不同背景下的三角函數(shù)綜合題的常見題型及策略分析

江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級(jí)中學(xué)(212143) 范習(xí)昱

所謂三角函數(shù)綜合題,就是圍繞三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角恒等變換、解三角形的知識(shí)體系,將其中某兩種或三種綜合起來命制三角題,主要運(yùn)用的工具是三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式等三角恒等變換公式以及正、余弦定理等三角形中的常見定理和結(jié)論.這類題型是各省市的高考考查的重點(diǎn),一般命制中檔難度的解答題,是考生主要的得分點(diǎn),一旦失手,后果可想而知.然而一些學(xué)生很容易算錯(cuò),甚至花了很多時(shí)間進(jìn)步不大.筆者結(jié)合多年高三復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn),翻閱很多高考試卷,發(fā)現(xiàn)這些題的命制背景雖然不同,解題策略卻規(guī)律明顯,筆者進(jìn)行了總結(jié)和反思,希望能讀者些許幫助.

1.三角形背景下正、余弦定理的直接運(yùn)用

例1?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(a+2c)cosB+bcosA=0.

(1)求B;(2)若b=3,?ABC的周長(zhǎng)為的面積.

點(diǎn)評(píng)在三角形中直接運(yùn)用正、余弦定理是三角函數(shù)綜合題中最典型的題型,也是最為常見和簡(jiǎn)單的.一般題中會(huì)給出一個(gè)含有三角形邊角的等式,比如案例1中的等式(a+2c)cosB+bcosA=0,同學(xué)們只需對(duì)這等式進(jìn)行恒等變形,即利用正、余弦定理將其統(tǒng)一為邊或者角即可.

反饋演練?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(1)求C;(2)若?ABC的面積為求?ABC的周長(zhǎng).

答案?ABC的周長(zhǎng)為

2.向量背景下的解三角形或三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的考查

例2在?ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知m=(a,c?2b),n=(cosC,cosA),且m⊥n.

(1)求角A的大小;

(2)若b+c=5,?ABC的面積為求a.

解(1)由m⊥n,可得m·n=0,即 2bcosA=acosC+ccosA,即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosA=sin(A+C),因?yàn)閟in(A+C)=sin(π?B)=sinB,所以2sinBcosA=sinB,即sinB(2cosA?1)=0,因?yàn)?0＜B＜π,所以 sin0,所以因?yàn)?＜A＜π,所以

點(diǎn)評(píng)三角函數(shù)綜合題有時(shí)以向量為背景進(jìn)行命制,比如結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與平行的充要條件、向量的數(shù)量積等等,其本質(zhì)依然是考察三角恒等變換或者三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).對(duì)于這類問題,我們的基本策略是將向量條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為三角條件,即關(guān)于三角形中邊角的三角方程或者表達(dá)式,然后依照案例的方法就可很容易的解決.

反饋演練已知向量x∈[0,π],

(1)若a//b,求x的值;

(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

答案(1)

3.幾何圖形背景下的解三角形

例3如圖1,在?ABC中,點(diǎn)D在AC邊上,且

(1)求BD的長(zhǎng);(2)求?BCD的面積.

圖1

點(diǎn)評(píng)以幾何圖形比如三角形、平行四邊形或者梯形為背景,也是三角函數(shù)綜合題中很常見的一種題型,我們的策略是在給定圖形中找準(zhǔn)相應(yīng)的三角形(可能需要作輔助線;垂線或中線等等),在這個(gè)三角形中運(yùn)用正、余弦定理和三角恒等變換知識(shí)加以解決,結(jié)合已知條件處理圖形是求解這類題型的關(guān)鍵.

圖2

反饋演練

如圖,在?ABC中,∠ABC=90?,,P為?ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=90?.

(2) 若∠APB=150?,求tan∠PBA.

答案

4.恒等變換背景下的解三角形或三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的考查

例4已知函數(shù)

(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)已知?ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若f(C)=1,c=2,sinC+sin(B?A)=2sin2A,求?ABC的面積.

點(diǎn)評(píng)這類三角函數(shù)綜合題型往往首先給出一個(gè)較為復(fù)雜的綜合的而并沒有化簡(jiǎn)的三角函數(shù)解析式,比如例4中的函數(shù)f(x)=cos2x+2sinxcosx?sin2x,然后提問三角函數(shù)的某些圖像和性質(zhì),或者求解一些較為復(fù)雜的三角函數(shù)值.處理這類題型的通用策略是利用三角恒等變換化簡(jiǎn),比如兩角和與差的三角函數(shù)公式或者二倍角、半角公式等等將其化簡(jiǎn)成Asin(ax+φ)+B或Acos(ax+φ)+B的形式,然后解三角形或者求解三角函數(shù)圖像和性質(zhì)即可.

