基于高階矩法的CRTSⅡ型軌道板抗裂可靠度*

張龍文， 周勁

(1．湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410128； 2.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410076)

截至2018年底，中國(guó)高鐵的運(yùn)營(yíng)里程接近3萬(wàn)公里，位居世界第一。無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)因具有穩(wěn)定性高、耐久性好、維修工作量少等優(yōu)點(diǎn)，在我國(guó)高速鐵路上獲得越來越廣泛的應(yīng)用[1-2]。無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)類型有CRTS Ⅰ型板式、CRTS Ⅱ型板式、CRTS Ⅲ型板式、CRTS Ⅰ型雙塊式以及CRTS Ⅱ型雙塊式無(wú)砟軌道。其中CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)是我國(guó)目前鋪設(shè)里程最長(zhǎng)的軌道結(jié)構(gòu)形式，廣泛應(yīng)用于我國(guó)京津、京滬、滬昆等多條客運(yùn)專線中。

目前，對(duì)于CRTS Ⅱ型軌道板的設(shè)計(jì)主要采用容許應(yīng)力方法。容許應(yīng)力法已不能完全適應(yīng)新形勢(shì)下結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的需要，采用基于可靠度理論的極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法已經(jīng)成為國(guó)際主流趨勢(shì)。近幾年來，可靠度理論已經(jīng)逐步應(yīng)用于CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。其中，CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)的抗裂可靠度為重點(diǎn)研究問題之一。對(duì)CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析時(shí)，列車豎向荷載效應(yīng)計(jì)算往往需要通過有限元方法進(jìn)行分析，難以建立顯式功能函數(shù)，給可靠度分析帶來困難。針對(duì)該問題，許多學(xué)者對(duì)CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)抗裂可靠度方面進(jìn)行了相關(guān)的研究。例如，張國(guó)虎[3]采用有限元與蒙特卡羅相結(jié)合的方法，通過ANSYS有限元軟件中的可靠性分析模塊(PDS)對(duì)CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度分析，但其需要進(jìn)行成千上萬(wàn)次的有限元模擬，工作量大，不適用于實(shí)際工程；李懷龍等[4]假設(shè)軌道板為“串聯(lián)寬軌枕”，采用彈性地基梁模型建立了列車荷載效應(yīng)的顯式表達(dá)式，并用一次二階矩法[5]進(jìn)行可靠度計(jì)算，該方法避免了隱式函數(shù)計(jì)算問題，但是一次二階矩方法對(duì)于實(shí)際工程中的強(qiáng)非線性問題，多驗(yàn)算點(diǎn)問題等都難以發(fā)揮效力。針對(duì)一次二階矩存在的問題，眾多學(xué)者發(fā)展了多種結(jié)構(gòu)可靠度分析方法，如二次二階矩法[6-7]，響應(yīng)面法[8-9]等，這些方法雖然在一定程度上解決了驗(yàn)算點(diǎn)法的某些弱點(diǎn)，但卻使得結(jié)構(gòu)可靠度分析越來越復(fù)雜。近年來，趙衍剛等和盧朝輝等[10-11]直接通過功能函數(shù)的高階矩(均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度)來計(jì)算破壞概率，發(fā)展了一個(gè)以高階矩法為基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)可靠度理論體系。該方法計(jì)算簡(jiǎn)單，用前四階矩代替功能函數(shù)分布，簡(jiǎn)單有效地解決了一次二階矩法迭代驗(yàn)算問題，從而為CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)可靠度分析提供了新途徑。

基于此，本文利用ANSYS軟件建立CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)有限元模型，針對(duì)隱式功能函數(shù)問題，提出點(diǎn)估計(jì)-有限元的前四階矩計(jì)算方法，進(jìn)而發(fā)展了基于高階矩可靠度理論的CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)抗裂可靠度分析方法。最后，通過實(shí)例分析，說明了本文方法的應(yīng)用，驗(yàn)證了本文提出方法的高效性與精確性。

1 CRTS Ⅱ型軌道板抗裂功能函數(shù)

1.1 列車荷載與溫度共同作用下的軌道板抗裂功能函數(shù)

CRTS Ⅱ型軌道板的設(shè)計(jì)思路之一是軌道板在使用過程中假縫允許開裂成為“真縫”，軌道板從鋪設(shè)時(shí)的“板”轉(zhuǎn)變?yōu)椴捎每v連鋼筋串聯(lián)的“寬軌枕”。因此，對(duì)于軌道板橫向按預(yù)應(yīng)力混凝土軌枕設(shè)計(jì)，即列車荷載和梯度溫度的共同作用下不出現(xiàn)裂縫，CRTS Ⅱ型軌道板抗裂功能函數(shù)Z表達(dá)為[12-13]

