二次Hom-Novikov超代數(shù)

孫 冰, 周 鑫

(1.長春師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130032; 2.伊犁師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 新疆 伊寧 835000;3.東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 長春 130024)

Novikov超代數(shù)是Novikov代數(shù)超形式的推廣, 文獻(xiàn)[1]研究表明, 其與二次共形超代數(shù)[2]、頂點(diǎn)算子超代數(shù)[3]密切相關(guān), 并且在量子場論和完全可積系中具有重要作用.二次Novikov超代數(shù)是Novikov超代數(shù), 并且具有一個對稱的非退化不變的雙線性型.目前關(guān)于Novikov超代數(shù)的研究已有很多結(jié)果[4-7].Hom-型代數(shù)是將原代數(shù)的一個或多個等式用線性映射進(jìn)行扭曲, 從而得到的一類更廣的代數(shù)結(jié)構(gòu), 該映射稱為扭曲映射.若扭曲映射為恒等映射, 則退化為原代數(shù).文獻(xiàn)[8]提出了Hom-李代數(shù)的概念; 文獻(xiàn)[9]提出了Hom-結(jié)合代數(shù)的概念.Yau[10]研究了Hom-Novikov代數(shù), 其為一種特殊的Hom-左對稱代數(shù).文獻(xiàn)[11]引入了二次Hom-Novikov代數(shù)的定義, 并與二次Novikov代數(shù)、Hom-李代數(shù)等建立了聯(lián)系.作為Novikov超代數(shù)的推廣, 文獻(xiàn)[12]研究了Hom-Novikov超代數(shù).本文主要研究二次Hom-Novikov超代數(shù).首先, 給出Hom-李超代數(shù)、二次Hom-Novikov超代數(shù)及相關(guān)概念.其次, 當(dāng)Hom-Novikov超代數(shù)中扭曲映射為自同構(gòu)或?qū)蠒r, 討論二次Hom-Novikov超代數(shù)與二次Novikov超代數(shù)之間的關(guān)系, 同時建立二次Hom-Novikov超代數(shù)與二次Hom-李超代數(shù)之間的聯(lián)系.最后, 證明二次Hom-Novikov超代數(shù)是Hom-結(jié)合代數(shù), 且Hom-Novikov超代數(shù)的鄰接Hom-李超代數(shù)是2-步冪零的.

1 基本概念

設(shè)A是域 F上的代數(shù), 并且α:A→A是線性映射.A是2-階化向量空間, 即A可分解為子空間的直和：如果?α,β∈2,Aα·Aβ?Aα+β, 則稱(A,α)是域 F上的Hom-超代數(shù).若x∈Aα,α∈2, 則稱x是次數(shù)為α的2齊次元素, 記|x|=α.若|x|出現(xiàn)在超代數(shù)的某個表達(dá)式中, 則約定x是2齊次元素.對于A中的任意元素x, 用Lx和Rx分別表示A的左乘算子和右乘算子, 即?y∈A,Lx(y)∶=xy,Rx(y)∶=(-1)|x||y|yx.

定義1[12]設(shè)A是2-階化向量空間, [·,·]:A×A→A是偶的線性映射, 且α:A→A是線性映射.若下列等式成立:

α([x,y])=[α(x),α(y)], [x,y]=-(-1)|x||y|[y,x],

(-1)|x||z|[α(x),[y,z]]+(-1)|y||x|[α(y),[z,x]]+(-1)|z||y|[α(z),[x,y]]=0,

其中x,y,z是A中的齊次元素, 則稱(A,[·,·],α)為保積的Hom-李超代數(shù).當(dāng)α為恒等映射時, Hom-李超代數(shù)退化為李超代數(shù).

定義2[12]設(shè)A是2-階化向量空間,μ:A×A→A是偶的線性映射, 且α:A→A是線性映射.若下列等式成立:

α(xy)=α(x)α(y),

(1)

(xy)α(z)-α(x)(yz)=(-1)|x||y|((yx)α(z)-α(y)(xz)),

(2)

(xy)α(z)=(-1)|y||z|(xz)α(y),

(3)

其中?x,y∈A,μ(x,y)=xy, 則稱(A,μ,α)是Hom-Novikov超代數(shù).

定義2中當(dāng)α為恒等映射時, Hom-Novikov超代數(shù)即退化為Novikov超代數(shù).如果等式(1),(2)成立, 則稱(A,μ,α)為Hom-左對稱超代數(shù).

定義3設(shè)(A,μ,α)是Hom-Novikov超代數(shù).

