平面向量綜合演練A卷

■劉中亮

一、選擇題

1.如圖1，設(shè)D，E為正三角形A B C中B C邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且B C=2，則等于( )。

圖1

2.如圖2，在△A B C中，∠B A C=60°，A B=5，A C=6，D是A B上一點(diǎn)，且，則等于( )。

圖2

A.1 B.2

C.3 D.4

3.如圖3，已知點(diǎn)M是邊長(zhǎng)為2的正方形A B C D的內(nèi)切圓P內(nèi)(含邊界)一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是( )。

圖3

A.[-1，0] B.[-1，2]

C.[-1，3] D.[-1，4]

4.設(shè)a0為單位向量，現(xiàn)有下列三個(gè)命題：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=|a|·a0；②若a與a0平行，則a=|a|a0；③若a與a0平行且|a|=1，則a=a0。

其中假命題的個(gè)數(shù)是( )。

A.0 B.1

C.2 D.3

5.定義：|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ為向量a與b的夾角。若|a|=2，|b|=5，a·b=-6，則|a×b|等于( )。

A.-8 B.8

C.-8或8 D.6

6.在 四 邊 形AB C D中，則四邊形A B C D的形狀是( )。

A.矩形

B.平行四邊形

C.梯形

D.以上都不對(duì)

7.在平行四邊形A B C D中，M是B C的中點(diǎn)，若，則λ+μ=( )。

8.已知向量，若向量與的夾角為60°，且則實(shí)數(shù)的值為( )。

9.設(shè)向量a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定義一種向量積：a?b=(a1，a2)?(b1，b2)=(a1b1，a2b2)。已 知 向 量，點(diǎn)P在y=cosx的圖像上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在y=f(x)的圖像上運(yùn)動(dòng)，且滿足(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則y=f(x)在區(qū)間上的最大值是( )。

10.已知函數(shù)f(x)=Asin(πx+φ)的部分圖像如圖4所示，點(diǎn)B，C是該圖像與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線與該圖像交于D，E兩點(diǎn)，則的值為( )。

圖4

11.在矩形A B C D中，點(diǎn)F在邊C D上。若，則的值為( )。

12.已知A，B，C是平面上不共線_的三點(diǎn)，O是△A B C的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P一定為△A B C的( )。

A.B C邊中線的中點(diǎn)

B.B C邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)

C.重心

D.B C邊的中點(diǎn)

13.記M的最大值和最小值分別為Mmax和Mmin。若平面向量a，b，c滿足|a|=|b|=a·b=c·(a+2b-2c)=2，則( )。

14.已知向量a，b，c滿足|a|=|b|=a·b=2，(a-c)·(b-2c)=0，則|b-c|的最小值為( )。

15.如圖5，在直角梯形A B C D中，DA=A B=1，B C=2，點(diǎn)P在陰影區(qū)域(含邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是( )。邊長(zhǎng)為2，平面A B C內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P，M滿足

圖5

16.如圖6所示，已知正三角形A B C的則的最大值是( )。

圖6

17.如圖7所示，已知直線l1與圓心為C的圓(x-1)2+(y-2)2=4相交于不_同的A，B兩點(diǎn)，對(duì)平面內(nèi)任意點(diǎn)Q都有又點(diǎn)P為直線l2：3x+4y+4=0上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為( )。

圖7

A.21 B.9

C.5 D.0

二、填空題

18.給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。虎廴籀?a=0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λ a=μb，則a與b共線。

其中正確命題的序號(hào)為____。

19.下列敘述錯(cuò)誤的是____(填序號(hào))。

①若非零向量a與b方向相同或相反，則a+b與a，b之一的方向相同；②|a|+|b|=|a+b|?a與b方向相同；③向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λ a；；⑤若λ a=λ b，則a=b。

20.在平面直角坐標(biāo)系x O y中，已知點(diǎn)A(-12，0)，B(0，6)，點(diǎn)P在圓O：x2+y2=50上，若，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是____。

21.定義平面向量的一種運(yùn)算a☉b=|a+b|×|a-b|×sin，其中是a與b的夾角?，F(xiàn)給出下列命題：①若=90°，則a☉b=a2+b2；②若|a|=|b|，則(a+b)☉(a-b)=4a·b；③若|a|=|b|，則a☉b≤2|a|2；④若a=(1，2)，b=(-2，2)，則

其中真命題的序號(hào)是____。

22.設(shè)W是由一平面內(nèi)的n(n≥3)個(gè)向量組成的集合。若a∈W，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模，則稱a是W的極大向量?，F(xiàn)有下列命題：

①若W中每個(gè)向量的方向都相同，則W中必存在一個(gè)極大向量；②給定平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量a，b，在該平面內(nèi)總存在唯一的平面向量c=-a-b，使得W={a，b，c}中的每個(gè)元素都是極大向量；③若W1={a1，a2，a3}，W2={b1，b2，b3}中的每個(gè)元素都是極大向量，且W1，W2中無公共元素，則W1∪W2中的每一個(gè)元素也都是極大向量。

其中真命題的序號(hào)是____。

23.在△A B C中，A B=B C=2，A C=3，設(shè)G是△A B C的內(nèi)心，若則的值為____。

24.如圖8，已知△A B C的外心，垂心分別為O，H。若，則m=____。

圖8

25.對(duì)于任意兩個(gè)非零的平面向量m，n，定義m，n之間的新運(yùn)算。已知非零的平面向量a，b滿足：a?b和b?a都在集合}中，且|a|≥|b|。若向量a，b的夾角則

26.已 知，則的最大值為____。

27.已知向量其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量與的夾角在區(qū)間內(nèi)變化，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

28.如圖9，已知A C=2，B為A C的中點(diǎn)，分別以A B，A C為直徑在A C同側(cè)作半圓，M，N分別為兩半圓上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)A，B，C)，且BM⊥BN，則的最大值為____。

圖9

29.在如圖10所示的方格紙中，向量a，b，c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形頂點(diǎn))上，若c與x a+y b(x，y為非零實(shí)數(shù))共線，則的值為____。量，若M，N，P三點(diǎn)共線，則λ=____。

圖10

31.如圖11所示，在梯形A B C D中，

30.已知e1，e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向，若

圖11

32.在 △A B C中點(diǎn)P是△A B C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)

三、解答題

33.設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知

(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線。

34.已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)·(2a+b)=61。

(1)求a與b的夾角θ。

(2)求|a+b|的值。

35.如圖12，在△O C B中，A是C B的中點(diǎn)，D是 將分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，D C與O A交于點(diǎn)E，設(shè)

圖12

(1)用a和b表示向量

36.已知向量a=(cosx，sinx)，b=(3，

(1)若a∥b，求x的值。

(2)記f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值。