高職高等數(shù)學(xué)《定積分的概念》教學(xué)設(shè)計

王萌

《高等數(shù)學(xué)》是一門很重要的公共基礎(chǔ)性學(xué)科。其重要的原因不僅在于可以學(xué)到一些數(shù)學(xué)概念、公式和結(jié)論，為其他數(shù)學(xué)課和專業(yè)課的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，更重要的是通過學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)人的理性思維的品格和思辯能力，能啟迪智慧，開發(fā)創(chuàng)造力。接下來我將從設(shè)計理念、教學(xué)背景、教法與學(xué)法、教學(xué)過程、創(chuàng)新與亮點(diǎn)幾個方面談?wù)勛约旱脑O(shè)計思路和想法。

1 設(shè)計理念

構(gòu)建主義教學(xué)觀認(rèn)為，教學(xué)不能無視學(xué)習(xí)者已有的知識經(jīng)驗(yàn)，不能簡單的強(qiáng)硬地從外部對學(xué)習(xí)者實(shí)施知識的“強(qiáng)灌”，而應(yīng)該把學(xué)習(xí)者原有的知識經(jīng)驗(yàn)作為新的知識的生長點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗(yàn)中主動構(gòu)建新的知識經(jīng)驗(yàn)。所以我分析教材，分析學(xué)生，根據(jù)學(xué)生現(xiàn)狀及不同專業(yè)對高等數(shù)學(xué)的需求，制定教學(xué)目標(biāo)，確定重難點(diǎn)，根據(jù)這些確定教學(xué)流程、教學(xué)方法。我重視學(xué)生的自主參與能力，重視學(xué)生自主探究能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，激勵學(xué)生積極思維，大膽思考，動手實(shí)踐。并力爭線上、線下相結(jié)合，運(yùn)用信息化教學(xué)手段教學(xué)，形象展示數(shù)學(xué)的魅力，讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)有用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的能力。

2 教學(xué)背景

2.1 教材分析

2.1.1課程定位：

《高等數(shù)學(xué)》是高職（專）院校所有學(xué)科的一門公共基礎(chǔ)理論課。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得夠用的微積分、向量代數(shù)及空間解析幾何的基本知識、必要的基礎(chǔ)理論和常用的運(yùn)算方法，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程，特別是專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和進(jìn)一步擴(kuò)展數(shù)學(xué)知識奠定必要的基礎(chǔ)。

2.1.2 本節(jié)課在《高等數(shù)學(xué)》中的地位作用：

《定積分的概念》是高等數(shù)學(xué)中最主要的經(jīng)典理論，是學(xué)生進(jìn)入“積分”世界必須跨過的第一道門檻，這一思想的理解直接關(guān)系到應(yīng)用定積分思想解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。這節(jié)課上承導(dǎo)數(shù)、不定積分，下接定積分在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)、電工學(xué)等其他學(xué)科中的應(yīng)用。

2.2 學(xué)生分析

2.2.1 知識結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：由于各種原因，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，整體對數(shù)學(xué)的理解力有待提高，排斥過多的理論知識，喜歡自主學(xué)習(xí)，對新概念新內(nèi)容有強(qiáng)烈的求知欲。

2.2.2 信息化水平：95后，數(shù)字土著。對電腦、手機(jī)等電子產(chǎn)品能熟練操作且興趣濃厚，喜歡在手機(jī)上進(jìn)行學(xué)習(xí)。

2.2.3 性格特點(diǎn)：比較自我，不喜歡被支配，不喜歡傳統(tǒng)的教育方式，卻喜歡自己發(fā)現(xiàn)探究。

2.3 教學(xué)目標(biāo)

2.3.1 知識目標(biāo)：通過探求曲邊梯形的面積，使學(xué)生了解“分割、近似代替、求和、取極限”的思想方法;從而理解、掌握定積分的概念、幾何意義和性質(zhì)。

2.3.2 能力目標(biāo)：通過類比“窮竭法”“割圓術(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生萌發(fā)“以直代曲”的想法，逐步培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維能力和知識遷移的能力;

