求解CH-DP方程更加簡潔明了。

2 KdV方程的概述

2.1 研究方向

2.2 研究方法

對于一個(gè)關(guān)于獨(dú)立變量的一類非線性偏微分方程如(1)所示:

H1(u,ux,ut,uxx,uxt,utt,…)=0.

(1)

該方法通過下面四個(gè)步驟尋找非線性偏微分方程的精確解，如方程(2)所示：

u(x,t)=φ(x,t)+R,

(2)

其中R任意常數(shù)，將變換(1)代入(2)中，則公式1轉(zhuǎn)換為下面的形式，如方程(3)所示：

H2(φ，φx,φt,φtt,φxt,φtt…)=0.

(3)

而后確定常數(shù)R的值.如方程(4)所示：

Φ=φ-α2φxx

(4)

其中α≠0，將方程(3)代入方程(4)使方程(4)的各項(xiàng)表達(dá)式都包含Φ或者Φ的各階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)方程各項(xiàng)之間系數(shù)的關(guān)系，得出R的取值。

(三)例題模擬

例如：考慮如下DGH方程，如方程(5)所示:

ut+2kux+3uux-(uxxt+uuxx+2uxuxx+γuxx=0,

(5)

其中k,γ是任意常數(shù).將公式(2)代入方程(5)，如方程(6)所示：

φt+(2k+3R)φx+3φφx-φxx-φφxxx-2φxφxx+(γ-R)φxxx=0.

(6)

方程(6)可變?yōu)槿绶匠?7)所示:

(φ-φxx)t+2φx(φ-φxx)+φ(φ-φxx)x=-(2k+3R)φx-(γ-R)φxxx·

(7)

由方程(4)，取α2=1得如方程(8)所示：

Φt+2φxΦ+φΦx=-(2k+3R)φx-(γ-R)φxxx·

(8)

為了使方程(8)的每一項(xiàng)都包含Φ或者Φ的各階導(dǎo)數(shù)，如方程(9)所示：

-(2k+3R)=γ-R,

(9)

化簡可得如方程(10)所示：

(10)

將方程(10)代入方程(8)得如方程(11)所示:

(11)

顯然，Φ=0是方程(11)的解.

求方程Φ=0的解.注意到Φ=φ-α2φxx=0是線性微分方程，因此容易得到該方程的更一般形式的解.獲得方程(1)的精確解。通過方程(4)的變形，方程(11)的每一項(xiàng)都包含Φ或者Φ的各階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)φ(x,t)是方程Φ=0的解時(shí)，φ(x,t)也是方程(3)的解.實(shí)際上，在方程(11)中，當(dāng)φ(x,t)是方程Φ=0的解時(shí)，φ(x,t)也是方程(11)的解.通過改變常數(shù)t的取值來擴(kuò)展方程Φ=0的基礎(chǔ)解，從而得到方程(1)的一系列的精確解.

3 一類廣義三階KdV方程的求解

3.1 一類廣義三階KdV方程的精確解

在這部分，將應(yīng)用這種簡單的方法得到廣義三階KdV方程的不同解.廣義三階KdV方程如方程(12)所示：

(12)

其中α,β,ν為任意常數(shù).

令u(x,t)=φ(x,t)+R，將其代入方程(12)后如方程(13)所示：

(13)

根據(jù)研究方法，方程(13)可轉(zhuǎn)換如方程(14)所示:

(14)

令Φ=φ+νφxx，為了使方程(14)的每一項(xiàng)包含Φ或者Φ的各階導(dǎo)數(shù)，如方程(15)所示:

(15)

化簡可得如方程(16)所示：

(16)

因此方程(14)可以寫為如方程(17)所示:

(17)

注意到Φ=φ+νφxx,所以，方程(17)可以變?yōu)槿绶匠?18)所示:

(18)

3.2 情景分析

我們需考慮方程(19)的解：

φ+νφxx=0.

(19)

情形假設(shè)φ<0.