1) 如果α是代數(shù)自同構(gòu), 則稱Hom-Novikov超代數(shù)(A,μ,α) 是正則的;

2) 如果α是對合, 即α2=id, 則稱Hom-Novikov超代數(shù)(A,μ,α)是對合的.

定義4[13]設(shè)(g,[·,·],α)是Hom-李超代數(shù),B是g上的雙線性型.

1) 如果?x,y∈g,B(x,y)=(-1)|x||y|B(y,x), 則稱B是超對稱的;

2) 如果A⊥={x∈g|B(x,y)=0, ?y∈g}=0, 則稱B是非退化的;

3) 如果?x,y,z∈g,B([x,y],z)=B(x,[y,z]), 則稱B是不變的.

定義5設(shè)(g,[·,·],α)是Hom-李超代數(shù), 若g上存在一個超對稱的非退化不變雙線性型B滿足下列等式:

B(α(x),y)=B(x,α(y)), ?x,y∈g,

(4)

則稱(g,[·,·],α,B)是二次(quadratic)Hom-李超代數(shù).當(dāng)α=id時, 二次Hom-李超代數(shù)即退化為李超代數(shù).

定義6[14]設(shè)(A,μ)是Novikov超代數(shù),q是A上的雙線性型.若A⊥={x∈A|q(x,y)=0, ?y∈A}=0, 則稱q是非退化的雙線性型; 若?x,y,z∈A,q(xy,z)=q(x,yz), 則稱q是不變的雙線性型; 若?x,y∈A,q(x,y)=(-1)|x||y|q(y,x), 則稱q是超對稱的雙線性型.

定義7[15]設(shè)(A,μ)是Novikov超代數(shù),q是A上的雙線性型.如果q是非退化的不變超對稱的雙線性型, 則稱(A,q)為二次Novikov超代數(shù).

定義8[15]設(shè)(A,μ,α)是Hom-Novikov超代數(shù), 若A上存在一個超對稱的非退化雙線性型B滿足下列等式：

B(α(x),yz)=B(xy,α(z)), ?x,y,z∈A,

(5)

則稱(A,μ,α,B)是二次Hom-Novikov超代數(shù).當(dāng)α=id時, 二次Hom-Novikov超代數(shù)即退化為二次Novikov超代數(shù).

2 二次Hom-Novikov超代數(shù)的構(gòu)造及性質(zhì)

引理1[12]設(shè)(A,μ,α)是Hom-Novikov超代數(shù).[·,·]:A×A→A是A上的二元算子, 定義為

[x,y]=xy-(-1)|x||y|yx, ?x,y∈A.

則HLie(A)=(A,[·,·],α)是Hom-李超代數(shù).HLie(A)稱為A的子鄰接Hom-李超代數(shù).

命題1設(shè)(A,μ,α,B)是二次Hom-Novikov超代數(shù), HLie(A)=(A,[·,·],α)是A的子鄰接Hom-李超代數(shù).如果α是代數(shù)自同構(gòu)且滿足:

B(α(x),y)=B(x,α(y)), ?x,y∈A,

(6)

則(A,[·,·],α,Bα)是二次Hom-李超代數(shù), 其中Bα(x,y)=B(α(x),y).

證明： 由于B是A上非退化的雙線性型, 且α是代數(shù)自同構(gòu), 故Bα也是A上的非退化雙線性型.對任意的x,y,z∈A, 利用式(6)可知

因此Bα是不變的.利用B的超對稱性和式(6), 有

Bα(x,y)=B(α(x),y)=(-1)|x||y|B(y,α(x))=(-1)|x||y|B(α(y),x)=(-1)|x||y|Bα(y,x),

故Bα是超對稱的.再利用式(6), 可得

Bα(α(x),y)=B(α(α(x)),y)=B(α(x),α(y))=Bα(x,α(y)).

推論1設(shè)(A,μ,B)是二次Novikov超代數(shù), (A,[·,·])是子鄰接李超代數(shù).若α是(A,μ)上的代數(shù)自同構(gòu)并且滿足式(6), 則(A,[·,·]α)=(α°[·,·],α,Bα)是二次Hom-李超代數(shù), 其中Bα(x,y)=B(α(x),y).

證明： 顯然(A,[·,·]α,α)是Hom-李超代數(shù).類似命題1的討論, 可知Bα是超對稱的非退化雙線性型且式(4) 成立.因此只需證Bα在A上是不變的.對任意的x,y,z∈A, 利用B的超對稱和不變性, 有

引理2若(A,μ,α)是對合的Hom-Novikov超代數(shù), 則(A,α°μ)是Novikov超代數(shù).

