例說導(dǎo)數(shù)問題中的構(gòu)造法*

北京市第四中學(xué)(100034) 唐紹友

高中階段學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)不是純粹為了求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,而根本目的是為了更深入地研究函數(shù)與方程、不等式等問題,用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與方程、不等式是必修1的初等方法研究的延續(xù)和拓展,即導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)與方程、不等式的新工具,用此工具解決相關(guān)問題需要一定的技巧,比如適當(dāng)變形、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、精心構(gòu)造等手段常常是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與方程、不等式的重要方法.基于此,本文僅對構(gòu)造法做一些探討.

1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)特征構(gòu)造函數(shù)

例1已知函數(shù)f(x),x∈R,滿足f(2)=3且f′(x)?1＜0,則不等式f(x2)＜x2+1的解集是___.

分析根據(jù)導(dǎo)數(shù)特征:f′(x)?1,可以想到它的一個原函數(shù)f(x)?x.

解設(shè)g(x)=f(x)?x(x∈R),由題意可知:g′(x)=f′(x)?1＜0,所以g(x)在R上遞減,由f(x2)＜x2+1得f(x2)?x2＜1=f(2)?2,即g(x2)＜g(2),所以所以原不等式的解集是

評析(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)特征想到一個原函數(shù),這是比較常用的方法之一.比如: 由f′(x)g(x)+f(x)g′(x),可構(gòu)造F(x)=f(x)g(x),由f′(x)g(x)?f(x)g′(x)＜0,可構(gòu)造特別地,由xf′(x)?f(x)＜0可構(gòu)造由xf′(x)+f(x)＜0 可構(gòu)造:F(x)=xf(x);(2)由于本題是填空題,所以可以構(gòu)造特例解決.比如構(gòu)造函數(shù)滿足題設(shè)條件,然后代入不等式解得答案.這樣的解法不是嚴(yán)格解法,只適合求解選填問題.

2.根據(jù)分式極限的特征構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義模型

評析當(dāng)然本題也可以用洛必達(dá)法則求極限.但超越了高中要求.構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義模型的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)平均變化率的表達(dá)式.

3.根據(jù)超越方程的特征構(gòu)造函數(shù)圖象

例3已知函數(shù)f(x)=x(lnx?ax)有兩個極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

分析問題歸結(jié)為求f′(x)=0有兩不等實(shí)根時的a的取值范圍.而解決超越方程的實(shí)根問題主要依靠圖象解決.

解法1f(x)定義域是(0,+∞),f′(x)=lnx+1?2ax,令f′(x)=0可得:lnx=2ax?1,令g(x)=lnx,h(x)=2ax?1,畫出兩個函數(shù)的圖象,要它們有且只有兩個不同交點(diǎn),則先算出直線h(x)=2ax?1與g(x)=lnx相切時的a值.設(shè)切點(diǎn)P(x0,lnx0),則且 lnx0=2ax0?1,解得:由圖象可知:當(dāng)時,兩圖象有兩個不同交點(diǎn),即時,函數(shù)f(x)=x(lnx?ax)有兩個極值點(diǎn).

評析在解法1中,構(gòu)造兩個函數(shù)圖象時,要以這兩個圖象比較熟悉為準(zhǔn)且極端位置容易確定.比如上述兩個圖象都是基本初等函數(shù)的圖象,這樣減少了作圖的難度.除了以上方法之外,還有其它的解題思路.解法2:直接研究導(dǎo)函數(shù)f′(x)=lnx+1?2ax的零點(diǎn),通過再次求導(dǎo),再討論a＞0,a=0,a＜0的情況,可以解決.解法3(分離參數(shù)):令f′(x)=lnx+1?2ax=0,得令易證x=1是q(x)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn).即qmax(x)=1,又因?yàn)楫?dāng)x＞1時,q(x)＞0且當(dāng)x→+∞時,q(x)→0,當(dāng)x→0時,q(x)→?∞,所以要使方程有兩個不等實(shí)根,當(dāng)且僅當(dāng)p(x),q(x)有兩個不同交點(diǎn),即2a∈(0,1),即以上三種方法的共同點(diǎn)就是依靠函數(shù)圖象說話.

