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    向量空間上的仿射包含圖

    2020-05-22 09:28:08麗,黃
    關(guān)鍵詞:圖論同構(gòu)代數(shù)

    王 麗,黃 迪

    (河南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 焦作 454000)

    0 引言

    圖論和代數(shù)是近代數(shù)學(xué)的兩個重要分支,在物理、化學(xué)和計算機科學(xué)等領(lǐng)域有著重要的理論意義和應(yīng)用價值。兩者雖然研究內(nèi)容不同,卻有著緊密的聯(lián)系:圖論性質(zhì)可以用來研究代數(shù)結(jié)構(gòu),代數(shù)的理論也常用來解決圖論問題。因此,許多學(xué)者將它們結(jié)合起來進行研究。1988年,文獻[1]首次提出交換環(huán)的零因子圖概念,建立了圖論與交換環(huán)理論的聯(lián)系。從此,圖與各種代數(shù)結(jié)構(gòu)結(jié)合起來進行研究引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。例如,文獻[2-3]研究了有限群、冪零群、內(nèi)冪零群以及內(nèi)交換群上冪圖的相關(guān)性質(zhì)。文獻[4-5]分別對交換環(huán)和單演半群上的點積圖進行了研究。文獻[6]分類了有限群上的正則交圖,并給出了交圖自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)。文獻[7-8]研究了圖的自同態(tài)幺半群,建立起圖論和半群代數(shù)理論的聯(lián)系,并將半群理論用于圖論的研究。文獻[9-10]定義了向量空間上的非零組合圖,研究了圖的獨立數(shù)、哈密爾頓性及邊連通度等。文獻[11-12]研究了向量空間上子空間包含圖的歐拉性、點傳遞性、直徑等,隨后文獻[13]確定了子空間包含圖自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)。

    目前,圖和代數(shù)結(jié)構(gòu)的結(jié)合研究大多與群、半群、環(huán)等代數(shù)結(jié)構(gòu)相關(guān),有關(guān)仿射幾何的圖研究還比較少。因此,本文定義了仿射包含圖In(AV),利用向量空間、仿射幾何及圖論的相關(guān)知識,討論了圖In(AV)的圍長、著色數(shù)和團數(shù)等基本性質(zhì),并給出了仿射包含圖同構(gòu)與向量空間同構(gòu)之間的關(guān)系。

    1 預(yù)備知識

    本文所討論的圖都是簡單無向圖,關(guān)于圖論方面未提及的概念、符號等可參閱文獻[14]。圖中頂點vi的度數(shù)是與vi相關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目,記作d(vi)。沒有邊的圖稱為空圖。M=v0,e0,v1,…,ek-1,vk是一條從v0到vk的長度為k的途徑。如果對任意的i≠j,都有vi≠vj,則稱M是一條道路。如果圖G中任意兩個頂點之間都存在一條道路,則稱G為連通的。一條封閉的路稱為圈,為了方便,常用v1,v2,…,vk,v1表示一條長度為k的圈。G的圍長是G中最短圈的長度,記作g(G)。特別地,如果G不含任何圈,則g(G)=∞。如果對于G中的任意頂點v,總存在一個三角形(u,v,w),其中u,v∈V(G),則稱G可三角化。圖G的一個完全子圖稱為團,圖G中最大完全子圖所含的頂點個數(shù)是G的團數(shù),記作ω(G)。著色數(shù)χ(G)是滿足圖G中相鄰頂點分配不同顏色所需顏色數(shù)的最小值。

    給定一個q元域上的n維向量空間V,V中k維子空間的個數(shù)[15]為:

    仿射幾何是由V中的向量和仿射子空間組成的,仿射子空間可由V中向量子空間經(jīng)過平移得到,因此若S是一個k維子空間,則對于任意β∈V,S+β:={α+β|α∈S}是一個k維仿射子空間。規(guī)定若S=?,且dim({β})=0,則S+β={β}。顯然,若β′∈(S+β),則S+β′=S+β。關(guān)于仿射幾何未提及的內(nèi)容,可以參閱文獻[16]。文獻[11]定義了V的子空間包含圖In(V),其點集是V中非平凡子空間的集合,任取W1,W2∈V(In(V)),若W1?W2或W2?W1,則(W1,W2)∈E(In(V))。受此啟發(fā),本文定義了仿射包含圖。在下文中,除非特別提到,V都是q元域上的n維向量空間,S是V中的向量子空間。