(1)

式中，MR為截面開裂彎矩；ML1為列車豎向荷載作用下引起的彎矩；ML2為列車橫向荷載作用下引起的彎矩；MT為梯度溫度作用下引起的彎矩；γR為抗力分項(xiàng)系數(shù)，取值為1.4；γ0為結(jié)構(gòu)重要系數(shù)，取值為1.0；Tw為結(jié)構(gòu)計(jì)算模型不確定系數(shù)；γL為列車荷載分項(xiàng)系數(shù)，取值為1.5；φT為組合系數(shù)，取值為0.5；γT為梯度溫度作用分項(xiàng)系數(shù)，取值為1.0。

式(1)中列車橫向荷載作用下的彎矩ML2，表達(dá)為[14]

ML2=0.3Q·h

(2)

式中，h為軌道板至軌面的距離；Q為列車橫向荷載，取豎向列車荷載的0.8倍。

CRTS Ⅱ型軌道板由于寬度較寬，板的上下表面將承受梯度溫度作用。為方便計(jì)算，對(duì)于無(wú)砟軌道翹曲應(yīng)力，不管是單元式還是連續(xù)式軌道，其上層軌道板的縱、橫向翹曲應(yīng)力，均按完全約束無(wú)限大板的Westgaard翹曲應(yīng)力公式計(jì)算。在梯度溫度作用下軌道板彎矩MT表達(dá)為[14]

(3)

式中，Ecν,α分別為軌道板混凝土材料的彈性模量、泊松比及線膨脹系數(shù)；Tg為溫度梯度；h為軌道板厚度；αh為溫度梯度板厚修正系數(shù)，取1.05。

1.2 列車豎向荷載作用下的軌道板有限元模型及其彎矩

利用ANSYS有限元軟件建立彈性地基上的CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道梁板模型進(jìn)行列車豎向荷載作用下的彎矩ML1計(jì)算。鋼軌簡(jiǎn)化為彈性點(diǎn)支承梁，采用BEAM188單元模擬；軌道板和底座板采用板殼單元SHELL63模擬；扣件、CA砂漿填充層采用彈簧單元COMBIN14模擬；參考文獻(xiàn)[14]，下部基礎(chǔ)采用彈性地基模型。為了考慮扣件的尺寸效應(yīng)，將每個(gè)鋼軌節(jié)點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)的扣件尺寸范圍內(nèi)(150 mm×300 mm)的軌道板節(jié)點(diǎn)均相連，計(jì)算模型如圖1所示。

模型中鋼軌采用CHN60鋼軌，彈性模量為2.1×105MPa，泊松比為0.3；扣件選用WJ-8型扣件，扣件節(jié)點(diǎn)的垂直靜剛度為40 kN/mm，間距0.65 m；軌道板采用實(shí)際尺寸，寬度為2.55 m，厚度為0.2 m，采用C55混凝土，彈性模量為3.55×105MPa，泊松比為0.2。為了消除邊界的影響，取等效3塊軌道板的長(zhǎng)度為19.45 m考慮；CA砂漿其長(zhǎng)度、寬度與軌道板相同，采用離散彈簧來模擬，彈性模量取7 000 MPa；底座板寬度為2.95 m，厚度為0.2 m，采用C30混凝土，彈性模量為3.0×105MPa；地基系數(shù)取1 000 MPa/m。

圖1 CRTS Ⅱ 型板式無(wú)砟軌道力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of CRTS Ⅱ slab ballastless track

根據(jù)上述建立的列車豎向荷載作用下的軌道板有限元模型，設(shè)列車豎向荷載作用下的軌道板彎矩ML1的所有隨機(jī)變量組成的基本隨機(jī)變量X=[x1,x2,…，xn]T，則ML1表示為X的隱式函數(shù)：

ML1=S(X)=S(x1,x2,…，xn)

(4)

2 高階矩可靠度分析方法

2.1 功能函數(shù)的前四階矩

一般地，對(duì)于功能函數(shù)Z=G(X)，向量X=(x1,x2,…，xn)代表n個(gè)基本隨機(jī)變量，前四階矩根據(jù)定義表達(dá)為

(5a)

(5b)

(5c)

