二次函數(shù)圖像性質(zhì)的課堂實(shí)錄和反思

孫慧

本文是筆者在一次校級公開課上的教學(xué)實(shí)錄。整理成文的過程中，反思教學(xué)環(huán)節(jié)后有了新的體會，記錄在此。

1 教學(xué)案例分析

環(huán)節(jié)1 情景引入

教師：首先來看一段文字“兩彎似蹙非蹙罥煙眉，一雙似泣非泣含露目。態(tài)生兩靨之愁，嬌襲一身之病?！蔽淖置枋龅氖牵?/p>

學(xué)生：林黛玉/一名女子。

教師：能否通過文字刻畫她的面容和身姿？

學(xué)生若有所思。

教師：如果有圖片，會更加直觀了吧。（課件展示林黛玉圖片）圖片更生動，文字更具體，兩者結(jié)合，圖文并茂，林黛玉的形象則深入人心。那么函數(shù)，可從哪些方面去認(rèn)識它呢？

學(xué)生：函數(shù)解析式和圖像。

教師：函數(shù)式是代數(shù)角度，圖像是形的角度，數(shù)形結(jié)合，認(rèn)識徹底。我們曾學(xué)過一次函數(shù)，它的解析式是什么？圖像又是什么？

學(xué)生：解析式是y=kx+b（k≠0），圖像是一條直線。

教師：你能列舉出最簡單的二次函數(shù)么？

學(xué)生1：y=2x2

學(xué)生2：不對，是y=x2

教師：兩位同學(xué)的舉例可歸納為y=ax2（a≠0），它是二次函數(shù)的代數(shù)式，那形又如何呢？二次函數(shù)長什么模樣呢？有請兩位同學(xué)板演作圖。

環(huán)節(jié)2 概念形成

學(xué)生繪圖完畢。教師：兩位同學(xué)都注意到了，用平滑的曲線串聯(lián)各點(diǎn)，自變量取值均勻且對稱。請大家觀察這幅開口向下的二次函數(shù)圖像，聯(lián)想生活實(shí)際，是否似曾相識？

學(xué)生：像拋擲物體后的運(yùn)動軌跡。

教師：很好！所有的二次函數(shù)圖像都是拋物線，我們可以稱它為拋物線y=ax2（a≠0）。繼續(xù)觀察，這兩條拋物線最大的區(qū)別是什么？

學(xué)生：開口朝向不同。

教師：那它們對應(yīng)的函數(shù)式有什么區(qū)別？

學(xué)生：a的正負(fù)不同。

教師：猜想，什么因素導(dǎo)致了開口方向的不同？

學(xué)生異口同聲，都猜到了是a的正負(fù)導(dǎo)致開口方向的不同。教師用幾何畫板驗(yàn)證一簇開口向上結(jié)果。

教師：思考，為何a>0時，開口一定就朝上呢？

學(xué)生：因?yàn)楫?dāng)a>0時，x無論取任何數(shù)，y為非負(fù)數(shù)，因此所有的點(diǎn)都在x軸的上方。

教師：解釋得非常棒！同理，可得到當(dāng)a<0時，拋物線開口向下。幾何畫板驗(yàn)證?，F(xiàn)在聚焦幾何畫板中開口向上的一簇拋物線，你還能觀察到它們的什么共同特征呢？小組討論三分鐘。

學(xué)生們紛紛得出以下結(jié)論：對稱軸在y軸;圖像有最低點(diǎn)在原點(diǎn);在y軸左邊，圖像下降，在y軸右邊，圖像上升。

教師：請列表寫出當(dāng)a<0時的拋物線圖像的特征。有請一位同學(xué)板演。

環(huán)節(jié)3 明晰性質(zhì)

