π的數(shù)學(xué)之美

【摘 要】本文闡述了π的精妙發(fā)現(xiàn)，并利用泰勒展開(kāi)式給出了π的無(wú)理性證明，旨在借助數(shù)學(xué)之美激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣。

【關(guān)鍵詞】泰勒展開(kāi)式;圓周率;無(wú)理數(shù)

【中圖分類號(hào)】G642 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2020）04-0017-02

1 ? π的發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)中把圓的周長(zhǎng)與直徑的比值定義為圓周率，并用希臘字母π表示。早在公元前200年，阿基米德就用迭代算法與大、小兩個(gè)方向上數(shù)值逼近的方法，理論上得到了圓的周長(zhǎng)，給出了π的求法，稱得上是“計(jì)算數(shù)學(xué)”的鼻祖。公元263年，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，他說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣?！边@提供了求圓周率π的科學(xué)方法。

但是，以上都是用近似逼近的方法求得π的數(shù)值，縱觀數(shù)學(xué)的歷史長(zhǎng)河，會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的故事——布豐投針問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家布豐有一天邀請(qǐng)?jiān)S多親朋好友到家做客，他先取一張白紙，在上面畫(huà)上許多條距離為的平行線鋪在桌上，然后請(qǐng)客人把一根長(zhǎng)度為的針隨機(jī)地扔向白紙，布豐在旁邊記錄了2212次，發(fā)現(xiàn)共有704次針與平行線有交點(diǎn)，而且，他還斷言，扔的次數(shù)越多，相交數(shù)與投擲數(shù)之比越接近π。這個(gè)實(shí)驗(yàn)讓人驚訝，看起來(lái)毫不相關(guān)的圓周率在投針試驗(yàn)中竟然有所體現(xiàn)[1-3]。其實(shí)，這里運(yùn)用到了幾何概率的知識(shí)，這是用偶然性方法來(lái)做定性計(jì)算的典型范例，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美麗與奇特。就像美國(guó)數(shù)學(xué)家維納所說(shuō)：“數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種?！?/p>

2 ? 預(yù)備知識(shí)

2.1 ?無(wú)理數(shù)和反證法

無(wú)理數(shù)是指不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比的數(shù)。大多用反證法，即假設(shè)它可以表示成分?jǐn)?shù)，但是推出矛盾，從而證明假設(shè)不成立。

2.2 ?連分?jǐn)?shù)

步驟3：由于，1不是無(wú)理數(shù)，所以不能寫(xiě)為分?jǐn)?shù)形式，即不是有理數(shù)，故π是無(wú)理數(shù)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下）（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]陳景潤(rùn).初等數(shù)論.1[M].北京：科學(xué)出版社，1978.

【作者簡(jiǎn)介】

耿柳（1993～），女，漢，江蘇徐州人，碩士，助教，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。