4.根據(jù)超越方程的特征構(gòu)造極值點(diǎn)

評析解決過程中,根據(jù)超越方程的特征構(gòu)造零點(diǎn)起到了關(guān)鍵作用,設(shè)出g′(x)=0的根x0,不需求出其值,將x0作為求gmin(x)的一個“橋梁”.這說明在解超越方程找極值點(diǎn)時,“設(shè)而不求”是一個行之有效的好辦法,可以掃清求不出根的障礙.但值得一提的是,要確保零點(diǎn)的存在性.需要單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理作為依據(jù).

5.根據(jù)不等式的特征構(gòu)造函數(shù)

例5定義在上的函數(shù)f(x),f′(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有f(x)＜f′(x)·tanx成立,當(dāng)時.則( ).

A.sinx1f(x1)＞sinx2f(x2)

B.sinx1f(x1)＜sinx2f(x2)

C.sinx2f(x1)＜sinx1f(x2)

D.sinx2f(x1)＞sinx1f(x2)

6.根據(jù)函數(shù)的復(fù)雜程度合理構(gòu)造新函數(shù)

例6已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R.設(shè)a＜b.比較的大小,并說明理由.

分析通過作差式,分離出正因式,再合理構(gòu)造函數(shù).

解設(shè)

令g(x)=x+2+(x?2)·ex,x＞0,則

g′(x)的導(dǎo)函數(shù)

所以g′(x)在 (0,+∞)上單調(diào)遞增,且g′(0)=0. 因此g′(x)＞0,g(x)在 (0,+∞)上單調(diào)遞增,而g(0)=0,所以在(0,+∞)上g(x)＞0.由于當(dāng)x＞0時,g(x)=x+2+(x?2)·ex＞0且a＜b,所以

評析若作差后,直接構(gòu)造函數(shù),不但未知數(shù)有兩個,且形式復(fù)雜,所以可考慮分離出正因式,選準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)構(gòu)造函數(shù),再用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù).這種方法在解決導(dǎo)數(shù)綜合問題中顯得非常重要.

例 7設(shè)函數(shù)f(x)滿足

(1)有極大值,無極小值 (2)有極小值,無極大值

(3)既有極大值又有極小值 (4)既無極大值也無極小值

其中正確命題有______.(寫出正確命題的序號)

7.根據(jù)數(shù)列特征構(gòu)造函數(shù)

評析依據(jù)數(shù)列特征構(gòu)造函數(shù)的依據(jù)是:數(shù)列是特殊的函數(shù),所以研究數(shù)列的問題,可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的問題,再還原為數(shù)列問題.

總之,構(gòu)造法是解決導(dǎo)數(shù)問題中的重要方法,根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征,靈活構(gòu)造函數(shù),合理構(gòu)造零點(diǎn),適時構(gòu)造圖象,可實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的達(dá)成.在構(gòu)造過程中,需要基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累,而遇到復(fù)雜的函數(shù)背景,不做轉(zhuǎn)化,不關(guān)注正因式等特征,直接構(gòu)造函數(shù),將會為解題目標(biāo)的達(dá)成帶來一定的困難.因此,必須創(chuàng)造構(gòu)造函數(shù)的最佳機(jī)會,比如多元問題首先考慮消元,湊整體,再整體換元,代入消元等方法,以創(chuàng)設(shè)構(gòu)造函數(shù)的時機(jī);面對復(fù)雜結(jié)構(gòu)問題,可以考慮變形,若出現(xiàn)正因式,可以棄掉正因式,分母恒正棄分母就是這個道理,取出關(guān)鍵部分構(gòu)造函數(shù),可以減少后續(xù)的工作量;面對絕對值函數(shù)、無理函數(shù),可以考慮取出絕對值內(nèi)的部分與根號內(nèi)的部分構(gòu)造函數(shù),可以減少求導(dǎo)的復(fù)雜程度.通過這些手段,不僅減少解決的難度,而且可以有效促進(jìn)學(xué)生良好的運(yùn)算素養(yǎng)的形成.