式中，μG、σG分別為功能函數(shù)Z=G(X)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；αkG(k=3,4)分別為功能函數(shù)Z=G(X)的偏度(k=3)與峰度(k=4)；fx(X)是基本隨機(jī)變量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)。對(duì)于一些簡(jiǎn)單的功能函數(shù)，如隨機(jī)變量較少的線性函數(shù)或獨(dú)立隨機(jī)變量的乘積，其各階矩可直接由上述積分得到。然而在實(shí)際工程中，存在功能函數(shù)的維數(shù)高甚至是隱式表達(dá)式等情況，直接積分計(jì)算非常復(fù)雜，因此利用減維方法簡(jiǎn)化計(jì)算十分必要。

2.2 多隨機(jī)變量功能函數(shù)前四階矩的二維減維點(diǎn)估計(jì)方法

對(duì)于功能函數(shù)Z=G(X)，運(yùn)用Rosenblatt逆變換，則功能函數(shù)的第k階原點(diǎn)矩[15]表達(dá)為

(6)

式中，T-1(u)為Rosenblatt逆變換，φ(u)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù),u=(u1,u2,…，un)代表n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。設(shè)式中的{G[T-1(u)]}為L(zhǎng)(u)，表達(dá)為[16]

(7a)

式中

L0=L(0,…,0,…,0)

(7b)

(7c)

(7d)

式中，i,j=1,2,…,n,且i

將式(7a)-(7d)帶入式(6)，則n維函數(shù)的積分簡(jiǎn)化為二維函數(shù)之和的積分計(jì)算，式(6)進(jìn)一步表達(dá)為

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

利用Gauss-Hermite積分公式，式(8b)和(8c)可分別近似表示為：

(9a)

(9b)

式中，uiq,ujr指標(biāo)準(zhǔn)空間估計(jì)點(diǎn)，Piq,Pjr指標(biāo)準(zhǔn)空間估計(jì)點(diǎn)相應(yīng)的權(quán)重。若采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的7點(diǎn)估計(jì)即m=7，則估計(jì)點(diǎn)值uiq(q=1,2m)及權(quán)重Piq，或ujr(r=1,2m)及權(quán)重Pjr如下式所示[16]：

ui1=uj1=-3.750 439 7,Pi1=Pj1=5.482 69×10-4

(10a)

ui2=uj2=-2.366 759 4,Pi2=Pj2=3.075 71×10-2

(10b)

ui3=uj3=-1.154 405 4,Pi3=Pj3=0.240 123 3

(10c)

ui4=uj4=0,Pi4=Pj4=0.457 142 7

(10d)

ui5=uj5=1.154 405 4,Pi5=Pj5=0.240 123 3

(10e)

ui6=uj6=2.366 759 4,Pi6=Pj6=3.075 71×10-2

(10f)

ui7=uj7=3.750 439 7,Pi7=Pj7=5.482 69×10-4

(10g)

為便于理解與計(jì)算，將式(7b)-(7d)，及(9a)-(9b)轉(zhuǎn)化至原始空間，表達(dá)為

L0=Gμ(μ1,…,μi,…,μn)

(11a)

(11b)

(11c)

式中，μ1(1，2，…，n)指第i個(gè)基本隨機(jī)變量的均值，xi(xj)指第i(j)個(gè)基本隨機(jī)變量的原始空間估計(jì)點(diǎn)。

(12a)

(12b)

將式(11a), (12a)-(12b)代入式(8a)計(jì)算μkG，k值取1-4，即功能函數(shù)的前四階原點(diǎn)矩。根據(jù)原點(diǎn)矩與中心矩的關(guān)系，含n個(gè)基本隨機(jī)變量的功能函數(shù)G(X)的前四階矩(即均值μG、標(biāo)準(zhǔn)差σG、偏度α3G和峰度α4G)表達(dá)為

(13a)

(13b)

2.3 四階矩可靠指標(biāo)

不失一般性，功能函數(shù)Z=G可以等效轉(zhuǎn)化為均值為零和標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)化功能函數(shù)ZG，即：

(14)

式中,ZG可以近似表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量u的一元三次多項(xiàng)式即四階矩標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)[11]。

ZG=S(u,M)=-l1+k1u+l1u2+k2u3

(15)

式中，M為功能函數(shù)Z=G的前四階矩(μG,σG,α3G, α4G)向量，l1,k1,k2為多項(xiàng)式系數(shù)。

(16)

其中，l2為

(17)

根據(jù)式(15)，四階矩標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)的逆函數(shù)S-1表達(dá)為

(18)

式中，

(19)

根據(jù)失效概率的定義，功能函數(shù)Z=G對(duì)應(yīng)的失效概率Pf可以表示為

(20)

