基于MATLAB的生產計劃最優(yōu)化系統(tǒng)設計

王君

摘要：該文應用方差分析、回歸分析和非線性規(guī)劃理論分析解決運籌學中的生產計劃問題，在此基礎上設計了一個基于MATLAB軟件的人機交互界面：不用編寫程序，輸入統(tǒng)計數(shù)據后能夠直接調用優(yōu)化計算函數(shù)，得出最優(yōu)的生產計劃方案，具有操作簡單、方便的優(yōu)點。

關鍵詞：最優(yōu)化設計；生產計劃；MATLAB

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2016）29-0191-02

生產計劃問題是建立生產計劃的優(yōu)化模型，使工廠的盈利最大，是運籌學的典型問題之一。運籌學（operational Research）是有效運用系統(tǒng)優(yōu)化的方法，建立數(shù)學模型或運用數(shù)學定量，對經濟或軍事活動中的人力、物力、財力等資源進行有效的配置和統(tǒng)籌安排，為決策者提供最優(yōu)方案一門學科。優(yōu)化設計（Optimization Design）就是從多種方案中選擇最佳方案的設計方法。它以數(shù)學中的最優(yōu)化理論為基礎，根據設計中所追求的性能目標，建立目標函數(shù)，在滿足給定的各種約束條件下，尋求最優(yōu)的設計方案。隨著優(yōu)化設計理論研究和應用實踐的不斷發(fā)展，特別是電子計算機技術的日新月異，工程優(yōu)化設計正在逐步向自動化、集成化和智能化的方向發(fā)展。

運籌學中的大部分問題都可以應用MATLAB軟件中內置函數(shù)通過編程求解，例如本文涉及的方差分析、回歸分析和非線性規(guī)劃問題等。MATLAB還可以設計人機交互的可視化界面：圖形用戶界面（GUI）是用戶與計算機程序之間的交互方式，它是包含圖形對象，如窗口、圖標、菜單和文本以及工具欄的用戶界面。文章設計了生產計劃問題的GUI界面，通過選擇相應的按鍵功能，用戶可以非常直觀、輕松地得出結果。

1應用方差分析確定廣告方案

廣告宣傳對產品的銷量有著顯著的影響，廣告方案在制定的時候會考慮到受眾人群、投放形式、宣傳側重點等多種因素，不同的廣告方案可能帶來銷量的明顯變化。在廣泛宣傳后，進行統(tǒng)計調查，可以應用方差分析法確定未來的廣告投放方案。

方差分析法可以基于不太多的統(tǒng)計數(shù)據，分析一個或多個因素對某個響應變量的影響和作用的顯著性。圖1中的MAT-LAB GUI界面上可以輸入三種廣告方案下四個季度的銷量，按下確認鍵后將調用MATLAB的單因素方差分析函數(shù)：p=anoval（x，group，'off'），其中返回的p值大于0.05，認為因素無顯著影響，將在界面上顯示：“廣告方案無明顯區(qū)別”。

如果p值小于0.05，認為不同的廣告方案對銷量有顯著影響，將進一步進行統(tǒng)計分析，用參數(shù)估計法計算各水平效應值，效應值最大對應的廣告引起的銷量最多。

2應用回歸分析得到產品銷量與廣告投入、定價的關系

產品的廣告投入越大，產品的知名度越高，當然銷量也會更好；產品降價銷售，銷量也會增加?；貧w分析是用來確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關系的統(tǒng)計方法，當所測的變量之間的線性關系不明顯時，可以用多項式回歸方法回歸模型描述變量間的函數(shù)關系。多項式回歸的判斷準則是保證實際數(shù)據與計算數(shù)據之間差的平方和最小，根據回歸條件計算出最優(yōu)數(shù)據擬合多項式的系數(shù)。MATLAB有內置的擬合函數(shù)：polyval和polyfit，可以對數(shù)據進行一階、二階、三階以及更高階的多項式的最佳擬合，其調用格式如下：

p=polyfit（x，y，n）：對x與y進行n維多項式的曲線擬合，輸出結果p為含有n+1個元素的行向量，該向量以維數(shù)遞減的形式給出擬合多項式的系數(shù)。

圖2中輸入不同產品定價和廣告投入下的銷量，按下確認鍵后將繪制出三階擬合曲線（圖3），直觀表現(xiàn)出產品銷量與廣告投入、定價的關系。同時得到擬合系數(shù)將用于生產計劃的最優(yōu)化設計。

3應用非線性規(guī)劃理論確定最優(yōu)生產計劃

產品的單價越高，單個產品的所得利潤會越高，但是同時產品的銷量會下降；產品的廣告投入越大，產品的知名度越高，當然銷量也會更好，所得的利潤也更大，但是，產品的投入也會增大。要平衡廣告投入、單價和銷量的關系，得出最優(yōu)的定價和廣告投入額以及最大可能獲得的利潤值，可以建立最優(yōu)生產計劃的非線性規(guī)劃模型求解。

非線性規(guī)劃是數(shù)學規(guī)劃的一個重要組成部分，它起源于工業(yè)生產組織管理的決策問題，在數(shù)學上用來確定多變量函數(shù)在滿足非線性約束條件下的最優(yōu)值。最優(yōu)生產計劃的非線性規(guī)劃模型是將總利潤作為目標函數(shù)，產品銷量與廣告投入、定價的關系為非線性約束，產品的支出應該在總資本之內作為線性約束條件，定價高于成本及變量非負數(shù)作為邊界條件，求解產品的單價、銷量、廣告費三個變量的最優(yōu)解和相應的總利潤最大值。Maflab提供了求解有約束的多維非線性規(guī)劃問題的函數(shù)fmincon，用于求解最優(yōu)化問題，調用格式：[xfval]=fmincon（@（x）optiumfun（x，n），x0，A，b，[]，[]，lb，[]，@（x）confun（x，n，p，q））；x為返回的最優(yōu)解，fval為最優(yōu)解的目標函數(shù)，optiumfun為目標函數(shù)：從x0開始，在線性約束條件A*x<=b、邊界條件lb<=x和非線性不等式約束function[c，ceq]=confun（）下找到函數(shù)的最小值。

在圖2中鍵入總成本和單件產品成本值，按下優(yōu)化設計按鍵后將彈出最優(yōu)生產計劃方案界面（圖4），從中可以得到可以獲得最大利潤的定價、產量和廣告投入方案。

4結論

本文利用MATLAB GUI開發(fā)工具和優(yōu)化函數(shù)設計的生產計劃最優(yōu)化系統(tǒng)，是運用管理運籌學的理論，建立和求解總利潤、產品銷量和定價以及廣告投入的非線性模型：在總資本的限制，產品銷量與廣告投入、定價的約束條件下，求解最佳定價、產量和廣告方案，可以為廠家實現(xiàn)利潤最大化提供最優(yōu)決策。