2.3.3 情感目標(biāo)：從實(shí)踐中創(chuàng)設(shè)情境，滲透“化整為零，積零為整”的辨證唯物觀;激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，強(qiáng)化參與意識，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

2.4 重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解定積分的概念和思想，掌握曲邊梯形的面積求法。

難點(diǎn)：掌握“以直代曲”和“漸進(jìn)逼近”的思想形成過程。

解決辦法：案例引入概念，以問題驅(qū)動，小組討論，淡化理論，借助網(wǎng)絡(luò)、多媒體，結(jié)合圖形教學(xué)，遵循循序漸進(jìn)的認(rèn)知規(guī)律。

3 教法與學(xué)法

3.1 教法方面

本節(jié)課對于高職學(xué)生來說，難度很大，教學(xué)時力求從學(xué)生的已有知識和實(shí)際學(xué)習(xí)情況及自身特點(diǎn)出發(fā)設(shè)計本課。課端采用任務(wù)驅(qū)動法和討論法完成劉徽“割圓術(shù)”和阿基米德“窮竭法”的相關(guān)作業(yè);課前采用問題驅(qū)動法引入新課（規(guī)則圖形面積，不規(guī)則圖形面積）;課中案例驅(qū)動法和小組討論法完成求曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動的路程兩個案例的學(xué)習(xí)，突破重難點(diǎn);課中典型例題分析法（例題1、2、3）應(yīng)用新知，課尾總結(jié)歸納法鞏固要點(diǎn)。

3.2 學(xué)法方面

學(xué)生課前問題學(xué)習(xí)法（從網(wǎng)上查找劉徽“割圓術(shù)”和阿基米德“窮竭法”的相關(guān)資料，在學(xué)習(xí)通平臺上回答劉徽是怎么求出圓的面積的等相關(guān)問題），使“以曲代直”思想在學(xué)生心中萌芽;課中引導(dǎo)學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)法、小組討論法解決案例一，課中自主探究法、小組討論法解決案例二，課中小結(jié)歸納法總結(jié)出概念，課末利用練習(xí)法鞏固加深理解。

4 教學(xué)過程

課前任務(wù)驅(qū)動查閱資料→課端創(chuàng)設(shè)情境引入新課→課中案例一重點(diǎn)精講，突破難點(diǎn)→類比討論法解決案例二，對比發(fā)現(xiàn)得出概念→課中經(jīng)典例題鞏固練習(xí)→課尾課堂小結(jié)鞏固要點(diǎn)→課末布置作業(yè)課后拓展七個環(huán)節(jié)，現(xiàn)分述如下：

4.1 課前翻轉(zhuǎn)課堂，利用學(xué)院信息化教學(xué)平臺

4.1.1 老師在學(xué)習(xí)通平臺上發(fā)布任務(wù)：在網(wǎng)上查閱劉徽生平及“割圓術(shù)”、阿基米德和“窮竭法”?；卮穑?/p>

（1）劉徽是怎么樣求出圓的面積的？

（2）阿基米德是怎么樣求由拋物線y=x2與直線x=1，y=0所圍成的平面圖形的面積？

4.1.2 查看平臺上本節(jié)課的相關(guān)教學(xué)資料，預(yù)習(xí)新課。

4.2 課端創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入

點(diǎn)評課前學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，贊揚(yáng)大家積極參與的行為。同時老師提問題：

①如何求三角形、矩形、梯形和圓的面積？

②PPT投放大湖，田地等不規(guī)則圖形，這樣的面積怎么求？比如：一個圖形中有直線和曲線（用圖片展示出曲邊梯形），結(jié)合圖形給出曲邊梯形的定義，提出問題：如何求曲邊梯形的面積？

4.3 課中問題驅(qū)動法精講案例一，突破重難點(diǎn)

問題1： 如何求曲邊梯形的面積？

關(guān)鍵點(diǎn)：求曲邊梯形面積的難點(diǎn)在于如何處理這條曲線，而這條曲線是連續(xù)的，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧連續(xù)函數(shù)的定義，從而得知曲邊梯形的高f（x）在很小一段區(qū)間上變化很小，近似于不變。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)回答課前問題，肯定又學(xué)生會說出思路：曲邊梯形→若干窄曲邊梯形→若干窄矩形近似代替，老師立刻組織小組討論，匯報（也就是我們說的分割→近似代替→求和）。

