對牛頓迭代法的改進

王樂成，赫亞蘭，韓新麗，李小花，盧鳳蘭，馬秋菊，楊錄峰

對牛頓迭代法的改進

王樂成，赫亞蘭，韓新麗，李小花，盧鳳蘭，馬秋菊，楊錄峰

（北方民族大學 數(shù)學與信息科學學院，寧夏 銀川 750021）

牛頓迭代法；二階收斂性；收斂速度

1 牛頓法

1.1　原理

因此，相應的迭代函數(shù)為

（2）

1.2　收斂性

2 牛頓迭代法的改進

由于迭代過程（1）在收斂性上來說仍然存在收斂速度不是很快的問題，經(jīng)過長時間的發(fā)展過程，眾多學者研究出一些經(jīng)典的改進牛頓法，如經(jīng)典的簡化牛頓法、算術平均牛頓法、中點牛頓迭代法和牛頓下山迭代法等．

2.1　簡化牛頓法

該方法躲避了復雜的計算，同時也降低了收斂速度．

2.2　算術平均牛頓法

算術平均牛頓法是將牛頓迭代法和牛頓-高斯方法結合，即將梯形公式代入到一般的牛頓迭代法中，得到新的迭代公式

2.3　中點牛頓迭代法

2.4　牛頓下山法

2.5　修正的算術平均牛頓迭代法

3　數(shù)值實驗

使用Matlab軟件計算，結果見表1~3．

表1　函數(shù)的數(shù)值實驗過程

表2　函數(shù)的數(shù)值實驗過程

表3　函數(shù)的數(shù)值實驗過程

由表1~3可以看出，簡化牛頓法的迭代次數(shù)并沒有明顯的減少，反而在某些函數(shù)里的迭代次數(shù)高峰式增長，而算數(shù)平均牛頓法在某些函數(shù)相比于牛頓法有接近減少一倍的迭代次數(shù)，至于中點牛頓法與算術平均牛頓法的迭代次數(shù)并無明顯增長，而經(jīng)過改進后的算術平均牛頓法從數(shù)據(jù)上可以清楚地看出迭代次數(shù)的減少，收斂速度明顯加快，效率大幅提高，而針對的函數(shù)類型也較于穩(wěn)定，可見這種改進方法是有效的．

[1] 胡麗瑩，肖蓬．非線性方程求根的一種新算法[J]．福建師范大學學報：自然科學版，2009，25（3）：26-28

[2] 吳新元．對牛頓迭代法的一個重要修改[J]．應用數(shù)學和力學，1999，20（8）：863-866

[3] 李慧敏，王曉燕．對牛頓迭代法及改進的總結[J]．科技信息，2013（4）：275-276

[4] 李麗容．對牛頓迭代法的改進[J]．中國水運：理論版，2006（5）：204-206

[5] 趙學峰．一種改進的牛頓迭代法及其分形圖[J]．西北師范大學學報：自然科學版，2003，39（1）：32-35

[6] 張光輝．數(shù)值分析若干數(shù)值問題的數(shù)學實驗[J]．河北北方學院學報：自然科學版，2019，35（9）：1-5

[7] 張輝，周琴．一種四階含牛頓迭代法的構造[J]．宜春學院學報，2017，39（6）：42-45

[8] 張輝，陳豫眉，周琴．構造一種六階牛頓迭代法解非線性方程組[J]．山東師范大學學報：自然科學版，2017，32（4）：37-44

[9] 陳玉驥．牛頓迭代法的一種改進方法[J]．佛山科學技術學院學報：自然科學版，2012，30（5）：1-3

[10] 李順．求解非線性方程高階迭代法的研究[D]．杭州：杭州師范大學，2016

Improvement on Newton iteration method

WANG Lecheng，HE Yalan，HAN Xinli，LI Xiaohua，LU Fenglan，MA Qiuju，YANG Lufeng

（School of Mathematics and Information Science，North Minzu University，Yinchuan 750021，China）

Newton iterationmethod；second order convergence；rate of convergence

O241.7

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.03.004

1007-9831（2020）03-0023-04

2019-10-13

王樂成（1998-），男，安徽阜陽人，在讀本科生．E-mail：2650292645@qq.com

楊錄峰（1980-），男，山東沂水人，講師，碩士，從事偏微分方程研究．E-mail：ylf-sd@163.com