    2 仿射包含圖的結(jié)構(gòu)及基本性質(zhì)

    定義1令V是q元域F上的有限維向量空間,S是V的一個子空間且S≠V。定義仿射包含圖In(AV)如下:

    V(In(AV))={S+β|?β∈V};

    E(In(AV))={(S1+α,S2+β)|S1+α?S2+β或S2+β?S1+α}。

    例1令{α1,α2}是V的一組基,q=Z2,則2維向量空間上的仿射包含圖In(AV)如圖1所示。

    圖1 2維向量空間上的仿射包含圖In(AV)

    引理1任取S1,S2∈V(In(AV)),下列結(jié)論成立:

    (Ⅰ) 若S1≠S2,則S1+α≠S2+β。

    (Ⅱ)S1+α?S2+β的充要條件是S1?S2且α∈S2+β。

    (Ⅲ) 若S1,S2是向量空間V的兩個不同的子空間,且0≤dim(S1)=dim(S2)≤n-1, 則(S1+α,S2+β)?E(In(AV))。

    證明(Ⅰ) 若α∈S2+β,則S2+α=S2+β。由于S1≠S2,則S1+α≠S2+α,因此S1+α≠S2+β。若α?S2+β,而α∈S1+α,因此S1+α≠S2+β。證畢。

    (Ⅱ)充分性顯然成立,下證必要性。若S1+α?S2+β,則α∈S2+β,因此S2+α=S2+β。顯然S1+α?S2+α。對任意的β∈S1,總有β+α∈S1+α。明顯地,β+α∈S2+α,因此β∈S2。由β的任意性可知S1?S2。證畢。

    (Ⅲ)假設(shè)(S1+α,S2+β)∈E(In(AV)),則S1+α?S2+β或S2+β?S1+α。由證明(Ⅱ)可知:S1?S2或S2?S1。而dim(S1)=dim(S2),因此S1=S2,與已知條件矛盾。證畢。

    定理1In(AV)是一個n部圖。

    證明因為V是一個n維向量空間,所以In(AV)的頂點集可以被劃分為n個互不相交的部分,即V(In(AV))=V0∪V1∪…∪Vn-1,其中,v∈Vi且dim(v)=i。由引理1的證明(Ⅲ)可得,對任意v,u∈Vi,i=0,…,n-1,總有(u,v)?E(In(AV))。因此,In(AV)是一個n部圖。證畢。

    接下來,討論仿射包含圖In(AV)的頂點個數(shù)和每個頂點的度數(shù)。

    引理2任取α∈V,頂點S和S+α的度數(shù)相等。

    證明假設(shè)S′?S,S?S″,其中S′和S″是向量子空間。則存在仿射子空間S′+α和S″+α,滿足S′+α?S+α及S+α?S″+α。因此d(S)≤d(S+α)。

    假設(shè)S′+β?S+α,S+α?S″+γ,其中S′+β和S″+γ是仿射子空間。由引理1中的(Ⅱ)可知,S′?S,S?S″。因此d(S+α)≤d(S)。綜上,d(S+α)=d(S)。證畢。

    推論1若dim(V)=1,則In(AV)是一個有q個頂點的空圖。

    引理3若dim(V)≥2,則In(AV)是連通圖。

    證明任取S1+α,S2+β∈V(In(AV)),顯然總存在一條連接這兩點的路:S1+α,α,〈α〉,0,〈β〉,β,S2+β。 因此,In(AV)是連通的。證畢。

    3 仿射包含圖的相關(guān)特征

    引理4若dim(V)=2,則In(AV)無奇圈。

    證明任取vi∈V(In(AV)),因為dim(V)=2,所以仿射子空間vi是0維或1維的。假設(shè)存在奇圈v1,v2,…,vk,v1,其中k是奇數(shù)。由引理1中的(Ⅲ)可得:

    dim(v1)=dim(v3)=…=dim(vk-2)=dim(vk),

    這與(v1,vk)∈E(In(AV))矛盾,因此引理4成立。證畢。

    定理4若dim(V)=n,則In(AV)的圍長為:

    證明因為In(AV)是簡單圖,因此沒有重邊,則沒有長度為2的圈。若n=1,由推論1易知g(In(AV))=∞。

    若n=2,由引理4可知In(AV)沒有奇圈。下證In(AV)中不含長度為4的圈。假設(shè)存在一個長度為4的圈:v1,v2,v3,v4,v1,不失一般性,令dim(v1)=dim(v3)=1且dim(v2)=dim(v4)=0。假設(shè)v1=〈α〉+γ,v3=〈β〉+γ′。若α和β線性相關(guān),則|v1∩v3|=0。若α和β線性無關(guān),則|v1∩v3|=1。因此至多存在一個頂點同時與v1和v3相鄰,但v2和v4都與v3相鄰,矛盾。因此,不存在長度為4的圈。然而,〈α〉+γ,γ,〈γ〉,0,〈α+γ〉,α+γ,〈α〉+γ是一個長度為6的圈,因此圍長為6。

    假定α和β是V中的兩個向量,若n≥3,γ=k1α+k2β,k1,k2∈F,顯然〈α〉+γ,〈α,β〉+γ,γ,〈α〉+γ是一個三角形,因此圍長為3。證畢。

    定理5若dim(V)≥3,則In(AV)可三角化。

    證明令S是V的一個子空間,{α1,α2,…,αn}是V的一組基,γ是V中的向量。

    若dim(S+γ)<2,令S=α1或〈α1〉,顯然α1+γ,〈α1〉+γ,〈α1,α2〉+γ,α1+γ是一個三角形。

    若dim(S+γ)≥2,令S=〈α1,α2,…,αk〉,k≥2,顯然存在V中的兩個子空間S′=〈α1,α2,…,αk-1〉,S″=〈α1,α2,…,αk-2〉,使得S+γ,S′+γ,S″+γ,S+γ是一個三角形。證畢。

    定理6V是一個n維向量空間,當(dāng)且僅當(dāng)ω(In(AV))=n。

    證明因為In(AV)是一個n部圖,則其頂點集V(In(AV))可被表示為n個獨立集的并。此外,其最大團不能包含多于每個獨立集合的一個頂點,因此ω(In(AV))≤n。令{α1,α2,…,αn}為n維向量空間V的一組基,Si=〈α1,α2,…,αi〉,i=1,2,…,n-1。顯然,{α,S1+α,…,Sn-1+α}是一個大小為n的團,其中α∈V。因此,ω(In(AV))=n。反過來,若ω(In(AV))=n,令dim(V)=m,由上述證明過程易知ω(In(AV))=m,因此m=n。證畢。

    推論2令V是一個n維向量空間,且n≥5,則In(AV)不可平面。

    證明由定理6可知,ω(In(AV))≥5,即In(AV)包含一個完全圖K5作為子圖,因此不可平面。證畢。

    定理7若V是一個n維向量空間,則χ(In(AV))=n。

    證明根據(jù)文獻[17]的標(biāo)記5.1.2,In(AV)是n可著色的,即χ(In(AV))≤n。任取V中的向量γ,m維非平凡子空間S,不失一般性,令S=〈α1,α2,…,αm〉。將{α1,α2,…,αm}擴充為V的一組基{α1,α2,…,αn}。顯然,γ,〈α1〉+γ,〈α1,α2〉+γ,…,〈α1,α2,…,αm〉+γ,…,〈α1,α2,…,αm,…,αn-1〉+γ構(gòu)成一個n個點的完全圖,即對于任意的S+γ∈V(In(AV)),都有S+γ∈V(Kn)。因此χ(In(AV))=n。證畢。

    定理8令V1和V2是域F上的兩個有限維向量空間,則In(AV1)和In(AV2)同構(gòu)的充要條件是V1和V2同構(gòu)。

    證明充分性: 假設(shè)V1和V2作為向量空間是同構(gòu)的,令{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}分別為V1和V2的一組基。令τ是V1到V2的一個同構(gòu)映射,并且滿足:

    τ(a1α1+a2α2+…+anαn)=a1τ(α1)+a2τ(α2)+…+anτ(αn),其中a1,a2,…,an∈F。

    τ(τ-1(S)+τ-1(α))=S+α,

    (S+β,S′+α)∈E(In(AV1))?
    S+β?S′+α或S′+α?S+β?
    τ(S+β)?τ(S′+α)或τ(S′+α)?τ(S+β)?
    (τ(S+β),τ(S′+α))∈E(In(AV2))。

    因此,In(AV1)和In(AV2)同構(gòu)。

    必要性: 令dim(V1)=n1,dim(V2)=n2。由定理6可得:ω(In(AV1))=n1,ω(In(AV2))=n2。因為In(AV1)和In(AV2)同構(gòu),所以n1=n2,因此V1與V2同構(gòu)。證畢。

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