問題2：既然是近似值就會用誤差，用什么方法可以使誤差盡量減?。?/p>

學(xué)生自主討論，教師在大屏幕上投放兩張圖片（一張是將曲邊梯形四等分，一張是將曲邊梯形九等分），引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生最終得出整個思路：“分割→近似代替→求和→取極限”。

問題3：如何用數(shù)學(xué)表達(dá)式最終寫出曲邊梯形的面積公式？

根據(jù)“分割→近似代替→求和→取極限”這一思路，全班分組討論后，各小組派代表展示自己結(jié)果，教師及時再給予評價（評價多以表揚(yáng)和鼓勵為主）。最后，教師作總結(jié)，板書其過程。

4.4 類比、討論法求解變速直線運(yùn)動的路程

對于案例2“變速直線運(yùn)動的路程”知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，是以學(xué)生為主體，學(xué)生根據(jù)案例1的思想方法，在老師的啟發(fā)之下通過類比、小組討論討論完成，變速直線運(yùn)動的路程之后，小組將完成的結(jié)果進(jìn)行展示互相評價，對共性的問題老師進(jìn)行講解，對個別問題進(jìn)行個別指導(dǎo)。

接下來老師引導(dǎo)學(xué)生去觀察兩個案例的解決過程和結(jié)果，發(fā)現(xiàn)拋去它們的實(shí)際意義單純從數(shù)學(xué)的角度看，所用的方法完全相同，并且最終都?xì)w結(jié)為結(jié)構(gòu)相同的和式極限。教師指出在實(shí)際應(yīng)用中，還有很多問題的解決也可以采用這種方法，數(shù)學(xué)上把這種和式的極限值稱為定積分，進(jìn)而引出定積分的概念。（強(qiáng)調(diào)定義中的兩個任意：分割是任意的，小區(qū)間上的點(diǎn)是任意取的），鼓勵學(xué)生用定積分的形式寫出曲邊梯形梯形面積和變速直線運(yùn)動路程的表達(dá)式。（分小組展示）

4.5 典型例題鞏固所學(xué)

例1、用定積分表示，及直線和所圍成的曲邊梯形的面積。

例2、利用定積分的定義計算的值。

4.6 課尾課堂小結(jié)鞏固要點(diǎn)

總結(jié)：梳理知識、鞏固重點(diǎn)

（1）回顧求曲邊梯形面積的四個步驟：分割、近似代替、求和、取極限

（2）回顧定積分作為和式極限的概念

（3）加深概念理解的幾個注意點(diǎn)

4.7 課末布置作業(yè)課后拓展

（1）課本作業(yè)

（2）思考：課端大湖、田地等不規(guī)則圖形的面積如何計算？

5 創(chuàng)新與特點(diǎn)

這節(jié)課屬于概念教學(xué)，遵循概念教學(xué)的五流程：體驗(yàn)概念（課前）、提煉概念（兩個案例）、形成概念、鞏固概念和應(yīng)用概念。分四個階段來實(shí)施：感知階段、理性認(rèn)識階段、概況階段和應(yīng)用階段。

5.1 課前任務(wù)驅(qū)動法：根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)合理利用信息化教學(xué)手段，布置開放式作業(yè)（劉徽割圓術(shù)和阿基米德窮竭法），通過線上線下學(xué)習(xí)萌發(fā)微積分思想;也使課堂上的學(xué)生討論能按老師預(yù)設(shè)的方向進(jìn)行，從而得到正確結(jié)論。

5.2 課中案例分析法和問題驅(qū)動法，使得環(huán)環(huán)緊扣：從兩個案例引入，步步問題，步步緊逼，當(dāng)問題解決時，概念自然出現(xiàn)，把晦澀難懂概念直觀化、形象化，讓學(xué)生有一種“水到渠成”之感，保證重難點(diǎn)的突破。

5.3 恰當(dāng)使用多媒體PPT引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思路。（分割曲邊梯形面積時）

5.4 教學(xué)過程中師生互動，生生互動，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。

（作者單位：甘肅鋼鐵職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部）