教師：由此我們發(fā)現(xiàn)，任意一個二次函數(shù)，它的圖像都是一條拋物線。函數(shù)式中的系數(shù)決定了圖像的具體模樣。我們首先讀取a的正負(fù)，判斷開口方向;繼而可觀察到圖像的最低或最高點(diǎn)，即為頂點(diǎn);以頂點(diǎn)為分?jǐn)?shù)領(lǐng)，左右兩側(cè)的增減趨勢不同。所有的二次函數(shù)都可以從這四個方面去討論。

環(huán)節(jié)4 應(yīng)用性質(zhì)

例1：已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=（k-3）。

（1）求k的值;

（2）k為何值時，拋物線有最低點(diǎn)？此時，當(dāng)x為多少時，y隨x的增大而增大？

例2：已知點(diǎn)A（-3，y1），B（-1，y2），C（3，y3）在拋物線y=x2上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是？

環(huán)節(jié)5 課堂小結(jié)

課堂最后，送給學(xué)生一首華羅庚的詩：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非！”

2 教學(xué)反思與說明

2.1 教學(xué)質(zhì)疑

教學(xué)設(shè)計中存在兩處疑問：（1）二次函數(shù)的圖像為什么要研究這幾條性質(zhì)？再遇到其他函數(shù)時也是研究這些性質(zhì)嗎？會不會遺漏？（2）教師提問里涉及到了一次函數(shù)，點(diǎn)到為止，卻沒有調(diào)動學(xué)生的記憶輔助本堂課的教學(xué)，那為何要提？可否利用一次函數(shù)，進(jìn)行類比學(xué)習(xí)？（3）數(shù)形結(jié)合的口號不少說，什么時候用數(shù)形結(jié)合，為什么要用？

2.2 反思與改進(jìn)

為此，我做了以下思考和預(yù)設(shè)。在環(huán)節(jié)二提到一次函數(shù)時，首先請學(xué)生列舉一次函數(shù)并繪制圖形，大家共同討論一次函數(shù)圖像的特征，并總結(jié)圖像的性質(zhì)：一次函數(shù)是一條直線;沒有最小值最大值;隨著自變量的變化，函數(shù)值單調(diào)變化。繼而觀察一次函數(shù)解析式中的字母，明確了x和y是自變量和因變量，對應(yīng)圖像中各個點(diǎn)的橫縱坐標(biāo);k和b是系數(shù)，是決定一次函數(shù)特殊性的常量，是圖像中各個點(diǎn)坐落于哪個具體位置的決勝武器。因此得到斜率k控制一次函數(shù)圖像的增減趨勢，截距b決定一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。然后在進(jìn)入二次函數(shù)的圖像繪制，后續(xù)的分析過程，學(xué)生會主動類比一次函數(shù)，觀察函數(shù)圖像特征，對比函數(shù)解析式系數(shù)，揣測其對應(yīng)關(guān)系，并加以驗(yàn)證，學(xué)習(xí)過程水到渠成。

2.3 學(xué)生內(nèi)化過程

由此給學(xué)生建立了以下意識：1，函數(shù)解析式可以通過系數(shù)判斷函數(shù)的特征，但圖像更直觀，數(shù)形結(jié)合原來如此;2，圖像雖是一條直線或曲線，但可以通過與坐標(biāo)軸的特殊交點(diǎn)，對稱性，增減趨勢，最值等顯著特征來豐富對圖像的描述;3，先驗(yàn)知識一次函數(shù)和新知識二次函數(shù)不是割裂開的獨(dú)立知識，他們都屬于函數(shù)范疇，一次函數(shù)的分析過程，可以運(yùn)用到二次函數(shù)，甚至其他函數(shù)，由此加深了類比學(xué)習(xí)的思想。類，是相同特征的遷移;比，是不同特征的分離。相同的是，一次函數(shù)和二次函數(shù)都有解析式和圖像兩種表達(dá)方式，函數(shù)式中的系數(shù)決定函數(shù)圖像的細(xì)節(jié);不同的是，不同類型的函數(shù)圖像特征不盡相同，函數(shù)性質(zhì)應(yīng)該是能夠突出表達(dá)圖像特征的描述。

參考文獻(xiàn)：

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