雙層石墨烯系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動問題中的辛方法

范俊海，賈菊芳，賴安迪，周震寰，徐新生

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連116024)

1 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的進步，設(shè)備和器件向輕型化和微型化發(fā)展，石墨烯和納米結(jié)構(gòu)得到廣泛應(yīng)用[1]。如納米轉(zhuǎn)子、光子晶體懸臂傳感器和掃描探針原子力學(xué)顯微鏡等[2]。納米結(jié)構(gòu)作為納米器件中的關(guān)鍵部件，往往起到不可或缺的作用。石墨烯作為一種納米結(jié)構(gòu)，其動力響應(yīng)直接影響到納米器件的性能，因此對其進行研究是十分必要的。

在小尺度效應(yīng)下，經(jīng)典彈性理論已經(jīng)不能表述納米結(jié)構(gòu)的問題,因此提出一些新的理論方法來分析納米結(jié)構(gòu)。Eringen[3]的非局部理論作為一種連續(xù)彈性理論已經(jīng)應(yīng)用于納米結(jié)構(gòu)靜力學(xué)和動力學(xué)的分析?；贜avier解法，可以得到鑲嵌在粘彈性介質(zhì)中的單層簡支石墨烯受迫振動問題的解析表達式[4]。Navier解法也可以求解板內(nèi)磁場作用下，簡支雙層正交各向異性納米板的受迫振動問題[5]。Navier解法在解決熱環(huán)境下正交各向異性簡支納米板在移動載荷作用下的動力響應(yīng)問題時也是有效的[6]，但是局限在解決簡支納米板的動力問題。由于懸臂納米板振動問題邊界條件的特殊性，目前還沒有有效的方法進行解析求解。辛方法[7,8]對于非簡支板問題有一定的優(yōu)勢[9,10]，可將問題歸結(jié)為辛本征解展開。在特殊的非簡支板動力問題中，采用哈密頓體系的方法可以得到受迫的解析解[11]。本文針對多層懸臂石墨烯系統(tǒng)，采用非局部彈性理論和哈密頓體系相結(jié)合的方法以及子問題分解方法，研究了其受迫振動問題的動力特性，并提出一種有效的方法。

2 基本問題

采用非局部理論和正交各向異性板模型，引入線性微分算子L=1-ξ22，式中ξ2為微觀非局部參數(shù)，2為Laplacian算子。在頻域下每一層板的控制方程可以寫成統(tǒng)一形式：

圖1 基本模型

Fig.1 The model

L(pww+pw′w′+q)=0

(1)

3 邊界條件及分解

根據(jù)基本模型，兩石墨烯板均為懸臂支承，即一邊為固支條件(以字母C表示)，另三邊為自由邊界條件(以字母F表示)，在數(shù)學(xué)上邊界條件[15]表示為

Vx|x = 0=0,Mx|x = 0=0,w|x = a=0

θx|x = a=0,Vy|y = 0,b=0,My|y = 0,b=0

(2)

Vx|x = 0=Vy|y = 0,b=w|x = a=θy|y = 0,b=0

(3)

Vx|x = 0=Vy|y = 0,b=w|x = a=θx|x = 0=Mx|x = a=0

(4)

Vx|x = 0=θx|x = 0=w|x = a=Mx|x = a=Vy|y = 0,b=

θy|y = 0,b=0

(5)

(6)

這樣就可以將一個邊值問題分解為三個容易求解的邊值問題。

4 哈密頓系統(tǒng)表示方法

(7)

(8)

(9)

在式(8，9)中，f={0,0,-Lq,0}T。對正則方程(8,9)求解，并讓其解滿足邊界條件，即可得到問題的解。

5 哈密頓體系正則方程的求解方法

Ψ=[A1a1sinh(λ1y)+A2a1cosh(λ1y)+

A3a2sinh(λ2y)+A4a2cosh(λ2y)]eμ x

(10)

(11)

(12)

式中J為辛單位矩陣[7]，分別存在辛共軛正交關(guān)系：

(13)

其他情況全為0。其中α類指本征值實部大于0，或?qū)嵅康扔?且虛部大于0；β類為負的α類本征值。

(14)

《著作權(quán)法》規(guī)定對著作權(quán)構(gòu)成侵犯的以及侵犯著作權(quán)的相關(guān)權(quán)利的，按照實際情況進行賠償。對于難以計算損失數(shù)據(jù)的，根據(jù)侵權(quán)人的違法所得進行賠償。賠償數(shù)額包括為阻止侵權(quán)行為的一切合理合法支出。對損失難以計算或者違法所得不確定的情況，應(yīng)當按照實際情況，處50萬元以下的罰款。總之，侵權(quán)數(shù)額的賠償要根據(jù)實際損失情況、違法所得的金額進行確定，具體情況具體分析。

(15)

(16)

(17)

注意第三種邊界條件(5)和非齊次方程(8,9)，滿足部分邊界條件的(8,9)齊次方程通解(14,16)仍成立。非齊次方程(8,9)的特解可通過辛共軛正交關(guān)系[7]分別得到。該問題的解由齊次方程通解和非齊次方程特解疊加而成，即

(18)

(19)

(20)

6 雙石墨烯板受迫振動問題

表1 固有頻率對比

Tab.1 Comparisons of natural frequencies

ξ=0ξ=0.1ξ=0.21階固有頻率文獻[16]1.04261.04591.05611階共振頻率辛方法1.04701.05041.06122階固有頻率文獻[16]2.81612.79422.73132階共振頻率辛方法2.56932.55202.50193階固有頻率文獻[16]6.42426.12825.40813階共振頻率辛方法6.42116.11335.35854階固有頻率文獻[16]8.05247.45656.22494階共振頻率辛方法7.93127.38666.2360

圖2 懸臂雙層正交各向異性矩形板頻響曲線

Fig.2 Frequency-response curve of double -layered cantilever orthotropic rectangular plates

圖3 單層與雙層石墨烯板頻響曲線

Fig.3 Frequency-response of single -layered and double -layered

圖5給出了彈性模量比E2/E1和剪切模量比G12/E1對受迫振動的影響，仍選取算例1的參數(shù)和外載，計算了在E2/E1=0.5,1.0,1.5,2.0和G12/E1=0.2,0.3,0.4,0.5時板1載荷點的頻響曲線?？梢钥闯?E2/E1和G12/E1對第1階和第2階共振頻率幾乎無影響，主要是因為主體彎曲變形是沿x方向所致；但其對高階共振頻率的影響隨E2/E1和G12/E1的增加，變化越來越大。事實上，由于兩個方向上強度的變化會直接影響固有頻率的大小，從而也會改變振動模態(tài)所對應(yīng)固有頻率的順序。

圖4 單層和雙層石墨烯板系統(tǒng)共振模式響應(yīng)

Fig.4 Response modes of single -layered nanoplate and double -layered graphene plates

圖5 彈性模量比和剪切模量對頻響曲線的影響

Fig.5 Frequency-response with different elastic modulus ratio and shear modulus

7 結(jié) 論

Eringen非局部理論與哈密頓體系相結(jié)合可以表述多層石墨烯受迫振動問題。通過邊界條件分解技術(shù)和變量組合方法，可以得到由辛本征值和辛本征解表示的雙層石墨烯層板受迫振動問題的解析解表達式，對懸臂石墨烯系統(tǒng)特別有效，且辛本征解級數(shù)方法具有很好的收斂性和精度。結(jié)果表明，彈性模量和剪切模量對高階共振頻率影響較大；雙層石墨烯受迫振動的特點在于可發(fā)生同向振動模式和反向振動模式。