帶有記憶項(xiàng)的多孔彈性方程解的衰減

劉 瑤,李冬林

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

0 引言

本文討論了帶有記憶項(xiàng)的多孔彈性方程[1-4]：

(1)

解的衰減。方程(1)相應(yīng)的初始條件及邊界條件為：

(2)

式(1)和式(2)中:u為縱向位移；v為固體彈性材料的容積率；ρ,μ,b,J,δ和ξ為正常數(shù)，且滿足μξ>b2；g1(t),g2(t)為松弛函數(shù)。

文獻(xiàn)[1-4]建立了多孔彈性理論，該理論表明:體積密度是兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的乘積，即矩陣材料密度和體積分?jǐn)?shù)場(chǎng)的乘積。近年來(lái)，彈性材料受到廣泛的關(guān)注，廣泛應(yīng)用在石油工業(yè)、材料力學(xué)、土壤力學(xué)、基礎(chǔ)工程和生物學(xué)等方面。本文從數(shù)學(xué)角度研究該材料構(gòu)成系統(tǒng)解的衰減。在一維情況下，帶記憶項(xiàng)的多孔彈性方程的演化方程[5]為：

ρutt=Tx,Jvtt=Hx+G,

(3)

其中:T為應(yīng)力張量；H為平衡應(yīng)力矢量；G為平衡身體力。式(3)的本構(gòu)方程為：

(4)

將式(4)代入式(3)，可得到方程(1)。

文獻(xiàn)[5-15]研究表明:在微觀和宏觀水平上，不同阻尼機(jī)制下空隙多孔彈性溶液的衰減是不同的。文獻(xiàn)[6]中的記憶項(xiàng)是在方程的邊界上，證明能量是整體衰減的，但只與記憶項(xiàng)有關(guān)。與文獻(xiàn)[6]相比，文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[7]的記憶項(xiàng)都在方程中，文獻(xiàn)[5]的記憶項(xiàng)是在多孔方程中，證明在波速相等的情況下解是整體衰竭的，且與記憶項(xiàng)有關(guān)，而文獻(xiàn)[7]討論帶有記憶項(xiàng)的耦合波動(dòng)方程解是整體衰減的。

1 預(yù)備知識(shí)

定義

V={u∈H1(0,1):u(1)=0}。

函數(shù)g1(t)和g2(t)滿足性質(zhì)：

(H1)C1減函數(shù)gi:R+→R+,其中，i=1,2，滿足：

(H2)存在非增函數(shù)η:R+→R+，且

類似文獻(xiàn)[9]，利用伽遼金(Galerkin)方法得到如下結(jié)果：

定理1若(u0,u1),(v0,v1)∈V×L2(0,1)，則方程(1)和方程(2)存在唯一的解(u(t),v(t))，滿足：

(u(t),v(t))∈C(R+;V)∩C1(R+;L2(0,1))。

定義方程(1)的能量：

(5)

定理2若(u,v)為方程(1)和方程(2)的解，假設(shè)性質(zhì)(H1)和性質(zhì)(H2)成立，則對(duì)任意的t0>0，存在兩個(gè)正常數(shù)c,α，使方程(1)和方程(2)的能量滿足：

2 一般衰減

使用乘子法證明方程(1)能量衰減。首先，給出一個(gè)等式：

引理1若g,φ∈C1(R+)，則

其中：

將方程(1)的第1個(gè)方程乘以u(píng)t，第2個(gè)方程乘以vt，在(0,1)上積分再相加，然后利用分部積分公式和引理1，得到:

因此，根據(jù)性質(zhì)(H1)和性質(zhì)(H2)，可得：

經(jīng)過(guò)以上計(jì)算，可知方程(1)能量是非增的。

接下來(lái)，定義

其中：

在證明主要結(jié)果前，需要先證明下面3個(gè)引理。

引理2假設(shè)性質(zhì)(H1)和性質(zhì)(H2)成立，若u(x,t),v(x,t)是方程(1)和方程(2)的解，則函數(shù)F1(t)滿足

(6)