假設(shè)ZG的概率分布函數(shù)CDF為F(ZG)，則根據(jù)等概率變換

F(ZG)=Φ(u)=Φ[S-1(ZG,M)]

(21)

式中，Φ(u)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)；S-1(ZG,M)為式(15)的逆函數(shù)。

接著，式(20)可以進(jìn)一步表達(dá)為

Pf=F(-β2M)=Φ[S-1(-β2M,M)]

(22)

根據(jù)可靠指標(biāo)與失效概率的關(guān)系及式(22)，四階矩可靠指標(biāo)表達(dá)為[11]

(23)

式中，

(24)

3 點(diǎn)估計(jì)-有限元方法計(jì)算前四階矩步驟

為了計(jì)算列車豎向荷載作用下軌道板彎矩的前四階矩，基于1.2節(jié)建立的軌道板有限元模型，本文提出了點(diǎn)估計(jì)-有限元法，具體實(shí)施步驟如下：

(1) 建立CRTS Ⅱ型軌道板的有限元分析模型；

(2) 確定影響列車豎向荷載作用下的軌道板彎矩的基本隨機(jī)變量X的分布類型和統(tǒng)計(jì)參數(shù)；

(3) 確定估計(jì)點(diǎn)個(gè)數(shù)m以及標(biāo)準(zhǔn)空間中的估計(jì)點(diǎn)及相應(yīng)權(quán)重，進(jìn)而通過Rosenblatt逆變換得到原始空間中的估計(jì)點(diǎn)；

(4) 對(duì)n個(gè)基本隨機(jī)變量在原始空間的估計(jì)點(diǎn)進(jìn)行組合，組合方法如下：

① 基本隨機(jī)變量X均在均值點(diǎn)取值，即一組輸入變量Xμ=[μ1,μ2,…,μn]T；記為輸入變量第一部分。

② 基本隨機(jī)變量X中任意一個(gè)變量取m個(gè)估計(jì)點(diǎn)，其余基本隨機(jī)變量均取均值，即得到C1n×m組輸入變量Xi=[μ1,…,xi,r, …,μn]T,i=1,2,…,n;r=1, 2, …,m；記為輸入變量第二部分。

(5) 將N組基本隨機(jī)變量X的估計(jì)點(diǎn)依次帶入有限元模型中進(jìn)行軌道板彎矩確定性分析，進(jìn)而輸出N組列車豎向荷載作用下的軌道板響應(yīng)值；

(6) 將各組計(jì)算的響應(yīng)值及其相應(yīng)的權(quán)重，代入式(12a)-(12b)，進(jìn)而結(jié)合式(8a)，(11a)及(13a)-(13b)計(jì)算列車豎向荷載作用下軌道板彎矩ML1的前四階矩。

根據(jù)以上具體步驟，列車豎向荷載作用下的軌道板彎矩ML1的前四階矩計(jì)算流程如圖2所示。

圖2 點(diǎn)估計(jì)-有限元方法計(jì)算前四階矩流程圖Fig.2 The flow chart of the first four moments calculated by point estimate-finite element method

4 算例分析

4.1 結(jié)構(gòu)基本隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)矩和分布類型

文獻(xiàn)[3]收集了24組軌道板靜載試驗(yàn)數(shù)據(jù)，認(rèn)為軌道板軌下開裂正彎矩(MR)服從均值為52.94 kN·m，標(biāo)準(zhǔn)差為7.09 kN·m的正態(tài)分布；文獻(xiàn)[17]分析了CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)在列車豎向荷載作用下參數(shù)的敏感性，把列車豎向荷載、扣件剛度和地基系數(shù)視為隨機(jī)變量；在分析梯度溫度作用下的軌道板彎矩MT時(shí)，本文將溫度梯度、板厚修正系數(shù)、軌道板彈性模量視為隨機(jī)變量；分析列車橫向荷載作用下軌道板彎矩ML2時(shí)，本文將列車豎向荷載和軌道板至軌面的距離視為隨機(jī)變量；參考文獻(xiàn)[3]與[17]，基本隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)矩和分布類型如表1所示。

表1 CRTS Ⅱ型軌道板基本隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)矩與分布類型Table 1 Statistical moments and distribution types of basic random variables of CRTS Ⅱ track slab

4.2 功能函數(shù)的前四階矩及可靠指標(biāo)

(25)

從圖3可以看出，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，彎矩ML1的前四階矩在Nsim=105時(shí)結(jié)果趨近收斂。因此，本文以Nsim=105時(shí)計(jì)算的前四階矩作為準(zhǔn)確值與本文方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

