長(zhǎng)方體水箱系統(tǒng)重心形心推導(dǎo)研究

仲逸倫

【摘 要】本文主要針對(duì)給定水箱在水下不同情況的重心和形心之間的距離計(jì)算展開研究。首先根據(jù)形心不隨物體轉(zhuǎn)動(dòng)而變化的特點(diǎn)，選擇轉(zhuǎn)軸為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，并將三維轉(zhuǎn)化成二維，得到形狀的坐標(biāo)后，根據(jù)不同形狀進(jìn)行重心表達(dá)式的推導(dǎo)，其次對(duì)水箱斜靠在長(zhǎng)方體的情景中進(jìn)行討論，尋找最佳斜靠角度，使得長(zhǎng)方體總體的形心和重心距離最短，最后修改坐標(biāo)系，相應(yīng)推導(dǎo)出重心表達(dá)式的修正結(jié)果和新舊坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，并理論分析原因。

【關(guān)鍵詞】坐標(biāo)系模型;不同形狀;長(zhǎng)方體

引言

給定一個(gè)長(zhǎng)方體，有兩個(gè)固定位置水箱，將長(zhǎng)方體以最短邊為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，探究在此過(guò)程中的長(zhǎng)方體（含水箱）形心和重心之間距離的變化。討論當(dāng)兩個(gè)水箱中裝水比例相同時(shí)，該比例大小對(duì)長(zhǎng)方體形心重心之間距離的影響，若水箱可“斜放”，分別找出水箱共同的斜放角度和水箱單獨(dú)的斜放角度，使長(zhǎng)方體形心和重心距離最小。

1、問(wèn)題分析

首先建立坐標(biāo)系，從而將兩者坐標(biāo)求出來(lái)，進(jìn)而表示出距離，其次建立坐標(biāo)系之后，需要計(jì)算出兩個(gè)水箱重心的坐標(biāo)，因此需要對(duì)不同情況下水的形狀進(jìn)行討論，并推導(dǎo)出不同情況下水重心的坐標(biāo)。最后分析水箱斜放角度對(duì)長(zhǎng)方體重心形心之間距離的影響，分別通過(guò)循環(huán)迭代的過(guò)程找到最小重心形心距離對(duì)應(yīng)的兩個(gè)相同參數(shù)值和兩個(gè)自由參數(shù)值即可。

2、模型的建立與求解

對(duì)于水面來(lái)說(shuō)，如果水面不達(dá)到水平，那么肯定有超過(guò)水平面的地方，此時(shí)勢(shì)能必然不是最小，高出水平的那一部分則必然會(huì)往低處流動(dòng)，最終達(dá)到水平的形態(tài)，水箱中的水面始終保持水平。如下所示：

設(shè)為水箱中裝水的比例，水的體積是固定的，就可以定量計(jì)算出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中水面的左右邊緣與水箱的位置情況。旋轉(zhuǎn)過(guò)程相當(dāng)于填補(bǔ)上，由面積相等，有公式：

得到：

用下標(biāo)和分別表示左下角和右上角水箱。[3]先單獨(dú)研究左下角的水箱，并以圖1所示情況引入分類標(biāo)準(zhǔn)，在圖1中，，，旋轉(zhuǎn)角度為。顯然旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，并不只有這一種情況，水面未必和水箱的上表面和右側(cè)面接觸，還有可能和左側(cè)面先接觸。這些情況是由和共同決定的，和表示水箱上下底面和水接觸部分的長(zhǎng)度，令及求出兩個(gè)臨界情況：

同樣可得到右上角水箱參數(shù)：

其中，A是長(zhǎng)方體和水箱的所有頂點(diǎn)坐標(biāo)的集合，k為集合A中的元素個(gè)數(shù)，最終計(jì)算結(jié)果為。左右梯形相當(dāng)于短低一側(cè)三角形補(bǔ)充到長(zhǎng)底一側(cè)，所以長(zhǎng)短底邊長(zhǎng)度分別為和，高為。

根據(jù)梯形重心計(jì)算公式：

其中為短邊長(zhǎng)度，為長(zhǎng)邊長(zhǎng)度，為高，直接代入梯形重心公式，得到重心坐標(biāo)為：

對(duì)于右上方水箱，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)同樣選擇在水箱左下角時(shí)，重心計(jì)算公式不變，之后加上根據(jù)兩個(gè)水箱左下角之間的坐標(biāo)差即可得到右上方水箱相對(duì)于左下角旋轉(zhuǎn)軸的坐標(biāo)，[2]兩水箱相對(duì)位置不變，坐標(biāo)差恒為.故

忽略水箱外皮以及長(zhǎng)方體的重量，所以重心為：

重心計(jì)算公式的參數(shù)包括水的比例、水箱與地面的夾角、水箱的高和長(zhǎng)。

從圖中可以看出，當(dāng)水箱和長(zhǎng)方體有了一定停靠角度時(shí)，水箱和地面的夾角從原來(lái)的變成了。因此在新的坐標(biāo)系中，重心計(jì)算公式中的參數(shù)，水箱和地面的夾角發(fā)生了變化，應(yīng)將原來(lái)的參數(shù)修改為，其余均不變，這樣得到的即是水箱重心相對(duì)于水箱左下角邊的旋轉(zhuǎn)軸的坐標(biāo)。對(duì)于右上角水箱，同樣需要加上和左下角水箱的坐標(biāo)差，但由于斜靠會(huì)改變相對(duì)位置，因此公式也需要修正，根據(jù)幾何關(guān)系也不難得出右上角水箱的重心坐標(biāo)公式為：

由于?？拷嵌炔粸?，所以需要加上水箱左下角和長(zhǎng)方體左下角之間的坐標(biāo)差，從而將原坐標(biāo)系的重心坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)系中。形心由于和長(zhǎng)方體的幾何關(guān)系并未發(fā)生變化，因此形心坐標(biāo)不發(fā)生改變，通過(guò)最終的重心和形心的距離表達(dá)式為：

其中、分別是坐標(biāo)系下的兩個(gè)水箱重心的橫縱坐標(biāo)差，對(duì)于不同的角度取值，水的形狀不同，對(duì)應(yīng)的、的表達(dá)式也不盡相同，代入不同的公式，最終結(jié)果是分段函數(shù)形式。設(shè)置和均從變化，計(jì)算不同?？拷嵌葧r(shí)，旋轉(zhuǎn)角度從0到變化時(shí)，重心形心變化曲線。利用python在循環(huán)過(guò)程中可從其中找到其中具有最小距離的點(diǎn)時(shí)的值，結(jié)果為°，約為0.

設(shè)置、和均從變化，循環(huán)計(jì)算不同角度時(shí)重心形心之間的距離，其中的最小距離，也是時(shí)距離最小。

結(jié)論

本研究首先定量計(jì)算出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中水面的左右邊緣與水箱的位置情況，其次以長(zhǎng)方體長(zhǎng)和高建立坐標(biāo)系，由于不涉及軸旋轉(zhuǎn)，因此只考慮二維坐標(biāo)系，最后重心計(jì)算公式中的參數(shù)，將原來(lái)的參數(shù)修改，其余均不變，計(jì)算出不同角度時(shí)重心形心之間的距離。

參考文獻(xiàn)：

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（作者單位：大連理工大學(xué)中白學(xué)院工程力學(xué)系）