反饋演練設(shè)

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)在銳角?ABC中,角A,B,C,的對(duì)邊分別為a,b,c,若求?ABC面積的最大值.

答案f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是?ABC面積最大值為

5.三角函數(shù)圖像背景下的三角函數(shù)求值

例5設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數(shù),且A＞0,ω＞0,0＜φ＜π)的部分圖象如圖3所示.

圖3

點(diǎn)評(píng)在三角函數(shù)圖像背景下求三角函數(shù)值也是一類?？碱}型,是解答題中較容易的題,其一般策略是首先根據(jù)圖像求出三角函數(shù)的解析式,然后利用三角恒等變換化簡(jiǎn)求值.

6.三角函數(shù)定義背景下的三角恒等變換運(yùn)用

例6如圖4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以x軸正半軸為始邊作銳角α,其終邊與單位圓交于點(diǎn)A.以O(shè)A為始邊作銳角β,其終邊與單位圓交于點(diǎn)

圖4

(1)求cosβ的值;

(2)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為求點(diǎn)B的坐標(biāo).

解(1)在?AOB中,由余弦定理得,AB2=OA2+OB2?2OA·OBcos∠AOB,所以

點(diǎn)評(píng)回歸課本、回歸定義、回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)一直是數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)前沿的最嘹亮的口號(hào),也是很多一線教師最易忽視的,所以以三角函數(shù)定義為背景命制的三角函數(shù)綜合題受到很多命題專家的青睞,廣泛出現(xiàn)在各省市高考或者大型的模擬考試題中,很多學(xué)生措手不及,紛紛中招.究其原因,是三角函數(shù)的定義不能理解或者理解不透,平時(shí)的解題都是簡(jiǎn)單模仿.求解這類題型的關(guān)鍵策略是吃透三角函數(shù)的定義:點(diǎn)P(x,y)是角α終邊上任意一點(diǎn),則規(guī)定而當(dāng)在單位圓中時(shí)即r=1便有y=sinα,x=cosα,是可以求出終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的.

反饋演練

如圖5,單位圓(半徑為1的圓)的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn),單位圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)A,與鈍角α的終邊OB交于點(diǎn)B(xB,yB),設(shè)∠BAO=β.

圖5

(1)用β表示α;

(3)求xB?yB的最小值.

答案的最小值為

7.實(shí)際應(yīng)用背景下的三角函數(shù)最值求解

圖6

例7如圖6,矩形ABCD是一個(gè)歷史文物展覽廳的俯視圖,點(diǎn)E在AB上,在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物,DE是玻璃幕墻,游客只能在?ADE區(qū)域內(nèi)參觀.在AE上點(diǎn)P處安裝一個(gè)可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控?cái)z像頭,∠MPN為監(jiān)控角,其中M,N在線段DE(含端點(diǎn))上,且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右下方.經(jīng)測(cè)量得知:AD=6米,AE=6米,AP=2米,記∠EPM=θ(弧度),監(jiān)控?cái)z像頭的可視區(qū)域?PMN的面積為S平方米.

(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式,并寫出θ的取值范圍(參考數(shù)據(jù):

(2)求S的最小值.

點(diǎn)評(píng)在實(shí)際應(yīng)用背景下考查三角函數(shù)綜合知識(shí)就是三角函數(shù)的綜合應(yīng)用考查,就是通常我們說的三角函數(shù)應(yīng)用題.各省市高考也經(jīng)常命制這類應(yīng)用題,尤以江蘇高考為最,有興趣的讀者不妨查看.其根本策略是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為常見的三角函數(shù)比如Asin(ωx+φ)+B這種形式,然后求值或者求函數(shù)值域等等.

反饋演練某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度 (單位:?C)隨時(shí)間t(單位:h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系:

(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差;

(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11?C,則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫?

答案最大溫差為4?C;10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.

8.結(jié)束語

三角函數(shù)綜合題包含知識(shí)點(diǎn)很多,運(yùn)用的公式也很多,易錯(cuò)點(diǎn)也不少,學(xué)生的細(xì)節(jié)處理能力不強(qiáng),這都是我們對(duì)這些綜合題加以歸納總結(jié)的原因.總之,若能對(duì)應(yīng)各自背景,總結(jié)相應(yīng)的求解策略,是完全能夠攻克的.

當(dāng)然,不同背景下的三角函數(shù)綜合問題還有一些上述沒能提到的其他背景,比如數(shù)列背景,但不太常見,這里不便闡述.

希望本文能對(duì)讀者有所幫助.