證明對(duì)F1(t)關(guān)于t求導(dǎo)，可得:

(7)

利用Young不等式可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

結(jié)合式(7)～式(11)，可得到不等式(6)。證畢。

引理3假設(shè)性質(zhì)(H1)和性質(zhì)(H2)成立，若u(x,t),v(x,t)是方程(1)和方程(2)的解，則函數(shù)F2(t)滿足

(12)

證明先計(jì)算J1(t)。對(duì)J1(t)關(guān)于t進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)方程(1)，再利用分部積分得：

(13)

對(duì)任意的δ1>0，利用Young不等式、Holder不等式和Poincare不等式，容易得到：

(14)

(15)

(16)

(17)

結(jié)合式(13)～式(17)，得到：

(18)

接下來(lái)計(jì)算J2(t)。對(duì)J2(t)關(guān)于t求導(dǎo)，根據(jù)方程(1)，再利用分部積分得：

(19)

類似于J1(t)的計(jì)算過(guò)程，利用Young不等式、Holder不等式和Poincare不等式，可得：

(20)

結(jié)合式(18)和式(20)，不等式(12)得證。證畢。

定義Lyapunov函數(shù)L(t)=NE(t) +MF2(t) +F1(t)。

引理4當(dāng)N> 0充分大時(shí)，存在兩個(gè)正常數(shù)c1,c2> 0，使得：

c1E(t)≤L(t)≤c2E(t),?t>0。

(21)

證明利用Cauchy-Schwarz不等式、Holder不等式和Poincare不等式，有：

c(g1°ux+g2°vx)≤cE(t),

因此，

|L(t)-NE(t)|≤cE(t),

即

(N-c)E(t)≤L(t)≤(N+c)E(t),

令c1=N-c> 0,c2=N+c> 0，得到式(21)。證畢。

定理2的證明定義函數(shù)L(t)為：

L(t)=NE(t)+MF2(t)+F1(t)。

令

對(duì)于任意的t0>0，利用式(5)、引理1和引理2，可得：

其中：l=min{l1,l2}。

當(dāng)N足夠大時(shí)，有：

因此，

-mE(t)+c(g1°ux+g2°vx),

(22)

其中：常數(shù)m,c>0。

將式(22)乘以η(t)，根據(jù)性質(zhì)(H1)和性質(zhì)(H2)，可得：

-mη(t)E(t)-cE′(t)。

(23)

令

Λ(t)=L(t)η(t)+cE(t)，

顯然Λ(t)與E(t)等價(jià)。

由式(23)和η′(t)<0,?t>0,可知：

Λ′(t)=η′(t)L(t)+η(t)L′(t)+cE′(t)≤η(t)L′(t)+cE′(t)≤-mη(t)E(t),

因此，對(duì)任意的常數(shù)α> 0，可得：

E′(t)≤-αη(t)E(t)。

(24)

對(duì)式(24)在(t0,t)上積分：

證畢。

注記1考慮如下例子：

令常數(shù)ai,bi>0,i=1,2。定義a=min{b1,b2}。

(Ⅰ)指數(shù)衰減

E(t)≤ce-αat,?t≥t0。

(Ⅱ)多項(xiàng)式衰減

E(t)≤c(1+t)-αa,?t≥t0。

E(t)≤c(1+t)-αa,?t≥t0。

3 結(jié)束語(yǔ)

偏微分方程主要研究方程解的正則性、適定性、穩(wěn)定性、可控性和衰減性，本文從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，探討多孔彈性方程在初始條件和第一類邊界條件下解的衰減，該方程屬于雙曲型方程。之前的文獻(xiàn)都是在多孔彈性方程中加不同的阻尼項(xiàng)，使得多孔彈性方程能量衰減的程度有所不同。本文對(duì)多孔彈性方程加的邊界項(xiàng)及阻尼項(xiàng)進(jìn)行了改進(jìn)。