表2 本文方法與隨機(jī)有限元法計(jì)算的前四階矩及其相對(duì)誤差Table 2 The first four moments calculated by the proposed method and stochastic finite element method and its relative errors

圖3 不同模擬次數(shù)的軌道板彎矩ML1的前四階矩Fig.3 The first four moments of bending moment of track slab ML1 under different simulation times

表2給出了本文方法與隨機(jī)有限元法Nsim=105時(shí)計(jì)算的前四階矩及其相對(duì)誤差。從表2可以看出，本文方法計(jì)算得到的軌道板彎矩ML1的前四階矩與隨機(jī)有限元法計(jì)算結(jié)果吻合，相對(duì)誤差控制在5%之內(nèi)，驗(yàn)證了本文方法的有效性。由于本文方法只需計(jì)算323次，而隨機(jī)有限元法需計(jì)算105次，表明本文方法對(duì)于豎向荷載作用下軌道板彎矩前四階矩計(jì)算即隱式函數(shù)前四階矩的計(jì)算具有高效性。

4.2.2 其余基本變量的前四階矩 從表1可知，軌下開裂彎矩MR及計(jì)算模型不確定系數(shù)Tw服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知，該類變量的偏度和峰度分別為0與3。MR與Tw的標(biāo)準(zhǔn)差根據(jù)表1中均值與變異系數(shù)求得。MR與Tw的前四階矩列于表3中。

當(dāng)計(jì)算有顯式表達(dá)式的列車橫向荷載作用下軌道板彎矩ML2以及梯度溫度作用下軌道板彎矩MT的前四階矩時(shí)，根據(jù)式(5a)-(5c)的定義積分計(jì)算前四階矩，列于表3中。

表3 隨機(jī)變量及功能函數(shù)的前四階矩Table 3 The first four moments of random variables and performance function

4.2.3 軌道板抗裂可靠指標(biāo) 將各基本隨機(jī)變量(MR,Tw,ML1,ML2,MT)分別看作功能函數(shù)G1,G2,G3,G4,G5，利用表2與表3中各隨機(jī)變量(MR,Tw,ML1,ML2,MT)的前四階矩，根據(jù)式(14)-(17)同時(shí)產(chǎn)生G1,G2,G3,G4,G5的隨機(jī)樣本，進(jìn)而根據(jù)式(1)計(jì)算總體功能函數(shù)Z的樣本即采用Monte-Carlo模擬方法對(duì)式(1)進(jìn)行功能函數(shù)樣本計(jì)算。類似地，根據(jù)統(tǒng)計(jì)矩的定義即式(25)計(jì)算總體功能函數(shù)Z的前四階矩，如表3所示。最后，利用功能函數(shù)的前四階矩，根據(jù)式(23)計(jì)算得到CRTS Ⅱ型軌道板的抗裂可靠指標(biāo)為4.63。

參照《鐵路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[18]中對(duì)工程結(jié)構(gòu)安全等級(jí)的規(guī)定，CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道軌道板應(yīng)按二級(jí)安全等級(jí)進(jìn)行設(shè)計(jì)，其可靠指標(biāo)應(yīng)在3.2以上。因此，本文方法計(jì)算結(jié)果滿足規(guī)范可靠指標(biāo)要求。

5 結(jié) 論

(1) 提出了基于點(diǎn)估計(jì)-有限元計(jì)算隱式函數(shù)前四階矩的計(jì)算方法。實(shí)例分析表明本文計(jì)算前四階矩與隨機(jī)有限元模擬(Monte-Carlo模擬)結(jié)果吻合，驗(yàn)證了本文方法的高效性與精確性，為CRTS Ⅱ軌道板結(jié)構(gòu)在隱式功能函數(shù)情況下前四階矩的計(jì)算提供了高效合理的工具。

(2) 發(fā)展了基于高階矩理論的CRTS Ⅱ軌道板抗裂可靠度分析方法。通過實(shí)例計(jì)算得到CRTS Ⅱ 型軌道板抗裂可靠指標(biāo)為4.63，滿足《鐵路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[18]的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)要求。

(3) 本文僅考慮了CRTS Ⅱ軌道板抗裂可靠度，但本文方法可類推至處理隱式功能函數(shù)的軌道結(jié)構(gòu)體系可靠度分析中，且對(duì)CRTS Ⅱ軌道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論及維修策略等有一定的理論參考價(jià)值和借鑒意義。