變指數(shù)脈沖微分系統(tǒng)的多重周期解*

張申貴

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030)

本文中, 研究二階脈沖微分系統(tǒng)

(1)

設(shè)Iij:R→R連續(xù)，tj表示脈沖發(fā)生的時(shí)刻, 且t0=0

問(wèn)題(1)具有以下三個(gè)特點(diǎn): 首先，問(wèn)題(1)中帶有脈沖效應(yīng)項(xiàng)。在許多科學(xué)領(lǐng)域的研究中都呈現(xiàn)出脈沖現(xiàn)象, 例如有毒雜草在牧區(qū)草場(chǎng)中的季節(jié)性爆發(fā)過(guò)程, 生物神經(jīng)元的輸入過(guò)程, 注射藥物在人體中的濃度變化過(guò)程等，脈沖微分方程考慮到瞬時(shí)突發(fā)現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響。近年來(lái), 脈沖微分方程吸引了很多學(xué)者的關(guān)注, 已有一些研究結(jié)果，如文獻(xiàn)[1-6]。

當(dāng)λ=0，Iij(t)=0時(shí), 一些學(xué)者研究了p(t)-Laplace 系統(tǒng)周期或同宿解的存在性[10-15]。特別的, 當(dāng)p(t)=2時(shí)，非線性項(xiàng)滿足(AR)型超線性條件， 即存在μ>2，L>0使得 0<μF(t,u)≤(▽F(t,u),u)，對(duì)所有|u|≥L和t∈[0,T]成立時(shí)，文[11]利用山路定理得到了p(t)-Laplace系統(tǒng)周期解的存在性定理。由(AR)條件可推出非線性項(xiàng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處關(guān)于變量u是超線性增長(zhǎng)的, 該條件可以保證作用泛函的(PS)序列是有界的, (AR)條件已應(yīng)用于非線性微分方程的研究中,但是許多超線性函數(shù)并不滿足(AR)條件[16-19]。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

記p(t):[0,T]→R+為連續(xù)函數(shù)，定義變指數(shù) Lebesgue 空間

(2)

引理3[20](噴泉定理)設(shè)X為Banach空間，X=Zk⊕Yk，dimYk<+∞。若泛函φ∈C1(X,R),滿足:φ(0)=0，φ(u)=φ(-u)，且

則泛函φ有一列趨向于+∞的臨界值。

2 主要結(jié)果

假設(shè)以下條件成立：

(F0) 對(duì)任意的u∈RN，F(xiàn)(t,u)關(guān)于變量t可測(cè)；對(duì)a.e.t∈[0,T]，F(xiàn)(t,u)關(guān)于變量u連續(xù)可微，且存在函數(shù)a∈C(R+,R+)和b∈L1([0,T];R+)，有|F(t,u)|≤a(|u|)b(t)；|▽F(t,u)|≤a(|u|)b(t)，對(duì)a.e.t∈[0,T]和所有u∈RN成立。

(F1) 設(shè)存在常數(shù)c1>0，c2>0，L>0及σ>1，使得

(F3) 設(shè)F(t,0)=0，F(xiàn)(t,u)=F(t,-u)，對(duì)a.e.t∈[0,T]和所有u∈RN成立。

對(duì)于i∈{1,2,…,N}，j∈{1,2,…,m}，Iij(t)滿足下列條件:

(I3) 對(duì)?t∈R，Iij(t)都是奇函數(shù)。

本文的主要結(jié)果如下：

定理1 設(shè)條件(F0)-(F3)，(I1)-(I3)成立，則問(wèn)題(1)有無(wú)窮多個(gè)解{uk}k∈N滿足：當(dāng)k→+∞時(shí)，有φ(uk)→+∞。

證明下面利用噴泉定理(引理3)證明定理1。下面用ci，i=0，1，2，…表示不同的正常數(shù)。

(3)

(4)

由條件(F0)和(F1)-(i)，可得

(5)

(6)

聯(lián)合式(5),式 (6), 有

(7)

結(jié)合式(4), 當(dāng)n→+∞時(shí), 有

(8)

由式(6)，條件(F1)-(ii)，可得

(9)

由式(8),式(9), 并利用H?lder 不等式, 當(dāng)n→+∞時(shí), 有

(10)

(11)

由Iij(t)的連續(xù)性, 當(dāng)n→+∞時(shí)，有

由條件(F0)，當(dāng)n→+∞時(shí)，有

(12)

第3步證明泛函φ滿足引理3中條件(iii)。

注意到dimYk<+∞，由有限維空間范數(shù)的等價(jià)性，有

(13)

由條件(F0)和(F2)，對(duì)于??>0，存在c13>0，使得

(14)

對(duì)a.e.t∈[0,T]和所有u∈RN成立。

綜上, 泛函φ滿足引理3中所有條件, 由引理3知, 泛函φ有一列臨界點(diǎn){uk}k∈N滿足: 當(dāng)k→+∞時(shí)，有φ(uk)→+∞, 從而問(wèn)題(1)有無(wú)窮多個(gè)解{uk}k∈N滿足：當(dāng)k→+∞時(shí)，有φ(uk)→+∞。

取p(t)=2，N=4，t1=1，t2=2，令

其中i=1,2,3,4，j=1,2，則Iij(t)滿足條件(I1)-(I3)。