證明： 令x*y=α(xy), ?x,y∈A.只需驗(yàn)證?x,y,z∈A, 下列等式成立：

(x*y)*z-x*(y*z)=(-1)|x||y|((y*x)*z-y*(x*z)),

(7)

(x*y)*z=(-1)|y||z|(x*z)*y.

(8)

由于(A,μ,α)是對合的Hom-Novikov超代數(shù), 故

此外,

因此式(7),(8)成立.

引理3設(shè)(A,μ,α)是Hom-Novikov超代數(shù), 則(A,α°μ,α2)是Hom-Novikov超代數(shù).

證明： 令x*y=α(xy), ?x,y∈A.只需證明?x,y,z∈A, 下列等式成立：

(x*y)*α2(z)-α2(x)*(y*z)=(-1)|x||y|((y*x)*α2(z)-α2(y)*(x*z)),

(9)

(x*y)*α2(z)=(-1)|y||z|(x*z)*α2(y).

由于(A,μ,α)是Hom-Novikov超代數(shù), 因此有

(x*y)*α2(z)=α2((xy)α(z))=(-1)|y||z|α2((xz)α(y))=(-1)|y||z|(x*z)*α2(y).

此外, 有

命題2設(shè)(A,μ,α,B)是對合二次Hom-Novikov超代數(shù), 則(A,α°μ,B)是二次Novikov超代數(shù).

證明： 由引理2知, (A,α°μ)是Novikov超代數(shù).只需證明B在(A,α°μ)上是不變的雙線性型.對任意的x,y,z∈A, 有

B(x,α(yz))=B(α2(x),α(yz))=B(α(x)α(y),α2(z))=B(α(xy),z).

命題3設(shè)(A,μ,α,B)是二次Hom-Novikov超代數(shù).如果α是代數(shù)自同構(gòu)且滿足式(6), 則(A,*=α°μ,α2,Bα2)是二次Hom-Novikov超代數(shù), 其中Bα2(x,y)=B(α2(x),y).

證明： 由引理3可知, (A,*,α2)是Hom-Novikov超代數(shù).又由于B是A上非退化的雙線性型, 且α是代數(shù)自同構(gòu), 故Bα2是A上非退化的雙線性型.對任意的x,y,z∈A, 可得

Bα2(x,y)=B(α2(x),y)=B(x,α2(y))=(-1)|x||y|B(α2(y),x)=(-1)|x||y|Bα2(y,x),

從而Bα2是超對稱的.此外, 有

因此Bα2是A上不變的雙線性型.

推論2設(shè)(A,μ,α,B)是二次Hom-Novikov超代數(shù).如果α是代數(shù)自同構(gòu)且滿足式(6), 則(A,αn°μ,αn,Bαn)是二次Hom-Novikov超代數(shù), 其中Bαn(x,y)=B(αn(x),y), ?n>0.

設(shè)(A,μ,α)是Hom-Novikov超代數(shù), 其中心化子記作Z(A), 定義為

Z(A)={x∈A|xy=yx=0, ?y∈A}.

設(shè)(g,[·,·],β)是Hom-李超代數(shù),g的降中心序列定義為

g0=A,gi=[g,gi-1], ?i≥1.

如果gi=0并且gi-1≠0, 則稱g是i-步冪零的.Hom-李超代數(shù)的中心記作C(A), 定義為

C(A)={x∈A|[x,y]=0, ?y∈A}.

定理1設(shè)(A,μ,α,B)是正則二次Hom-Novikov超代數(shù), 則(A,μ,α)是Hom-結(jié)合超代數(shù).

證明： 定義(x,y,z)=α(x)(yz)-(xy)α(z).對任意的x,y,z,d∈A, 有

因此,

由B非退化性可得(x,y,z)=0.

定理2設(shè)(A,μ,α,B)是正則二次Hom-Novikov超代數(shù), HLie(A)是鄰接Hom-李超代數(shù), 則?x,y∈HLie(A), [x,y]?Z(A), 進(jìn)而HLie(A)是2-步冪零的.

證明： 對任意的x,y,z∈A, 由定理1可得

由式(5), 有

由于α代數(shù)自同構(gòu)且B是不變的, 故[x,y]∈Z(A).因此, [HLie(A),HLie(A)]?Z(A).顯然,Z(A)?C(HLie(A)).所以HLie(A)是2-步冪零的.