三角恒等變換常見(jiàn)典型考題賞析

■尹志雄

作者單位：江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣曹甸高級(jí)中學(xué)

題型1：三角函數(shù)公式的變形應(yīng)用

三角函數(shù)公式變形應(yīng)用需注意的兩個(gè)問(wèn)題：①公式逆用時(shí)，一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系；②注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)等數(shù)值時(shí)，一定要考慮引入特殊角。要熟記三角函數(shù)公式的變式，如sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ，cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ，tanα±tanβ=tan(α±β)·(1?tanαtanβ)，cos2α=

例1 已知sin 76°cos46°-cos76°sin46°，則 sinα=( )。

解：由tanα=sin76°cos 46°-cos 76°·，且α∈，可得由上容易得到應(yīng)選A。

題型2：角的變換

熟練掌握常用的角變換技巧，如α=(α+β)-β=(α-β)+β，2α=(α+β)+(α-β)，

例2 設(shè)α為銳角，若，則的值為( )。

解：(方法1)因?yàn)棣翞殇J角，所以。因?yàn)樗浴?yīng)選B。

(方法2)因?yàn)棣翞殇J角，所以又因?yàn)樗?/p>

跟蹤訓(xùn)練2：已知?jiǎng)t的值是( )。

提示：由，可得

題型3：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)問(wèn)題

求解三角函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等問(wèn)題時(shí)，一般先要進(jìn)行三角恒等變換，把三角函數(shù)式化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性以及周期公式求解。解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)圖像的應(yīng)用。

例3 已知函數(shù)若將函數(shù)f(x)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖像，則函數(shù)g(x)在區(qū)間]上的最大值和最小值之和為( )。

由題意可知函數(shù)g(x)=由，可得，可知當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值，且g(x)min=-1；當(dāng)，即x=0時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值，且故函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值之和為應(yīng)選A。

跟蹤訓(xùn)練3：已知函數(shù)+θ)-cos(2x+θ)(-π＜θ＜0)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，記f(x)在區(qū)間上的最大值為n，且f(x)在[mπ，nπ](m＜n)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值是____。

提示：因?yàn)榈膱D像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以0。又因?yàn)?π＜θ＜0，所以，即θ=，這時(shí)當(dāng)x∈即n=2。令當(dāng)k=2時(shí)，即實(shí)數(shù)m的最小值是

題型4：非特殊角的求值問(wèn)題

解答這類問(wèn)題，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值的問(wèn)題。此類問(wèn)題也可通過(guò)代數(shù)變形(如正負(fù)項(xiàng)相消、分子分母相約)的方式來(lái)求值。

題型5：給值求值問(wèn)題

給值求值問(wèn)題的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異，一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外某些函數(shù)式的值，以備應(yīng)用，同時(shí)要注意變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的。

例5 已知的值。

解：因?yàn)椋?sin2α-sinα·cosα-3 cos2α=0，則(2sinα-3 cosα)(sinα+cosα)=0(sinα+cosα≠0)，所以2sinα=3 cosα。又sin2α+cos2α=1，所以cosα=。故原式=

跟蹤訓(xùn)練5：已知sin(α-β)cosα-cos(β，其中β是第三象限角，則

提示：依題意可將已知條件變形為，可得sinβ=

因?yàn)棣率堑谌笙藿?，所以cosβ=

題型6：三角函數(shù)的求角問(wèn)題

這類問(wèn)題的一般解題思路是：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)，已知正弦或余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)。若角的范圍是，選正弦或余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦函數(shù)較好；若角的范圍為，選正弦函數(shù)較好。例6 已知A，B均為鈍角，且，則A+B=____。解：因?yàn)?，解得又因?yàn)锳為鈍角，所以cosA=由，且B為鈍角，可得cosB=

故cos(A+B)=cosAcosB-sinA·。又A，B均為鈍角，則A，B∈，所以A+B∈(π，2 π)，由此可得A+

跟蹤訓(xùn)練6：已知α，β∈(0，π)，且tan(α，則2α-β的值為____。

提示：由tanα=tan[(α-β)+β]=，可得由，可得0＜2α＜。由，可得，所以-π＜2α-β＜0。因?yàn)閠an(2α-β)=，故

題型7：三角函數(shù)與平面向量的交匯

平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)命題，其形式多樣，解法靈活，且極富思維性和挑戰(zhàn)性。對(duì)于這類問(wèn)題，根據(jù)所給三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理，可使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化，從而提高解題的效率。

例7 已知向量a=(cos 2α，sinα)，b=

解：由a=(cos 2α，sinα)，b=(1，2sinα，且a·，可得cos 2α，即cos 2α+2sin2α-也即cos 2α+1-cos 2α-sinα=，所以可得

跟蹤訓(xùn)練7：已知向量a=(cosθ，sinθ)，向量則|2a-b|的最大值與最小值的和為____。

提示：由題意可得a·b=cosθ-sinθ，則∈[0，4]，故|2a-b|的最大值與最小值的和為4。

題型8：三角函數(shù)中的新定義問(wèn)題

近年來(lái)的高考試題相繼推出了以能力立意為目標(biāo)，以增大思維容量為特色，具有相當(dāng)濃度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新題型。這類創(chuàng)新題型大多以新定義問(wèn)題的形式出現(xiàn)，值得同學(xué)們重視。新定義問(wèn)題主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解。

例8 已知下凸函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)滿足不等式若函數(shù)y=tanx在上是下凸函數(shù)，那么在銳角△A B C中，求tanA+tanB+tanC的最小值。

解：因?yàn)閥=tanx在上是下凸函數(shù)，所以(tanA+tanB+tanC)≥，即tanA+，當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB=tanC，即時(shí)等號(hào)成立，所以tanA+tanB+tanC的最小值為

跟蹤訓(xùn)練8：已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)，對(duì)函數(shù)y=g(x)(x∈I)，定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為y=h(x)(x∈I)，y=h(x)滿足：對(duì)任意x∈I，兩個(gè)點(diǎn)(x，h(x))，(x，g(x))關(guān)于點(diǎn)(x，f(x))對(duì)稱。若h(x)=-asinx是g(x)關(guān)于f(x)=的“對(duì)稱函數(shù)”，且g(x)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

提示：根據(jù)對(duì)稱函數(shù)的概念，可知h(x)+g(x)=2f(x)，即g(x)=2f(x)-h(x)+1。令則函數(shù)+1，其對(duì)稱軸方程為，且圖像的開口向下。由于函數(shù)g(x)在上 遞 減 ，t=sinx在上遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可，即a≤2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞，2]。

題型9：三角函數(shù)中的恒成立問(wèn)題

三角函數(shù)中的恒成立問(wèn)題通常含有參數(shù)，解答這類問(wèn)題，一定要注意三角函數(shù)自身的有界性，結(jié)合自變量的取值范圍，才能正確求解。

例9 已知不等式對(duì)于x∈恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____

解：因?yàn)樗栽坏仁降葍r(jià)于m≤在上恒成立。因?yàn)樗?，由此可得m≤

，即實(shí)數(shù)

跟蹤訓(xùn)練9：已知函數(shù)f(x)=，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)α∈，都存在唯一的實(shí)數(shù)β∈[0，m]，使f(α)+f(β)=0恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是____。

提示：已知函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，則要使f(α)+f(β)=0 恒 成立，需滿 足f(β)∈，即，所以0≤，可得故實(shí)數(shù)m的最大值是