容易求出方程(19)的基本解組如方程(20)所示：

(20)

其中A(t),B(t)是任意可微函數(shù). 是方程(19)的解，易知如方程(21)、公式(22)所示:

(21)

和

(22)

由方程(23)、方程(24)所示：

(23)

和

(24)

可得如方程(25)、方程(26)也是方程(19)的解：

(25)

(26)

所以，當(dāng)如方程(27)所示時(shí)，也是方程(19)的解.

(27)

由于A(t)，B(t)是任意可微函數(shù)，則可以擴(kuò)展解方程(21)后，如方程(28)所示:

(28)

其中c1,c2為任意常數(shù).

不妨假設(shè)00時(shí)，則有0

(29)

所以可得如方程(30)所示也是方程(19)的解.

(30)

此外，還能擴(kuò)展方程(21)如方程(31)所示:

(31)

其p(t),q(t)中為任意函數(shù)，通過檢驗(yàn)，也是方程(19)的解.

類似地，對任意的x構(gòu)造，如方程(32)所示：

(32)

所以方程(32)也是方程(19)的解.

(32)

(33)

(34)

也是方程(19)的解.其中Ai(t),Bj(t),pi(t),qj(t)是任意可微函數(shù)，i=1,2,…N,j=1,2,…M,N,M是任意正整數(shù)。類似可得如方程(35)、方程(36)也是方程(19)的解[5].

(35)

(36)

根據(jù)雙曲函數(shù)的定義，可知方程(37)、方程(38)也是方程(19)的解.

(37)

(38)

情形ν>0.

容易求出方程(19)的基本解組為如方程(39)、方程(40)所示：

(39)

其中c(t)為任意可微函數(shù)[6]。

(40)

值得注意的是，從上面的這些構(gòu)造過程中，可以得到方程(19)的其他精確解，由于篇幅所限，在這里給予省略.

故方程(13)有下列解，如方程(41)-方程(50)所示：

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(三)精確解的波形圖

根據(jù)所求的精確解，利用Maple軟件將方程(41)-(45)及(50)的解的波形圖繪制如下：

繪圖時(shí)，方程(41)、方程(42)、方程(44)都取ν=-1,α=-1,β=1，N=1,M=1,方程(50)取ν=3,α=1,β=3,N=1,M=1.如圖1-4所示：

圖1(a)是當(dāng)A(t)=log10t，B(t)=sint,x[-20,20],t[1,10]時(shí),方程(41)的波形圖. (b)是當(dāng)A(t)=sin，B(t)=cost,x[-30,30],t[-15,15]時(shí)，方程(41)的波形圖.

(c)是當(dāng)A(t)=sinht,B(t)=tant,p(t)=sint,q(t)=sint,x[-40,40],t[-1,1]時(shí)，方程(42)的波形圖.

(d)是當(dāng)A(t)=sinht,B(t)=cost,p(t)=sint2,q(t)=sint3,x[-2,2],t[-8,8]時(shí)，方程(42)的波形圖.

(e)是當(dāng)A(t)=t2,B(t)=t,p(t)=sint2,q(t)=cost3,x[-3,3],t[-4,4]時(shí)，方程(44)的波形圖.

(d)是當(dāng)A(t)=et2,B(t)=cost,p(t)=sint2,q(t)=cost3,x[-10,40],t[-1,1]時(shí)，方程(44)的波形圖.

(g)是當(dāng)C(t)=log10t,x[-20,20],t[0.1,10]時(shí)，方程(50)的波形圖. (h)是當(dāng)C(t)=sin10t,x[3.5,11],t[-13,13]時(shí)，方程(50)的波形圖.

四、結(jié)論

求解非線性偏微分方程的精確解是一種簡單方法，這種方法對于求解非線性偏微分方程是有效和直接的，它可以避免乏味的重復(fù)計(jì)算。這種方法之所以簡單關(guān)鍵在將原方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為多個(gè)簡單的常系數(shù)高階常微分方程，最終只需求出簡單的常系數(shù)高階常微分方程的解。便可得出原方程的解。本文以廣義三階KdV方程為例，用簡單方法求出了它的許多精確解，并且借助數(shù)學(xué)軟件MAPLE，在一定參數(shù)條件下得到了該方程的一些特殊解的波形圖。